Uebung 9 Empirische Verteilungsfunktion, Maßzahlen;Zweidimensionale Messreihen;Kombinatorik PDF

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Empirische Verteilungsfunktion, Maßzahlen;Zweidimensionale Messreihen;Kombinatorik...

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Mathematik IV f. Elektrotechnik Mathematik III f. Informatik 9. Übungsblatt Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Stefan Ulbrich M.Sc. Johanna Biehl M.Sc. Paloma Schäfer Aguilar

SoSe 2019 18.–21. Juni 2019

Gruppenübung Aufgabe G1 (Empirische Verteilungsfunktion, Maßzahlen) In einer Automobilfabrik wurden bei 20 Fahrzeugen eines Typs folgende Höchstgeschwindigkeiten gemessen:

141, 142, 143, 144, 144, 144, 145, 145, 146, 147, 147, 148, 150, 150, 151, 151, 152, 138, 140, 141. (a) Zeichnen Sie die empirische Verteilungsfunktion der Stichprobe. (b) Zeichnen Sie ein Histogramm mit Klasseneinteilung

(v − 1, v + 1],

v = 138, 140, 142, 144, 146, 148, 150, 152.

(c) Berechnen Sie den Median, das arithmetische Mittel, die Spannweite und das p-Quantil für p = 0.25 und p = 0.75. (d) Berechnen Sie die empirische Varianz und die empirische Streuung für die verkleinerte Stichprobe, bestehend aus den ersten 7 Messwerten. (e) Angenommen bei der Übertragung der Messdaten ist ein Fehler passiert und es wurde bei einer der Messungen statt 145 km/h 345 km/h übertragen. Welche Auswirkung hat das auf die in Aufgabe (c) und (d) berechneten Maßzahlen? Aufgabe G2 (Zweidimensionale Messreihen) Eine Strecke wurde an 15 verschiedenen Tagen und zu unterschiedlichen Tageszeiten mit dem gleichen Fahrzeug abgefahren. Dabei wurde jeweils die Durchschnittsgeschwindigkeit vi (in km/h) und die Verkehrsdichte di (in Anzahl Fahrzeuge pro km) ermittelt. Dies ergab die folgenden Daten:

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

vi di

29 40

40 37

42 34

47 30

50 25

56 19

57 23

60 21

60 13

62 16

63 21

67 13

69 16

74 11

82 7

(a) Stellen Sie die beobachteten Daten zunächst in einem Punktediagramm graphisch dar und berechnen Sie dann den empirischen Korrelationskoeffizienten. Hinweis für Eilige: Für die Empirischen Streuungen gilt s v ≈ 13.8471 bzw. s d ≈ 9.845. 1

(b) Die Ergebnisse von Teil (a) legen nahe, dass der Zusammenhang zwischen Durchschnittsgeschwindigkeit v und Verkehrsdichte d durch eine Gerade beschrieben werden kann. Bestimmen Sie die Regressionsgerade d = aˆv + ˆb zur Messreihe (vi , di ), i = 1, . . . , 15, und zeichnen Sie diese in das Punktediagramm ein. (c) Da die Durchschnittsgeschwindigkeit leichter zu ermitteln ist als die Verkehrsdichte, sollen mit Hilfe der in Teil (b) berechneten Regressionsgerade Schätzwerte für die Verkehrsdichte bestimmt werden. Geben Sie den Schätzwert für die Verkehrsdichte bei einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 55 km/h an. (d) Im morgendlichen Berufsverkehr wird von Experten eine Verkehrsdichte von 39 Fahrzeugen pro km festgestellt. Mit welcher geschätzten Durchschnittsgeschwindigkeit können die Autofahrer rechnen? Aufgabe G3 (Kombinatorik) Eine Urne enthalte acht Kugeln, die mit den Zahlen 1, . . . , 8 durchnummeriert sind. Nacheinander werden drei Kugeln aus der Urne gezogen und die Nummern notiert. (a) Wie viele Möglichkeiten für die drei Kugeln gibt es beim Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge der gezogenen Kugeln? (b) Wie viele Möglichkeiten für die drei Kugeln gibt es beim Ziehen ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge der gezogenen Kugeln? Welche Ergebnisse aus (a) sind nun nicht mehr möglich? (c) Wie viele Möglichkeiten für die drei Kugeln gibt es beim Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge der gezogenen Kugeln? Wie viele Möglichkeiten aus (b) werden hier jeweils nur noch als eine einzige Möglichkeit behandelt? Nennen Sie alle dieser Möglichkeiten im Fall des Ergebnisses {2, 5, 7}.

