Uebung 09 Aufgaben PDF

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Summary

Aufgabe G1 (Matrizenrechnung)
Aufgabe G2 (Abbildungsmatrix und Basiswechsel I)
Aufgabe G3 (Dualraum)
Aufgabe H1 (Abbildungsmatrix und Basiswechsel II)
Aufgabe H2 (Potenzen von Matrizen)
Aufgabe H3 (Universelle Eigenschaft des Faktorraums)...

Description

Mathematik I für Informatik 9. Übungsblatt Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Thomas Streicher Anton Freund Albrun Knof

WiSe 2018/19 Übung: 17./18. Dezember 2018 Abgabe: 14./15. Januar 2019

Gruppenübung Aufgabe G1 (Matrizenrechnung) Berechnen Sie für

A=



4 −2

−1 1



,

B=



2

1



−1

,



−1 C = 3 0

 2 0 , 1

D=



2 0

5 3

0 1



die Produkte AB, AC , BC , BA, CA, C D, DC und AC T , falls diese definiert sind. Welche der Summen A + B , A + C und C T + D können Sie bilden? Aufgabe G2 (Abbildungsmatrix und Basiswechsel I) Wir betrachten die lineare Abbildung

Φ: R3 → R2 ,



   x  y  7→ 2x − y + z 9x − 2z z

zwischen den reellen Vektorräumen R3 und R2 . E

) von Φbezüglich der Standardbasen (a) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix ME2 3(Φ       §   ª 0 0   1 0 1 , und E2 = E3 =  0 ,  1 ,  0 1 0  0  0 1 von R3 bzw. von R2 . (b) Machen Sie sich klar, dass die drei Vektoren

  0 b2 := 1  , 1

  1 b1 := 2 , 1

  −1 b3 :=  0  −2

eine Basis des R3 bilden. Wir bezeichnen diese mit B . Machen Sie sich weiter klar, dass die zwei Vektoren

c1 :=

 1 , −1



c2 :=

  3 2

eine Basis des R2 bilden. Wir bezeichnen diese mit C . Bestimmen Sie die darstellende Matrix MCB(Φ ) der Abbildung Φbezüglich dieser beiden Basen.

1

Aufgabe G3 (Dualraum) Für jeden K -Vektorraum V können wir die Menge

V ∗ := L (V, K) der linearen Abbildungen von V nach K betrachten. Hierbei fassen wir den Körper K gemäß Beispiel 3.1.2(a) als K Vektorraum auf. Laut Übungsaufgabe 3.6.9 (die Sie hier nicht beweisen müssen) ist V ∗ selbst wieder ein K -Vektorraum, welchen wir den Dualraum von V nennen. Da V ∗ ein K -Vektorraum ist, können wir auch den Vektorraum (V ∗ )∗ der linearen Abbildungen von V ∗ nach K betrachten. Dieser wird als Bidualraum von V bezeichnet. Beweisen Sie: (a) Durch v 7→ Φ v mit ∗ Φ v : V → K,

Φ v ( f ) := f ( v )

ist eine injektive lineare Abbildung von V nach (V ∗ )∗ gegeben. (b) Ist V endlichdimensional, so hat V ∗ dieselbe Dimension wie V . (c) Ist V endlichdimensional, so ist die lineare Abbildung v 7→ Φ v aus Teilaufgabe (a) ein Vektorraumisomorphismus zwischen V und (V ∗ )∗ .

Hausübung Aufgabe H1 (Abbildungsmatrix und Basiswechsel II) Wir betrachten die lineare Abbildung

Φ: R3 → R2 ,

(12 Punkte)



  x   y  7→ x − 2 y + 3z −x + 2 y + z z

zwischen den reellen Vektorräumen R3 und R2 . E

) von Φbezüglich der Standardbasen E3 und E2 der reellen Vektorräume (a) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix ME23(Φ 3 2 R und R (definiert wie in Aufgabe G2). (b) Bestimmen Sie den Kern ker(Φ ) und das Bild Φ (R3 ) von Φ . Ist Φinjektiv? Ist Φsurjektiv? (c) Zeigen Sie, dass die drei Vektoren

  2 b1 := 1 , 0

  1 b2 := 0  , 1

 3 b3 :=  0  −1 

eine Basis des R3 bilden. Wir bezeichnen diese mit B . (d) Finden Sie eine Basis C des Bildraums R2 , sodass die Abbildungsmatrix bezüglich B und C die Gestalt

MCB (Φ ) =



0

1 0

0 0



1

hat. Aufgabe H2 (Potenzen von Matrizen) Im Folgenden seien jeweils n, m, k ∈ N\{0}, λ ∈ R und A, B ∈ R k×k . Wir schreiben

(15 Punkte)

An := A · . . . · A. | {z } n Faktoren

Welche der folgenden Aussagen sind im Allgemeinen wahr? Beweisen Sie die Aussagen oder finden Sie ein Gegenbeispiel. (a) An · Am = An+m , (b) (An )m = An·m , (c) (A · B)n = An · B n , (d) (λ · A)n = λn · An ,

2

(e) (A + B )2 = A2 + 2 · A · B + B 2 . Aufgabe H3 (Universelle Eigenschaft des Faktorraums) Für einen K -Vektorraum V und einen Untervektorraum U ⊆ V sei

ν : V → V /U,

(9 Punkte)

v 7→ v˜

die kanonische Abbildung, die in Kapitel 3.3 und Satz 3.6.17 des Skripts betrachtet wurde. Beweisen Sie: (a) Die Abbildung ν : V → V /U ist linear und hat Kern ker(ν) = U . (b) Ist Φ˜: V /U → W eine lineare Abbildung in einen K -Vektorraum W , so ist U im Kern der linearen Abbildung ˜Φ◦ ν : V → W enthalten, d. h. es gilt U ⊆ ker( ˜Φ◦ ν). (c) Ist Φ: V → W eine beliebige Abbildung mit U ⊆ ker(Φ ), so gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung ˜Φ: V /U → W mit Φ= ˜ Φ◦ ν .

3...