5 2014 0327 GET-Klausur - mit Deckblatt inkl Lösung PDF

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Aufgaben zur Schriftlichen Prüfung im Fach

Grundlagen der Elektrotechnik 27. März 2014 6 Aufgaben 90 Punkte

Hinweise:  Trennen Sie die Hilfsblätter zum Bearbeiten der Aufgaben ab und geben Sie diese am Ende der Prüfung zusammen mit Ihren Lösungsblättern ab.  Mit „→“ markierte Teilaufgaben können unabhängig von den vorherigen Teilaufgaben bearbeitet werden.

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Aufgabe 1:

15 Punkte

Fragen zum Grundwissen → a) Skizzieren Sie qualitativ das elektrische Feld in das Hilfsblatt zu Aufgabe 1, das in Folge der beiden negativen Punktladungen im Raum entsteht. (2 Punkte) → b) Die Platten eines Plattenkondensators ohne weitere Leiterverbindung tragen die Ladungen ±𝑄. Wie ändern sich die folgenden fünf Größen, wenn zwischen die Platten ein Dielektrikum mit 𝜀𝑟 > 1 eingefügt wird: Spannung, Kapazität, Ladung, Feldstärke und Flussdichte (5 Punkte) → c) Gegeben ist das nachstehende Netzwerk mit 4 Kondensatoren. Jeder Kondensator hat dieselbe Kapazität C. Welche Gesamtkapazität hat das gesamte Netzwerk?

(2 Punkte) → d) Deuten Sie die magnetischen Feldlinien mit der zugehörigen Richtung auf dem Hilfsblatt zu Aufgabe 1 an. Welche Kraftrichtung erfährt der stromführende Leiter?

(2 Punkte) → e) Geben Sie die Impedanz eines Kondensators und einer Induktivität in Abhängigkeit von der Frequenz an. Wir groß ist die Impedanz der beiden Komponenten jeweils für 𝑓 → 0 Hz und 𝑓 → ∞ ? (4 Punkte)

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Aufgabe 2:

12 Punkte

Induktion im magnetischen Feld Eine rechteckige, ideal leitende Leiterschleife mit den Seitenlängen 𝑎 und 𝑏 dreht sich mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit 𝜔 > 0 gegen den Uhrzeigersinn um die 𝑧-Achse. Für den Winkel ergibt sich hierbei 𝛼 = 𝜔𝑡 (in der folgenden Abbildung befindet sich die Leiterschleife bei 𝛼 = 𝜋/2). In dem Raum für 𝑦 > 0 herrscht ein homogenes, zeitlich konstantes magnetisches Feld mit der Feldstärke � � = �  . Der Normalenvektor n� 𝟎 𝐁 = 𝐵(−𝐞�𝑥 ) mit 𝐵 > 0. Im Raum für 𝑦 < 0 ist die magnetische Feldstärke 𝐁 steht senkrecht auf der von der Leiterschleife aufgespannten Fläche.

b

ω  n

a

y

α u

z

  B = B( −ex ) mit B > 0

x

Untersuchen Sie die dargestellte Anordnung anhand der folgenden Aufgabenstellungen. � in Abhängigkeit der Zeit 𝑡 in kartesischen Koordinaten an. → a) Geben Sie den Normalenvektor 𝐧 (2 Punkte) b) Bestimmen Sie in Abhängigkeit der Zeit 𝑡 den magnetischen Fluss 𝛷, der die Leiterschleife bei der Rotation durchsetzt. Skizzieren Sie den Verlauf über der Zeit 𝑡 in einem beschrifteten Diagramm. (6 Punkte) c) Bestimmen Sie die in der obigen Abbildung dargestellte, über Schleifkontakte abgegriffene Spannung 𝑢, und skizzieren Sie deren zeitlichen Verlauf in einem beschrifteten Diagramm. (4 Punkte)

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Aufgabe 3:

17 Punkte

Netzwerkanalyse (Gleichstromnetzwerk) Gegeben ist das im Bild gezeigte Widerstandsnetzwerk, welches durch eine ideale Gleichstromquelle 𝐼0 sowie durch eine ideale Gleichspannungsquelle 𝑈0 gespeist wird. Das Netzwerk soll im Folgenden mit Hilfe des Knotenpotentialverfahrens untersucht werden.