Hausübung Aufgabe H1 (Zweidimensionale Messreihen und Regressionsgerade) Auf dem Darmstädter Wochenmarkt ist eine Erhebung über die Länge und das Gewicht von Salatgurken durchgeführt worden. Dabei erhielt man folgende Messwerte: Länge x i (in cm) Gewicht y i (in g)

30 595

31 610

33 625

37 640

39 655

40 715

Es ergeben sich folgende Summen: 6 X i=1

x i = 210,

6 X i=1

x i2 = 7 440,

6 X i=1

y i = 3 840,

6 X i=1

yi2 = 2 466 600,

6 X

x i y i = 135 210.

i=1

(a) Berechnen Sie zu der oben angegebenen Messreihe die empirische Kovarianz sowie die empirische Korrelation. Erscheint ein linearer Zusammenhang zwischen den beobachteten Größen angemessen? (b) Berechnen Sie die Regressionsgerade zur Vorhersage des Gewichtes an Hand der Länge der Salatgurken und zeichnen Sie diese in das entsprechende Punktediagramm der Messreihe ein. (c) Geben Sie einen Prognosewert für das Gewicht einer Salatgurke der Länge 34[cm] an. Aufgabe H2 (Kombinatorik) Ein Skatspiel besteht aus 32 Karten, vier davon heißen Bauern (Buben). Nach dem Mischen der Karten erhalten die drei Spieler (Alex, Bodo und Carl) jeweils zehn Karten. Die verbleibenden zwei Karten bilden den sogenannten Skat. Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse: 2

A: Carl hat genau zwei Bauern. B: Mindestens ein Bauer befindet sich im Skat. C: Ein Spieler hat genau drei Bauern. D: Jeder Spieler besitzt mindestens einen Bauern. Hinweis: Erinnern sie sich an die bekannte Formel des Lotto-Problems: Die Wahrscheinlichkeit, beim Ziehen ohne Zurücklegen von k aus n Elementen aus einer Menge, die n1 Elemente von Sorte 1 und n2 Elemente von Sorte 2 enthält, sodass genau k1 Elemente von Sorte 1 und k2 Elemente von Sorte 2 gezogen werden, beträgt

n  n  1 2 k1 · k2  n . k

Dabei sind n1 , n2 , n ∈ N0 mit n1 + n2 = n und k1 , k2 , k ∈ N0 mit k1 + k2 = k gegeben, wobei k ≤ n gilt. Aufgabe H3 (Zufallsexperiment und Wahrscheinlichkeit) Eine Firma möchte ihren Kunden den Zugriff auf ihre persönlichen Daten über das Internet ermöglichen. Für den Zugang müssen die Kundennummer und eine PIN eingegeben werden. Nachdem die PIN dreimal hintereinander falsch eingegeben wurde, wird der Zugang gesperrt und der Kunde informiert. (a) Angenommen einem Hacker sei die Kundennummer bekannt und er probiert nun zufällig gewählte PINs aus. (Jede PIN wird mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gewählt.) Wie viele Stellen muss die PIN mindestens haben, damit die Wahrscheinlichkeit, dass der Hackerangriff unbemerkt bleibt, höchstens 10−6 ist? Dabei wird angenommen, dass der Hacker keine PIN zweimal ausprobiert. (b) Wie viele Stellen wären nötig, wenn anstelle der PIN ein Passwort verwendet würde? Dabei soll das Passwort aus Buchstaben (ohne Umlaute) und Ziffern bestehen, wobei Groß- und Kleinschreibung nicht beachtet wird.

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