Alle Strömungsmechanik Hörsaalübungen inkl. Lösung PDF

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In der PDF befinden sich alle Hörsaalübungen und explizite Lösungen dazu.
Perfekte Vorbereitung auf die Klausur...

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Strömungsmechanik - Hörsaalübung 1 - Detaillierte Lösungswege Institut für Fluiddynamik und Schiffstheorie (M-8) TUHH, Stand: 4. Mai 2020 Anmerkungen/Korrekturen an: [email protected]

Mathematische Grundlagen (M1-M4) Allgemeine Hinweise / Theorie Die kompakte symbolische Schreibweise / Darstellung von Skalaren, Vektoren und Matrizen erfolgt mittels x-facher Unterstreichung. Diese werden auch als Tensoren unterschiedlicher Stufe bezeichnet. Hierbei gilt: • a: Skalar - Tensor 0. Stufe (nicht unterstrichen) • a: Vektor - Tensor 1. Stufe (einfach unterstrichen)

• a: Matrix - Tensor 2. Stufe (zweifach unterstrichen) • x-fache Untertreicuhng - Tensor x.ter Stufe (in der Kontinuumsphysik bis einschließlich Stufe 4 üblich)

Im 3D Vektorraum erfolgt die Darstellung eines Vektors a ∈ R3 in einem Basisystem als   a1 3 a =  a 2  = a 1 e1 + a 2 e2 + a 3 e3 = ∑ a i ei |{z} | {z } i= 1 a3 symbolisch Koordinaten-Schreibweise

(1)

Hierin werden a 1 , a 2 und a 3 als Koordinaten und die jeweiligen Summanden, bspw. a 1 e1 , als Komponenten des Vektors bezeichnet. Die Vekoren e1 , e2 und e3 stellen die (frei zu wählenden) Basisvektoren dar. Dazu wird i.A. eine raumfeste Orthonormalbasis herangezogen, d.h. es werden die Einheitsvektoren e1 = (1, 0, 0)T , e2 = (0, 1, 0)T und e3 = (0, 0, 1)T verwendet. Alle folgenden Ausführungen beziehen sich auf dieses kartesische Basisystem (auch: kanonische Basis / Standardbasis des R3 verwendet. Um eine zahlenmäßige Angabe von Tensoren beliebiger Stufe zu ermöglichen, die im Vergleich zur symbolischen Schreibweise eine zusätzliche Angabe des Basissystems erfordert, findet die sogenannte Koordinatenschreibweise oder Indexnotation durch indizierte Buchstaben Verwendung. Bei der Notation eines Vektors entfällt gemäß der Einsteinschen Summenkonvention das Summenzeichen (2)

a = a i ei

Sofern die Verständigung auf eine Basis eindeutig ist, kann die Angabe der Basisvektoren ebenfalls entfallen und es ergibt sich der Zusammenhang zwischen der symbolischen Schreibweise und der Indexnotation eines Vektors zu (3)

a = ai

Diese Schreibweise hat zum Vorteil, dass eine koordinatenweise Betrachtung von Tensoren ermöglicht wird.

Einsteinsche Summenkonvention Gemäß der Einsteinschen Summenkonvention • darf ein lateinischer Index innerhalb der Koordinaten eines Gliedes nur 1x (freier Index) oder 2x (gebundener Index) auftreten. • wird über doppelt auftretende Indizes von 1 bis 3 summiert. • müssen alle Glieder einer Gleichung in den freien Indizes übereinstimmen.