→ a) Nummerieren Sie die Knoten des Netzwerks und wählen Sie ein Bezugspotential. Verwenden Sie hierzu das Hilfsblatt zur Aufgabe 3. (1 Punkt) b) Können Knoten über Hüllen zusammengefasst werden? Wenn ja, welche? Zeichnen Sie die Hüllen ggf. in das Hilfsblatt zur Aufgabe 3 ein. (2 Punkte) c) Wie viele linear unabhängige Potentiale besitzt das Netzwerk?

(1 Punkt)

d) Wählen Sie einen Satz von Knoten derart aus, dass die Knotengleichungen ein linear unabhängiges Gleichungssystem bilden. Notieren Sie das Gleichungssystem in Vektor-Matrix-Schreibweise. (5 Punkte) Von nun an gelten folgende Vorschriften für die Netzwerkelemente: 𝑅

3

𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅4 = 2 , 𝑅3 = 3𝑅, 𝑅5 = 2 𝑅, 𝑅6 = 𝑅 e) Berechnen Sie die Spannung 𝑈R3 , die über dem Widerstand 𝑅3 abfällt.

(5 Punkte)

f) Welcher Zusammenhang muss für 𝑈0 (in Abhängigkeit von 𝑅 und 𝐼0 ) gelten, damit über den Widerständen 𝑅4 und 𝑅5 keine Spannung abfällt. (3 Punkte)

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Aufgabe 4:

18 Punkte

Wechselstromnetzwerk Gegeben ist das in folgender Abbildung dargestellte Netzwerk mit den beiden Widerständen 𝑅1 und 𝑅2 , sowie der Induktivität L und der Kapazität C. Das Netzwerk wird von einer harmonischen �0 sin(𝜔𝑡) mit der Kreisfrequenz 𝜔 erregt. Quellspannung 𝑢0 (𝑡) = 𝑈 Der Widerstand 𝑅1 und die Induktivität L lassen sich zur Impedanz 𝑍1 zusammenfassen, der Widerstand 𝑅2 und die Kapazität C können durch die Impedanz 𝑍2 ersetzt werden.

Z1 I 0

R1

L

I R 2  U 0

 U R1

 U L

R2

I C Z 2 C

 U 2

�0 und die Impedanzen 𝑍1 und 𝑍2 in Abhängigkeit der → a) Geben Sie den komplexen Zeiger 𝑈 gegebenen Größen an. (3 Punkte) b) Bestimmen Sie die Spannung 𝑈�2 in Abhängigkeit der gegebenen Größen. 𝑍1 und 𝑍2 sind – sofern im Ergebnis vorhanden – durch die detaillierten Größen zu ersetzen. (3 Punkte) c) Bestimmen Sie den Widerstand 𝑅2 so, dass die Spannung 𝑈�2 um 90° phasenverschoben zur Quellspannung ist. (4 Punkte) d) Zeichnen Sie ein qualitatives Zeigerdiagramm aller Ströme und Spannungen für den allgemeinen Fall, d.h. für einen beliebigen Wert von 𝑅2 usw.. Starten Sie mit dem Zeiger für 𝑈�2 in der Waagerechten. (8 Punkte)

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Aufgabe 5:

15 Punkte

Ausgleichsvorgänge Wir betrachten folgendes Netzwerk mit den zwei Schaltern 𝑆1 und 𝑆2 . Schalter 𝑆1 ist seit sehr langer Zeit geschlossen und Schalter 𝑆2 seit sehr langer Zeit geöffnet. Die ideale Gleichstromquelle erzeugt den Gleichstrom 𝐼0 .

Zum Zeitpunkt 𝑡 = 0 wird der Schalter 𝑆1 geöffnet. Der Schalter 𝑆2 bleibt ebenfalls weiterhin geöffnet. → a) Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf des Spulenstroms 𝑖𝐿 (𝑡) nach dem Schaltvorgang für 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡1 . (7 Punkte) b) Geben Sie den Zeitpunkt 𝑡1 an, zu dem der Spulenstrom 𝑖𝐿 (𝑡) auf die Hälfte seines Endwertes angestiegen ist. (4 Punkte) Zum Zeitpunkt 𝑡 = 𝑡1 wird nun der Schalter 𝑆2 geschlossen. c) Geben Sie den zeitlichen Verlauf des Spulenstroms 𝑖𝐿 (𝑡) für 𝑡 > 𝑡1 an. (4 Punkte)

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Aufgabe 6:

13 Punkte

Halbleiter: Anwendung einer z-Diode In der folgenden Schaltung wird eine z-Diode zur Spannungsstabilisierung an einem ohmschen Verbraucher, der aus einer Parallelschaltung aus den Widerständen 𝑅3 und 𝑅4 besteht, verwendet. Die Schaltung wird von einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung 𝑢 versorgt, die im zeitlichen Verlauf Schwankungen unterliegt. Der Verlauf dieser Spannung ist im rechten Diagramm für eine Periode dargestellt. Analysieren Sie die Funktionsweise dieser Schaltung anhand der folgenden Aufgabenstellungen.

uR4 u in V

R2

R4 iZD

u

R1 uZD

R3

20 15 10

5

1

2

3

4

5

t in sec

Gehen Sie dabei von folgenden Annahmen aus. Der Wechsel der bekannten Eingangsspannung 𝑢 zwischen den verschiedenen Zuständen ist als ideal anzusehen. Daneben sind zudem die Widerstände 𝑅1 … 𝑅4 als bekannt anzunehmen und zuerst ohne Einsatz von Werten zu behandeln. → a) Stellen Sie anhand der oben gegebenen Schaltung eine Gleichung auf, die den Zusammenhang zwischen der Diodenspannung 𝑢ZD und dem Diodenstrom 𝑖ZD allgemein und in Abhängigkeit der gegebenen Größen beschreibt. (4 Punkte) → b) Die folgende Abbildung stellt das linearisierte Ersatzschaltbild der z-Diode dar. Vergleichen Sie qualitativ die Kennlinie dieser linearen Näherung mit einer realistischen Kennlinie einer z-Diode im Diagramm auf Hilfsblatt zu Aufgabe 6, Teil b. Verdeutlichen Sie an welchen Stellen der Widerstand 𝑅ZD bzw. die Spannung 𝑢DZD den Verlauf beeinflussen.

iZD id.D.1

iZD uZD

uZD

RZD

id.D.2

uDZD (3 Punkte)

Seite 8 von 11 Für die folgenden beiden Teilaufgaben sind die Widerstandswerte zu 𝑅1 = 𝑅2 = 100Ω und 𝑅3 = 𝑅4 = 400Ω anzunehmen. c) Zeichnen Sie anhand der Lösung aus Teilaufgabe a die Arbeitskennlinien der Schaltung zu den jeweils möglichen Zuständen der Eingangsspannung 𝑢 in das Hilfsblatt zu Aufgabe 6, Teil c ein. (3 Punkte) d) Stellen Sie den zeitlichen Verlauf der Spannung 𝑢R4 im rechten Diagramm auf Hilfsblatt zu Aufgabe 6, Teil d dar. Geben Sie der Ordinate dabei eine sinnvolle Skalierung. (3 Punkte)

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HILFSBLATT ZU AUFGABE 1 a)

d)

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HILFSBLATT ZU AUFGABE 3

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HILFSBLATT ZU AUFGABE 6 Teil b) und Teil c)

iZD in mA −16

−14

−10

−12

−8

−6

−2

−4

uZD in V −100

−200

−300

−400

d)

u in V

u R4 in V

20

15 10 5

1

2

3

4

5

t in sec

1

2

3

4

5

t in sec

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Aufgabe 1:

15 Punkte

Fragen zum Grundwissen → a) Lösung: Elektrische Feldlinien von + nach -,

(2 Punkte) → b) Lösung:

wird kleiner

bleibt gleich wird größer

Spannung Kapazität Ladung Feldstärke Flussdichte (5 Punkte) → c) Lösung: C (2 Punkte) → d) Lösung: Die magnetischen Feldlinien gehen von Nord- zum Südpol. Der Strom fließt von Plus zu Minus. Der stromführende Leiter erfährt eine Kraft, die nach links zeigt. (2 Punkte) → e) Lösung: 𝑍𝐶 =

1 ∞ , d. h. Leerlauf für 𝑓 → 0 Hz =� 0 , d. h. Kurzschluss für 𝑓 → ∞ j𝜔𝐶

𝑍𝐿 = j𝜔𝐿 = �

0 , d. h. Kurzschluss für 𝑓 → 0 Hz ∞ , d. h. Leerlauf für 𝑓 → ∞ (4 Punkte)

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Aufgabe 2:

12 Punkte

Induktion im magnetischen Feld

a) Die Bestimmung des Normalenvektors n� erfolgt durch die betragsgerechte, geometrische Addition der Einheitsvektoren in 𝑥- und 𝑦-Richtung. (2 Punkte)      n = −e x sin α + ey cos α = − ex sin ωt + ey cos ωt

