Uebung Ferienaufgaben Aufgaben PDF

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Zusammenfassung aller Themen die verarbeitet wurden im Semester...

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Mathematik II für Informatik Ferienübungsblatt Fachbereich Mathematik Dr Kord Eickmeyer Markus Anders, Jendrik Brachter Sukie Vetter, Dr Ulrik Buchholtz

SoSe 2021

keine Abgabe

Aufgabe F1 (Binomialkoeffizienten) Beweisen Sie, dass (a) n   X n k=0

k

· (−1)k 5k 8n−k =

n   X n k=0

k

2k ,

(b)

    n n = n−k k für alle n ∈ N∗ gilt. Aufgabe F2 (Grenzwert) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge

p p ( n + 1 − n)n∈N .

Hinweis: Erweitern Sie so, dass im Zähler die binomische Formel anwendbar ist. Aufgabe F3 (Grenzwerte und Häufungspunkte) Finden Sie alle Häufungspunkte und Grenzwerte der folgenden Folgen. (a) an = cos(nπ) · n1 (b) bn = cos(nπ) · (1 − n1) Aufgabe F4 (Komplexe Zahlen) Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen z in der Form x + yi mit x, y ∈ R dar: 101 X (3i)k . (a) z = (1 + i)8n+3 , wobei n ∈ N, (b) z = k=0

Aufgabe F5 (Wurzeln komplexer Zahlen) Bestimmen Sie die Lösungen folgender Gleichungen unter Zuhilfenahme der Darstellung z = reiϕ . Geben Sie für Ihre Lösungen den Winkel in der Polardarstellung stets im Bereich (−π, π] an. Skizzieren Sie anschließend Ihre Lösungen in der komplexen Zahlenebene. i/2 (a) z 2 = −9 (b) z 3 = 8i (c) z−1 (z 6= −1) 2 = z+1 Aufgabe F6 (Grenzwerte) Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte (a) lim ln(x) · ln(1 − x). x →1−

(b) lim ( x1 + ln x). x →0+

1

Aufgabe F7 (Potenzreihen) P∞ n 2n+1 (a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius R der Potenzreihe n=0 (−1) . 2n+1 x

(b) Die Reihe von Teil (a) definiert eine differenzierbare Funktion auf (−R, R). Geben Sie die Potenzreihe für f ′ an. Was ist ihr Konvergenzradius? Bestimmen Sie dann eine Formel, ohne Potenzreihen, für f ′ . (c) Zeigen Sie, dass f (x) = arctan x + C , wobei C ∈ R eine Konstante ist.

(d) Bestimmen Sie den Wert der Konstante C . Aufgabe F8 (Differential- und Integralrechnung) ex Es sei f : (0, ∞) → R gegeben durch f (x) = x . x (a) Begründen Sie, dass f eine stetige Funktion ist. (b) Bestimmen Sie lim x →0+ f (x) und lim x →∞ f (x).

(c) Berechnen Sie die Ableitungsfunktion f ′ : (0, ∞) → R von f . (d) Ist f beschränkt? (e) Ist f ′ in x = 0 stetig fortsetzbar? Z2

f ′ (x) dx .

(f) Bestimmen Sie

1

Aufgabe F9 (Taylor) Es sei f : R → R eine beliebig oft differenzierbare Funktion mit

| f (n) (x)| ≤ 2 für alle x ∈ R und alle n ∈ N.

(1)

∞ (n) X f (0) n (a) Es sei f (n) (0) 6= 0 für alle n ∈ N. Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Taylorreihe x . n! n=0

(b) Zeigen Sie, dass f im gesamten Konvergenzbereich der Taylorreihe durch diese dargestellt wird. (c) Geben Sie ein Beispiel einer Funktion an, die (1) erfüllt. Aufgabe F10 (Extremwerte) 2 Bestimmen Sie den minimalen Abstand zwischen dem Punkt M = (4p, p) und der Parabel y = 2px für p > 0. Aufgabe F11 (Unbestimmte Integrale) Berechnen Sie folgende Integrale R x (a) e cos(x) dx R (b) x ln(x) dx R 1 (c) x ln(x ) dx R 2p 5 (d) x 5x 3 + 1 dx .

2...