Die Basisvektoren der gewählten kartesischen Basis sind paarweise orthogonal zueinander und auf Eins normiert

ei · e j = 0

für

i=j

| ei |2 = ei · ei = 1

Zur kompakten Schreibweise der Basiseigenschaften wird das sogenannte Kronecker-Delta definiert ( 1 für i = j δij = 0 für i 6= j 1

(4) (5)

(6)

Algebraische Operationen - Einführung von 3 Produkten Skalarprodukt Beispiel: Skalarprodukt zweier Tensoren 1. Stufe (Vektoren) a·b= X

a i bi = X

(symbolisch)

(7)

(Indexnotation)

(8) (9)

a · b = (a i ei ) · ( a j e j ) = a i bi (ei · e j ) = a i bj δij = a i bj • Kennzeichnung durch einen Punkt (·) • das Skalarprodukt zweier Tensoren m-ter und n-ter Stufe ergibt einen Tensor (m + n − 2)-ter Stufe Vektor/Kreuzprodukt Beispiel: Kreuzprodukt zweier Tensoren 1. Stufe (Vektoren) a×b = X

(symbolisch)

(10)

(Indexnotation)

ǫijk a i bj = Xk

(11)

Definition des Epsilon-/Permutationstensors:

ǫijk

  1 = −1   0

für zyklische Permuation der Indizes(123, 231, 312) für nicht-zyklische Permutation der Indizes(132, 213, 321) wenn > 2 Indizes gleich

(12)

Komponentenweise Betrachtung (Bsp. x1 -Komponente): (13)

( a × b)k = ∑ ǫijk a i bj = ǫkij a i bj ij

( a × b )1 =

a i bj = 1 · a 23 + (−1) · a 32 = a 23 − a 32

ǫ1ij |{z}

(14)

ǫ123 =1, ǫ132 =−1

• Kennzeichnung durch ein Kreuz (×)

• das Kreuzprodukt zweier Tensoren m-ter und n-ter Stufe ergibt einen Tensor (m + n − 1)-ter Stufe Tensorprodukt / dyadisches Produkt Beispiel: Tensorprodukt zweier Tensoren 1. Stufe (Vektoren) ab = X a i bj = Xij

(symbolisch)

(15)

(Indexnotation)

(16)

a i bj ist hierbei zu interpretieren als Spalten- mal Zeilenvektor.   a 1 b1 · · · a1  ..   .. T .. ab= (a ⊗ b) = a · b =  .  (b1 · · · bj ) =  . . | {z } a i b1 · · · ai weitere Notation 

• Kennzeichnung durch einfache Nebeneinanderstellung oder durch ⊗

 a 1 bj ...   a i bj

• das Tensorprodukt zweier Tensoren m-ter und n-ter Stufe ergibt einen Tensor (m + n)-ter Stufe

2

(17)

Differentialoperatoren Einführung des Nabla-Operators (besitzt alle Eigenschaften eines Vektors und eines Differentialoperators)

∇=∇ | {z }

=

symb. Notation

∂ e ∂xi i | {z }

=

∂ ∂ ∂ e e + e + ∂x1 1 ∂x2 2 ∂x3 3

(18)

Indexnotation

Es wird zwischen 3 Differentialoperatoren unterschieden: • Divergenz (Verknüpfung räumliche Ableitung mit Skalarprodukt) div F = ∇ · F

(19)

• Rotation (Verknüpfung räumliche Ableitung mit Vektorprodukt) rot F = ∇ × F

(20)

• Gradient (Verknüpfung räumliche Ableitung mit Tensorprodukt) grad F = ∇ F = ∇ ⊗ F

(21)

Gaußscher Integralsatz Die für die Fluidmechanik wichtigste Variante beschreibt den Fluss Q eines Vektorfeldes v durch eine geschlossene Oberfläche eines Kontrollvolumens (KV) → Umwandlung Oberflächen- in Volumenintegral Q=

I

v · dA =

I

vi dAi =

O (KV)

Q=

O (KV)

I

v · n dA =

I

vi ni dA =

O (KV)

O (KV)

GS

GS

Z

∇ · v dV =

Z

∂vi dV ∂xi

KV

KV

3

Z

divv dV

symbolisch

(22)

Indexnotation

(23)

KV

M1 Aufgabe Die Punkte A (1, 0, 0), B(0, 1, 0), C (0, 0, 1) und O(0, 0, 0) definieren einen Tetraeder. (a) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Dreiecksfläche ABC ! (b) Bestimmen Sie den Einheitsnormalenvektor n der Dreiecksfläche ABC ! (c) Bestimmen Sie den Fluss des Vektorfeldes u = (x − 2z ) e1 + (3z − 4x ) e2 + (5 x + y ) e3 durch den abgebildeten Tetraeder!

