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Mathematik I für Informatik 9. Übungsblatt Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Thomas Streicher Dr. Ulrik Buchholtz Miriam Schmitt, Jonathan Weinberger

WiSe 2020/21 Übung:25./26. Januar 2021 Abgabe bis: 30. Januar 2021, 18 Uhr

Gruppenübung Aufgabe G1 (Matrizenrechnung) Berechnen Sie für

A=



4 −2

−1 1



,

B=



2

1



−1

,



−1 C = 3 0

 2 0 , 1

D=



2 0

5 3

0 1



die Produkte AB, AC , BC , BA, CA, C D, DC und AC T , falls diese definiert sind. Welche der Summen A + B , A + C und C T + D können Sie bilden? Aufgabe G2 (Abbildungsmatrix und Basiswechsel) Wir betrachten die lineare Abbildung

Φ: R3 → R2 ,

   x  y  7→ 2x − y + z 9x − 2z z



zwischen den reellen Vektorräumen R3 und R2 . E

(a) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix ME 3(Φ ) von Φbezüglich der Standardbasen 2

      §   ª  1 0  0 0 1 E3 =  0 ,  1 ,  0 , und E2 = 1 0   0 1 0 von R3 bzw. von R2 . (b) Machen Sie sich klar, dass die drei Vektoren

  1 b1 := 2 , 1

  0 b2 := 1  , 1

  −1 b3 :=  0  −2

eine Basis des R3 bilden. Wir bezeichnen diese mit B . Machen Sie sich weiter klar, dass die zwei Vektoren

c1 :=



 1 , −1

c2 :=

  3 2

) der Abbileine Basis des R2 bilden. Wir bezeichnen diese mit C . Bestimmen Sie die darstellende Matrix MCB(Φ dung Φbezüglich dieser beiden Basen.

1

Aufgabe G3 (Gauß-Algorithmus) (a) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem Ax = b mit   2 4 −2 0 3  A= 1 4 −1 −2

und

(b) Wir betrachten das lineare Gleichungssystem Ax = b mit   1 2 3 4 A =  −4 −3 −2 −1  5 5 5 5

 −6 b =  11  . 3 



 −1 b =  −1  . 0

und

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des LGS. Geben Sie eine Basis des Kerns von A an. Aufgabe G4 (Inverse) Bestimmen Sie die Inversen der folgenden Matrizen, falls diese invertierbar sind:



−3 A= −4

 4 , 5

 2 0 B= 0 0

0 0 0 0

0 0 30 0



 0 0 , 0 17

3 0 C = 0 0

0 −5 0 0

0 0 1 2

0

 0 0 , 0 1



−1 D= 2 0

−1 3 −2

 1 2 . −7

Bestimmen Sie außerdem die Inverse von D⊤ . Aufgabe G5 (Basis des Bildes) Gegeben sei eine lineare Abbildung Φ : R n → R m . Überlegen Sie sich einen Algorithmus wie man eine Basis des Bildes von Φfinden kann.

Hausübung Bitte bearbeiten Sie zwei der folgenden drei Aufgaben. Falls Sie alle Aufgaben bearbeiten, so kennzeichnen Sie eindeutig, welche Aufgaben bewertet werden sollen (wenn Sie dies nicht kennzeichnen, dann werden Aufgaben H9.1 und H9.2 bewertet). Die übrige Aufgabe wird dann weder korrigiert noch bepunktet. Wie auf jedem Übungsblatt sind also 18 Punkte zu erreichen. Beachten Sie bitte, dass Sie auch weiter in Gruppen von bis zu drei Personen abgeben können. Aufgabe H1 (Abbildungsmatrix und Basiswechsel) Wir betrachten die lineare Abbildung

Φ: R3 → R2 ,

(9 Punkte)



   x x − 2y + z  y  7→ −4x + 2 y − z z

zwischen den reellen Vektorräumen R3 und R2 . E ) von Φbezüglich der Standardbasen E3 und E2 der reellen (a) (2 Punkte) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix ME2 3(Φ 3 2 Vektorräume R und R (definiert wie in Aufgabe G2).

(b) (2 Punkte) Bestimmen Sie den Kern ker(Φ ) und das Bild Φ (R3 ) von Φ . Ist Φinjektiv? Ist Φsurjektiv? (c) (2,5 Punkte) Zeigen Sie, dass die drei Vektoren   0 b1 :=  1 , 2

  2 b2 := 0  , 2

  −3 b3 :=  0  1

eine Basis des R3 bilden. Wir bezeichnen diese mit B . (d) (2,5 Punkte) Finden Sie eine Basis C des Bildraums R2 , sodass die Abbildungsmatrix bezüglich B und C die Gestalt   0 1 0 ) = MCB (Φ 0 0 1 hat.

2

Aufgabe H2 (Lineare Abbildungen) (9 Punkte) Gegeben sei die lineare Abbildung φ : R4 → R4 , deren darstellende Matrix (bezüglich der Standardbasis im R4 ) von der folgenden Form ist:   −2 4 2 6  4 −2 −2 −2 . A=  0 6 6 8 8 2 −6 8 (a) (4 Punkte) Bestimmen Sie eine Basis des Kerns der linearen Abbildung. (b) (3 Punkte) Bestimmen Sie eine Basis des Bildes der linearen Abbildung. (c) (2 Punkt) Welchen Rang hat die Matrix A? Ist die Abbildung φ injektiv bzw. surjektiv? Bemerkung: Bitte denken Sie daran, beim Gauß-Algorithmus immer die einzelnen Rechenschritte anzugeben! Aufgabe H3 (Matrizen und ihre Inversen) (9 Punkte) Es seien A, B ∈ R n×n quadratische Matrizen mit n > 0. Wir schreiben 0 ∈ R n×n für die Nullmatrix und I ∈ R n×n für die Einheitsmatrix. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen: (a) (1 Punkt) Ist A invertierbar mit inverser Matrix A−1 , so ist A−1 invertierbar mit inverser Matrix A. (b) (2 Punkte) Das Produkt AB ist genau dann invertierbar, wenn sowohl A als auch B invertierbar ist. (c) (1 Punkt) Ist A + B invertierbar, so ist A oder B invertierbar. (d) (1 Punkt) Sind A und B invertierbar, so ist A + B invertierbar. (e) (2 Punkte) Gilt A2 = 0, so gilt A = 0. (f) (2 Punkte) Gilt A2 = 0, so ist A + I invertierbar.

3...