(6 Punkte)

b) Mit dem Ansatz für den magnetischen Fluss

Φ (t ) =

  B ∫∫ (t ) n (t ) dA A

und der definierten Flussdichte  2 πk 2πk + π   mit k ∈  ≤ t≤  B( − ex ) für B (t ) =  ω ω   0 sonst 

ergibt sich letztendlich der magnetische Fluss 𝛷 zu:  abB sin ωt Φ(t ) =   0 

für

2π k

ω

≤t ≤

2π k + π

ω

mit k ∈ 

sonst

Das Diagramm hierzu sollte wie folgt aussehen:

Φ abB 1

0,5

−2

−1

1

2

3

ωt / π

c) Mit dem Ansatz für die induzierte Spannung nach dem Rechtsschraubensinn und der definierten Richtung des Spannungspfeils in der Aufgabenstellung ergibt sich die Spannung aus (4 Punkte)

u (t ) =

2π k 2π k + π  dΦ (t )  abBω cosω t für mit k ∈  ≤t≤ = ω ω dt  0 sonst 

Auf Grundlage diese Gleichung sollte das Diagramm wie folgt aussehen:

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u abBω 1

0,5

−1

3

1

−2

2 −0,5

−1

ωt / π

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Aufgabe 3:

17 Punkte

Netzwerkanalyse (Gleichstromnetzwerk) a)

(1 Punkt)

b) siehe Bild (2 Punkte)

c) 3 − 1 = 2; 𝜙0 = 0, 𝜙1 = 𝑈0, 𝜙2, 𝜙3 d)

𝐾2 :

𝜙2 −𝜙3 𝑅1 +𝑅2

𝜙2 −𝑈0 𝑅3

+

→ 𝜙2 �

𝐾3 : 𝑅3 − 𝐼0 + 𝜙

6

�

1

1

𝑅1 +𝑅2

1

+𝑅 +

−

3

1

+

𝜙3 −𝜙2 𝑅1 +𝑅2

→ 𝜙2 �− 𝑅

𝑅1 +𝑅2

𝜙2 4 +𝑅5

+𝑅

𝑅1 +𝑅2

1

1 +𝑅2

1

𝑅4 +𝑅5

1 𝑅3

+

(1 Punkt)

=0 1

𝑅4 +𝑅5

1 � +𝑅 1 2

� + 𝜙3 �− 𝑅

𝑈

= 𝑅0 3

=0 � + 𝜙3 � 𝑅

1

1 +𝑅2

+

1

𝑅6

� = 𝐼0

1 𝜙2 1 +𝑅2 1 �� 𝜙 � 1 3 + 𝑅1 +𝑅2 𝑅6

−𝑅

=

𝑈0 𝑅 � 3�

𝐼0

(5 Punkte)

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e)

𝑈𝑅3 = 𝑈0 − 𝜙2 �

−

𝑅

11

2

𝑅

det � 6𝑅1 −𝑅 det �

1

−𝑅

11 6𝑅 1

𝑈0

3𝑅

𝐼0

→ 𝜙2 =

𝑈0

𝜙 � � 𝜙23 � = �3𝑅� 𝐼 1

−𝑅 2

𝑅 1

−𝑅 2

𝑅

0

�=

�=

2𝑈0 +3𝑅𝐼0 3𝑅2 8 3𝑅2

8 3𝑅2

2𝑈0 +3𝑅𝐼0 3𝑅2

= �𝑈0 + 2 𝑅𝐼0 � 4 1

3

→ 𝑈𝑅3 = 𝑈0 − 𝜙2 = �𝑈0 − 𝑅𝐼0 � 2 4 3

1

f) keine Spannung über 𝑅4 und 𝑅5

(5 Punkte)

→keine Potentialdifferenz zwischen 𝐾0 und 𝐾2

3 → 𝜙2 = 0 ⇔ 𝑈0 = − 𝑅𝐼0 2 (3 Punkte)

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Aufgabe 4:

18 Punkte

Wechselstromnetzwerk a) Zeiger und komplexe Impedanzen 𝑍1 und 𝑍2 : �0 = 𝑈�0 𝑒 −𝑗𝜋�2 𝑈

𝑍1 = 𝑅1 + 𝑗𝜔𝐿 𝑍2 =

1 𝑗𝜔𝐶 1 𝑅2 +𝑗𝜔𝐶

𝑅2 ∙

=

𝑅2

1+𝑗𝜔𝑅2 𝐶

(3 Punkte)

b) Spannung 𝑈�2 mit Spannungsteiler ermitteln: �2 = 𝑍2 ∙ 𝑈�0 = 𝑈 𝑍 +𝑍 1

2

𝑅2 1+𝑗𝜔𝑅2 𝐶 𝑅2 𝑅1 +𝑗𝜔𝐿+ 1+𝑗𝜔𝑅2 𝐶

∙ 𝑈�0 =

𝑅2 ∙ 𝑈 �0 𝑅1 +𝑅2 −𝜔2 𝑅2 𝐿𝐶+𝑗(𝜔𝐿+𝜔𝑅1 𝑅2 𝐶)