Lösung (a) Die gesuchte Fläche A ABC ergibt sich aus dem Vektor-/Kreuzprodukt des von den Vektoren b und v aufgestellten Parallelogramms, vgl. Abbildung. Die Vektoren sind gegeben durch       −1 1 # » # »  0 b = OB − OA = (24) 1  − 0  =  1  0 0 0       −1 0 1 # » # » c = OC − OA =  0  −  0  =  0  (25) 1 0 1 Die Fläche ergibt sich zu

      −1  1  1  √ 3 1 1  −1     A = | b × c| =  1 ×  0  =   1  = 2 2 2 2 1 1 0

(26)

(b) Der gesuchte Normalenvektor n ABC geht in Richtung der äußeren Normalen der Fläche ABC. Der Vektor ist orthogonal zu den Vektoren b und c und ergibt sich zu   1  1    1 1 1  (27) 1  = √ n ABC = √ 3 3 1 4

(c) Der Fluss des Vektorfeldes u = (x − 2z ) e1 + (3z − 4x ) e2 + (5 x + y ) e3

durch den Tetraeder ergibt sich aus dem Oberflächenintegral Q=

I

O (KV)

u · dA =

I

O (KV)

u · n dA

(28)

Der Vekor n ist hierin ein Einheitsvektor in Richtung der äußeren Normalen zur betrachteten Oberfläche eines Kontrollvolumens (O(KV )). Das Oberflächenintegral wird im Folgenden in 4 Summanden aufgeteilt 4

Qges =

∑

= QOBC + QOAC + QOAB + Q ABC

(29)

i= 1

Im Folgenden wird beispielhaft der formale Rechenweg des ersten Summanden QOBC dargestellt (Integrati-

5

onsgrenzen vgl. Abbildung) I

QOBC =

O (KV)

=

(30)

Z1 1Z− y

u · nOBC dz dy

0

0

mit nOBC

u · nOBC dA

(31)

 −1 =  0  und u ( x = 0) = −2z e1 + 3z e 2 + y e3 ergibt sich 0 

QOBC =

Z1 1Z− y 0

=

Z1 h

z2

0

=

Z1 0

2z dz dy

(32)

i 1− y

(33)

0

0

dz

1 − 2y + y 2 dz

h

= y − y 2 + 1/3y 3 =

1 3

(34)

i1

0

(35) (36)

Analog zu dieser Vorgehensweise erhält man für die weiteren Einzelintegrale: • QOAC =

1 6

• QOAB = −1 • Q ABC =

2 3

und der Gesamtfluss beträgt Qges =

1 2 1 1 + −1+ = 3 6 3 6

(37)

Der positive Zahlenwert bedeutet dabei, dass der Fluss aus der Oberfläche hinaus erfolgt und sich demnach durch das Vektorfeld eine Quelle im Inneren des Tetraeders abgebildet wird. Die Lösung der Oberflächenintegrale ist - selbst für die hier einfach zu parametrisierenden Flächenelemente recht aufwendig. Eine wesentlich kompaktere Lösung ergibt sich unter der Verwendung des Gaußschen Integralsatzes (GS) - nachfolgend in Indexnotation: Qges =

I

GS

u i ni dA =

O (KV)

Z

KV

∂u i dV ∂xi

(38)

Bei dem Übergang des Oberflächen- zum Volumenintegral verändert sich der Integrand zur Divergenz des Vektorfeldes u Qges =

Z

∂(5x + y ) ∂( x − 2z ) ∂(3z − 4x ) + + dV ∂y ∂x ∂z

(39)

Z

0 ✟ ✯0 ✟ ✯ ✯1 ✟✟ +✟ y) −✟ 4x✟ ) ∂(5x✟ ∂( x − ✟2z ) + ∂(3z✟ dV + ✟ ✟ ✟ ✟ ∂x ✟ ∂z ✟ ∂y

