4.1 Y 4 PDF

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EN ATRASO...

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4.1. Determinar si el punto s0 = -1+2j hace parte del LGR del sistema en lazo cerrado representado por la siguiente función de transferencia.

1. De las especificaciones de funcionamiento, se determina la ubicación deseada de los polos dominantes en lazo cerrado.

4.2. Considere el siguiente sistema:

se requiere mejorar el Transitorio, para lo cual se debe diseñar una Red de Adelanto. 1) Analizamos las características de la planta En lazo directo G planta =

4 s (s +1)

En lazo cerrado 4 4 s (s+1) s (s+1) 4 Y 4 = 2 → = = = R s (s+1)+4 s ( s +1)+4 s + s +4 4 1+ s(s+1) s (s+1) Comparamos con la ecuación general de segundo grado para un sistema de segundo grado

ωn 2 2

2

s +2 ξ ωn s +ω n

=

4 2 s +s +4

ω n=frecuencia natural no amortiguada ξ=factor deamortiguamiento relativo

De donde despejamos

2

ω n =4

ω n=2

2 ξ ω n=1 Reemplazando 4 ξ=1 ξ=0.25 Hallamos el sobrepaso máximo −πξ

% M P=e

√ 1−ξ2

∗100 %

− π∗0.25

% M P=e √ 1−0.25 ∗100 % 2

% M P=0.4443∗100 %

% M P=44.43 % También el tiempo de asentamiento 4 4 = ξ ωn 0.25∗2 t s ( 2 % )=8 segundos t s ( 2 % )=

%Ep=

1 ∗100 %=0 % cuando Kp=−1 1+ Kp

Se requiere mejorar el transitorio observamos grafica en Matlab en lazo cerrado sin compensación clc clear s=tf('s'); G1=(4)/(s^2+s+4); [y1,t1]=step(G1); plot(t1,y1,'b','linewidth',2.5) axis([0 10 0 2]) title('Respuesta a un escalon unitario'); xlabel('tiempo(seg)'); grid on

2) Analizamos el LGR de la planta en lazo abierto en Matlab para simplificar procedimiento clc clear all s=tf('s'); sys=(4)/(s^2+s); rlocus(sys) axis([-3 0.3 -3 3]) title('Lugar de Raices'); xlabel('Eje imaginario(1/s)'); hold on

Los polos deseados deben ubicarse con su parte real por lo menos en un límite de -1 P1,2=−ξ ω n ± j ωn √ 1−ξ 2 PDeseado =−1± j ω n √ 1−ξ Entonces podemos hallar

2

−1=−ξ ω n

1 =ωn ξ Y considerando un − πξ

M P =e √1−ξ Despejamos ξ 2

% M P=20 %

M P =0.20

M ln (¿¿ P)=ln ( e √ ) − πξ 2 1−ξ

¿

M ln (¿¿ P)= ¿

−πξ

√ 1−ξ 2

M 2

ln (¿¿ P) =

(√ ) −πξ

1−ξ

¿ M ln (¿¿ P)2= ¿

2

2

(− πξ ) 2 1−ξ2

M 2 2 ln (¿¿ P) ( 1−ξ ) = ( −πξ) ¿ M M 2 2 2 2 ξ ln(¿¿ P) =π ξ 2 ln (¿¿ P) −¿ ¿ M M 2 ξ 2 ln(¿¿ P) ln (¿¿ P)2=π 2 ξ 2 +¿ ¿ M M 2 ln(¿¿ P) π 2+¿ 2 2 ln (¿¿ P) =ξ ¿ ¿ 2

M M ln(¿¿ P)2 π 2+¿ ¿ ¿ ln(¿¿ P)2 ¿ ¿

M M 2 ln(¿¿ P) π 2+¿ ¿ ¿ ln(¿¿ P)2 ¿ ¿ ξ=√ ¿ Entonces M P =0.20

√

ξ=

ln(0.20)2

( π 2+ln(0.20)2 )

ξ=0.4559 Entonces

1 =ωn ξ

1 1 ω n= = ξ 0.4559 ω n=2.1934 Los polos deseados quedarían PDeseado =−1± j ω n √ 1−ξ 2

PDeseado =−1± j 2.1934∗√ 1−0.4559 PDeseado =−1± j 1.952

2

Estos Polos Deseados deben pertenecer al LGR del Sistema Compensado, esto es:

3) Se calcula el ángulo de adelanto necesario ΦA que debe entregar la Red para que el LGR pase por los Polos Deseados. Aplicamos la condicion de fase ∠GH ( jw )°=−180 ° El ángulo de la PLANTA viene dado por: ∠G Planta H ( S ) ° ⎤s= Pdeseado =−∠ S ⎤Pd −∠(S+1)⎤ Pd Entonces: Si PDeseado =−1± j 1.952

clc clear all %polo Deseado S=(-1+1.952j); S1=(S+1); A=angle(S); A1=angle(S1); anguloPolo=(-A-A1)*180/pi ------------anguloPolo = -207.1258 Angulo del polo

ΦA=−207.126 °−180 °=27.1 °

4) Con el ángulo de adelanto ΦA , se fija el valor del CERO y se determina el valor del POLO del Compensador. Asi si Z=2 entonces −∠ (S+ 2 ) ⎤ Pd−∠ ( S +P ) ⎤ Pd =ΦA PDeseado =−1± j 1.952...