Kombinatorik - Übungen inkl. Lösungen PDF

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BSP Berlin – IBWL M 26 Statistik II Wintersemester 2016/17

02.11.2016

Übungsblatt III - Lösungen (Kombinatorik) Aufgabe 1) In einer kleinen Bibliothek gibt es für das Themengebiet Statistik im inhaltlichen Bereich jeweils ein Buch über "deskriptive Statistik", "Inferenzstatistik", "multivariate Verfahren" sowie über "Quantitative Methoden" und "Hypothesentests". Wenn die Bücher in irgendeiner Anordnung ins Regal gestellt werden, wie wahrscheinlich ist es, dass sie zufällig in alphabetischer Folge stehen? Lösung: Hier dreht es sich um die Anordnung der Grundgesamtheit in eine bestimmte Reihenfolge. Demnach berechnet man hier die Permutationen mit PN = N! = 5! = 120. Um die Wahrscheinlichkeit zu errechnen muss der eine günstige Fall durch die 120 möglichen Fälle dividiert werden.

Aufgabe 2) Ihr Fahrrad ist mit einem Zahlenschloss gesichert, welches fünf Ringe besitzt, die jeweils die Ziffern von 0 bis 9 enthalten. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit den vorgegebenen Code auf Anhieb zu knacken? Wie verändert sich die Wahrscheinlichkeit durch die Zusatzinformation, dass in dem fünfstelligen Code jede Zahl nur einmal vorkommt? Lösung: Variation mit zurücklegen: N=10, n=5  =  = 10 = 100.000  = 1/100.000 Variation ohne zurücklegen: ! ! ! = = = 30.240   = !

!

!

=

 

Aufgabe 3) Eine Schreibmaschine enthält nur die 26 Großbuchstaben (ohne Umlaute). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Affe, der gleichmäßig blindlings neunmal auf die Tastatur tippt, dabei die Buchstabenfolge STATISTIK schreibt? Lösung: Hier stehen die Buchstaben der Tastatur für die Grundgesamtheit aus der eine Stichprobe von 9 Buchstaben gezogen wird. Es interessiert uns die Reihenfolge der Buchstaben. Gleichzeitig bleiben die Tasten vorhanden, also liegt ein einfaches Zufallsexperiment mit Zurücklegen vor. n 9 Wieder P = 1/5429503678976 NV n = N = 26 = 5429503678976

Aufgabe 4) Wie viele verschiedene Zahlen kann man aus den Ziffern 3, 3, 1, 1 bilden? Wie viele verschiedene Zahlen werden es, wenn zusätzlich die Ziffern 2, 2 dazu kommen? Lösung: Hier handelt es sich um eine Permutation mit Wiederholung.  =

! 4! =6 = ! ∗ ! ∗ …  ! 2! ∗ 2!

6! = 90 2! ∗ 2! ∗ 2!

Aufgabe 5) An sieben nebeneinander stehenden Telefonzellen hängen seit vier Wochen drei identische "Außer Betrieb"-Schilder. Ein Passant, der dort öfter vorbeikommt, beschließt, die drei Schilder per Zufall auf die sieben Zellen zu verteilen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei dieser zufälligen Verteilung die drei Schilder "Außer Betrieb" an den Zellen landen, die tatsächlich außer Betrieb sind? Lösung: Die Telefonzellen können als Population und die Schilder als Stichprobe aufgefasst werden. Jedes Schild kann nur einmal aufgehängt werden, also eine Ziehung ohne Zurücklegen. Außerdem interessiert die Reihenfolge nicht, da die Schilder nicht unterscheidbar sind. NK n

!

!

= !∗! = N über n Binomialkoeffizient = 7 über 3 = !∗! = 35 P = 1/35

Aufgabe 6) Jogi Löw ist von der deutschen Nationalmannschaft so überzeugt, dass er im nächsten Länderspiel für die einzelnen Positionen zufällig einen Spieler aus seinem 22 Mann starken Kader auswählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dennoch auf jeder Position (in der elfköpfigen Startaufstellung) der jeweils stärkste Spieler steht? Lösung: Der Kader ist die Grundgesamtheit und die Startaufstellung die Stichprobe. Da für jede Position ein bestimmter Spieler am besten geeignet ist, interessiert uns die Reihenfolge. Gleichzeitig haben wir hier logischerweise eine Auswahl ohne Zurücklegen vorliegen. !

NV n =   !

!

= ! = 28158588057600

P = 1/28158588057600...