(40)

dV = V = VTetraeder

(41)

KV

Qges =

KV

Qges =

Z

KV

(42) 6

Der Fluss des Vektorfeldes durch den Tetraeder ist somit auf das Tetraedervolumen beziffert. Das Volumens eines Tetraeders, der von den Vektoren b, c und o = (−1, 0, 0)T aufgespannt wird, lässt sich mit Hilfe des Spatproduktes berechnen 1 | o · (b × c)| 6       −1 −1 −1  1   =  0  ·  1  ×  0   6 0 0 1       −1 1 1  =  0  ·  1  6 0 1 1 = 6

VTetraeder =

7

(43) (44)

(45) (46)

In Koordinatenschreibweise nehmen kleine lateinische Indizes die Werte 1, 2 und 3 an. Die folgenden Aufgabenteile sind unter Beachtung der Einsteinschen Summenkonvention zu bearbeiten.

M2 Aufgabe (a) Welche der folgenden Notationen sind fehlerhaft? τijkl

δu l δxk

;

ti = a ij bij n j

δu i δ2 u 1 δp δu + ν 2i + u j i = fi − δx j ρ δxi δt δx j

;

(b) Schreiben Sie die folgenden Terme/Gleichungen aus! Aii

;

;

Bij xi x j

δu m =0 δxm

(c) Berechnen Sie δjj und δjl ǫijk ǫilk !

Lösung (a) • τijkl

δu l δxk

– k und l sind gebundene Indizes – alle Indizes kommen entweder 1x oder 2x vor → korrekt – τijkl ist ein Tensor 4. Stufe und

3

3

∑∑ k= 1 l = 1



τijkl

δu l δxk



(47)

ergibt einen Tensor 2. Stufe – korrekte Notation • ti = a ij bij n j – 3x j als Index auf rechter Seite – linke Seite: i als freier Index, rechte Seite: i als gebundender Index – wie summiert werden sollte ist völlig unklar – fehlerhafte Notation •

δu i δu i δ2 u 1 δp + ν 2i = fi − + uj δx j ρ δxi δt δxj – – korrekte Notation – stellt die Impulsbilanz der Navier-Stokes Gleichungen dar – i ist freier Index (in jedem Glied der Gleichung) – gebundener Index (j) taucht jeweils 2x auf (dieser gebundene Index kann für jedes Glied einzeln benannt werden, da er ein Laufindex ist und für die einzelnen Glieder variieren kann) – beispielhaftes Ausschreiben der x1 -Komponente: ∂u ∂u ∂u ∂u 1 1 ∂p + u1 1 + u2 1 + u3 1 = f1 − +ν ρ ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂t ∂x3 8

∂2 u 1 ∂2 u 1 ∂2 u 1 + + ∂x12 ∂x22 ∂x32

!

(48)

(b) • Spur einer Matrix / Summe der Hauptdiagonalelemente 3

Aii = ∑ Aii = A11 + A22 + A33 = Sp ( A )

(49)

i= 1

• Bij xi x j = B11 x1 x1 + B12 x1 x2 + B13 x1 x3 + B21 x2 x1 + B22 x2 x2 + B23 x2 x3 + B31 x3 x1 + B32 x3 x2 + B33 x3 x3 (50) • Divergenz eines Vektorfeldes u ∂u m ∂u ∂u ∂u = 1 + 2 + 3 = div (u ) ∂x3 ∂xm ∂x2 ∂x1

(51)

δjj = δ11 + δ22 + δ33 = 3

(52)

(c) • Kronecker-Delta δij

• l= j

2 2 + ǫ2312 + ǫ132 + ǫ2213 + ǫ2321 = δjl ǫijk ǫilk = ǫijk ǫijk = ǫ2123 + ǫ231

3 · (1)2 + 3 · (−1)2 | {z }

Auswertung des Permutationstensors ǫ

9

= 6 (53)

M3 Aufgabe (a) Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck: b = δjl δkm ǫilm a j bk ci (b) Schreiben Sie den Ausdruck aus (a) in symbolischer Schreibweise und geben Sie eine anschauliche Interpretation!