(3 Punkte)

�0 und 𝑈 �2 sind um 90° phasenverschoben, wenn 𝑈�2 rein reell ist (Phasenversatz 90°), daher gilt: c) 𝑈 𝑅1 + 𝑅2 − 𝜔2 𝑅2 𝐿𝐶 = 0 𝑅

1 → 𝑅2 = 𝜔2 𝐿𝐶−1

(4 Punkte) d) Mögliches Zeigerdiagramm im allgemeinen Fall:

I 0

U 0

U L

I  U C R1 U L

U R1 I R2

U 2

(8 Punkte)

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Aufgabe 5:

15 Punkte

Ausgleichsvorgänge a) Anfangswert: 𝑖𝐿 (0+) = 𝑖𝐿 (0−) = 0 Endwert:

1� 𝐺1 𝑅1 = 𝐼0 𝑖𝐿 (∞) = 𝐼0 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 𝐺ges 𝑅1 (𝑅2 + 𝑅3 ) 𝑅2 + 𝑅3 = 𝐼0 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 Zeitkonstante: 𝑅äq1 = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 → 𝜏1 = 𝑅

Spulenstrom für 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡1 :

𝑖𝐿 (𝑡) = 𝐼0

𝐿

1 +𝑅2 +𝑅3

𝑅2 +𝑅3 �1 − exp�−𝑡 �𝜏1 �� 𝑅1 +𝑅2 +𝑅3

b) 𝑖𝐿 (𝑡1 ) = 𝐼0

𝑅2 + 𝑅3 𝑅2 + 𝑅3 �1 − exp �−𝑡1�𝜏1�� = 𝐼0 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 2(𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 )

1 ↔ 1 − exp �−𝑡1 �𝜏1 � = 2

c)

↔ 𝑡1 = 𝜏1 ln2

Anfangswert:

𝑖𝐿 (𝑡1 ) = 𝐼0

Endwert: 𝑖𝐿 (∞) = 𝐼0 Zeitkonstante:

𝑅2 +𝑅3 2(𝑅1 +𝑅2 +𝑅3 )

𝑅äq2 = 𝑅3 → 𝜏2 =

Spulenstrom für 𝑡1 ≤ 𝑡: 𝑖𝐿 (𝑡) = 𝐼0 + �𝐼0

𝐿 𝑅3

𝑅2 + 𝑅3 − 𝐼 � exp(−(𝑡 − 𝑡1 )/𝜏2 ) 2(𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 ) 0

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Aufgabe 6:

13 Punkte

Halbleiter: Anwendung einer z-Diode a) Anhand des Kirchhoff’schen Gesetzes für Ströme im oberen Knoten kann die Gleichung für die Diodenspannung in Abhängigkeit des -stroms und der gegebenen Größen hergeleitet werden. (4 Punkte) R + R 3  R1 + R 2  −uZD  3  = ( u + uZD )   + iZD  R3 R4   R1 R2 

Löst man nach 𝑢ZD auf, so ergibt sich die Geradengleichung:

u ZD = − u

Rx2 R R RR RR − x1 x2 iZD mit Rx1 = 1 2 und Rx2 = 3 4 Rx1 + Rx2 Rx1 + Rx2 R1 + R2 R3 + R4

b) Der Vergleich einer realistischen und linearisierten Kennlinie sollte wie folgt aussehen: (3 Punkte)

iZD −u DZD

uZD



realistische Kennlinie linearisierte Kennlinie

1 RZD

c) Mithilfe der o.g. Geradengleichung werden die Arbeitskennlinien der Schaltung durch Nullsetzen der Spannung bzw. des Stromes in das Diagramm eingetragen. (3 Punkte)

iZD in mA −16

−14

−12

−10

−8

−6

−4

−2

uZD in V −100

−200

−300

−400

Seite 9 von 9 d) Die entsprechenden Werte für 𝑢R4 sind aus dem obigen Diagramm abzulesen.

(3 Punkte)

uR4 in V

u in V

20

6,3

15

6,0

10

5,7

5

1

2

3

4

5

t in sec

1

2

3

4

5

t in sec...