Lösung (a) b = δjl δkm ǫilm a j bk ci l= j

(54)

= δkm ǫijm a j bk ci

(55)

m=k

(56)

= ǫijk a j bk ci

(b) Die symbolische Schreibweise des Ausdruckes aus (a) entspricht: b = ( a × b) · c

(57)

Anschaulich enstpricht dies dem Volumen des durch die 3 Vektoren a, b und c aufgespannten Spates. Die mathematisches Bezeichnung des Ausdruckes lautet Spatprodukt.

10

M4 Aufgabe Übersetzen Sie die folgenden Operationen in Indexnotation: • ∇φ • grad u • ∇·u • ∆u

Lösung Mit dem Nabla Differentialoperator

∇

∂ ∂ ∂ ∂ e2 + ee + e3 ei = ∂x ∂x ∂x ∂xi 2 1 3

(58)

ergeben sich die folgenden Ausdrücke in Indexnotation:

• der Gradient erhöht die Stufe (angewendet auf das Skalarfeld φ der Stufe 0) um 1

∇ φ = ∇ φ = grad (φ ) =

∂φ (e ) ∂xi i

(Stufe 1)

(59)

• der Gradient erhöht die Stufe (angewendet auf das Vektorfeld u der Stufe 1) um 1 grad (u ) = ∇ u =

∂u i ∂ e ui ei = (e e ) ∂x j j i ∂x j j

(Stufe 2)

(60)

• die Divergenz senkt die Stufe (angewendet auf das Vektorfeld u der Stufe 1) um 1

∇ · u = div (u ) =

j= i ∂u i ∂u i ∂u i ∂ e j · ei = e j · ui ei = δij = ∂xi ∂x j ∂x j ∂x j

(Stufe 0)

(61)

• der Laplace-Operator (∆) erhält die Stufe (angewendet auf das Vektorfeld u der Stufe 1) ∆u = (∇ · ∇)u = ∇2 u = ∇ · (∇ u ) = div (grad (u )) ! ∂ ∂ e · ui ei e (∇ · ∇)u = ∂x j j ∂xk k  ∂2  = e j · ek ui ei ∂x j ∂xk

=

∂2 δ u e ∂x j ∂xk jk i i

k= j

=

∂2 u i (e ) ∂xj2 i

11

(Stufe 1)

(62)

(63) (64) (65) (66)

Strömungsmechanik - Hörsaalübung 1 - Detaillierte Lösungswege Institut für Fluiddynamik und Schiffstheorie (M-8) TUHH, Stand: 12. Mai 2020 Anmerkungen/Korrekturen an: [email protected]

Mathematische Grundlagen (M1-M4) Allgemeine Hinweise / Theorie Die kompakte symbolische Schreibweise / Darstellung von Skalaren, Vektoren und Matrizen erfolgt mittels x-facher Unterstreichung. Diese werden auch als Tensoren unterschiedlicher Stufe bezeichnet. Hierbei gilt: • a: Skalar - Tensor 0. Stufe (nicht unterstrichen) • a: Vektor - Tensor 1. Stufe (einfach unterstrichen)

• a: Matrix - Tensor 2. Stufe (zweifach unterstrichen) • x-fache Untertreicuhng - Tensor x.ter Stufe (in der Kontinuumsphysik bis einschließlich Stufe 4 üblich)

Im 3D Vektorraum erfolgt die Darstellung eines Vektors a ∈ R3 in einem Basisystem als   a1 3 a =  a 2  = a 1 e1 + a 2 e2 + a 3 e3 = ∑ a i ei |{z} | {z } i= 1 a3 symbolisch Koordinaten-Schreibweise

(1)

Hierin werden a 1 , a 2 und a 3 als Koordinaten und die jeweiligen Summanden, bspw. a 1 e1 , als Komponenten des Vektors bezeichnet. Die Vekoren e1 , e2 und e3 stellen die (frei zu wählenden) Basisvektoren dar. Dazu wird i.A. eine raumfeste Orthonormalbasis herangezogen, d.h. es werden die Einheitsvektoren e1 = (1, 0, 0)T , e2 = (0, 1, 0)T und e3 = (0, 0, 1)T verwendet. Alle folgenden Ausführungen beziehen sich auf dieses kartesische Basisystem (auch: kanonische Basis / Standardbasis des R3 verwendet. Um eine zahlenmäßige Angabe von Tensoren beliebiger Stufe zu ermöglichen, die im Vergleich zur symbolischen Schreibweise eine zusätzliche Angabe des Basissystems erfordert, findet die sogenannte Koordinatenschreibweise oder Indexnotation durch indizierte Buchstaben Verwendung. Bei der Notation eines Vektors entfällt gemäß der Einsteinschen Summenkonvention das Summenzeichen (2)

a = a i ei

Sofern die Verständigung auf eine Basis eindeutig ist, kann die Angabe der Basisvektoren ebenfalls entfallen und es ergibt sich der Zusammenhang zwischen der symbolischen Schreibweise und der Indexnotation eines Vektors zu (3)

a = ai

Diese Schreibweise hat zum Vorteil, dass eine koordinatenweise Betrachtung von Tensoren ermöglicht wird.

Einsteinsche Summenkonvention Gemäß der Einsteinschen Summenkonvention • darf ein lateinischer Index innerhalb der Koordinaten eines Gliedes nur 1x (freier Index) oder 2x (gebundener Index) auftreten. • wird über doppelt auftretende Indizes von 1 bis 3 summiert. • müssen alle Glieder einer Gleichung in den freien Indizes übereinstimmen.

Die Basisvektoren der gewählten kartesischen Basis sind paarweise orthogonal zueinander und auf Eins normiert

ei · e j = 0

für

i=j

| ei |2 = ei · ei = 1

Zur kompakten Schreibweise der Basiseigenschaften wird das sogenannte Kronecker-Delta definiert ( 1 für i = j δij = 0 für i 6= j 1

(4) (5)

(6)

Algebraische Operationen - Einführung von 3 Produkten Skalarprodukt Beispiel: Skalarprodukt zweier Tensoren 1. Stufe (Vektoren) a·b= X

a i bi = X

(symbolisch)

(7)

(Indexnotation)

(8) j= i

(9)

a · b = (a i ei ) · (bj e j ) = a i bj (ei · e j ) = a i bj δij = a i bi • Kennzeichnung durch einen Punkt (·) • das Skalarprodukt zweier Tensoren m-ter und n-ter Stufe ergibt einen Tensor (m + n − 2)-ter Stufe Vektor/Kreuzprodukt Beispiel: Kreuzprodukt zweier Tensoren 1. Stufe (Vektoren) a×b = X

(symbolisch)

(10)

(Indexnotation)

ǫijk a i bj = Xk

(11)

Definition des Epsilon-/Permutationstensors:

ǫijk

  1 = −1   0

für zyklische Permuation der Indizes(123, 231, 312) für nicht-zyklische Permutation der Indizes(132, 213, 321) wenn > 2 Indizes gleich

(12)

Komponentenweise Betrachtung (Bsp. x1 -Komponente): (13)

( a × b)k = ∑ ǫijk a i bj = ǫkij a i bj ij

( a × b )1 =

a i bj = 1 · a 23 + (−1) · a 32 = a 23 − a 32

ǫ1ij |{z}

(14)

ǫ123 =1, ǫ132 =−1

• Kennzeichnung durch ein Kreuz (×)

• das Kreuzprodukt zweier Tensoren m-ter und n-ter Stufe ergibt einen Tensor (m + n − 1)-ter Stufe Tensorprodukt / dyadisches Produkt Beispiel: Tensorprodukt zweier Tensoren 1....