5 Wielomiany sdf s fs fs sf s fs fs fs fs sf sdf sd fwsef da d adq w d PDF

Preview

Summary

asfd asdf s fs fs sf s fs fs fs fs sf sdf sd fwsef sdf s fs fs sf s fs fs fs fs sf sdf sd fwsef sdf s fs fs sf s fs fs fs fs sf sdf sd fwsef vsdf s fs fs sf s fs fs fs fs sf sdf sd fwsef sdf s fs fs sf s fs fs fs fs sf sdf sd fwsef...

Description

K URSY S OWA

Matematyka - poziom rozszerzony

5. Wielomiany

Znajdowanie pierwiastków wielomianów

Reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian x − a jest równa W (a ). Pierwiastek wielomianu Liczb˛e a nazywamy pierwiastkiem wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy, gdy W (a) = 0. Twierdzenie Bezout Wielomian W (x) jest podzielny przez dwumian x −a wtedy i tylko wtedy, gdy W (a) = 0.

1

Schemat Hornera (´zródło:matematyka.pisz.pl)

2

Wymierne pierwiastki wielomianu o współczynnikach całkowitych Niech W (x) b˛edzie wielomianem o współczynnikach całkowitych. ˛ całkowite, to rozwiazanie ˛ jest dzielnikiem • Je˙zeli równanie W (x) = 0 ma rozwiazanie wyrazu wolnego. p

˛ b˛edace ˛ nieskracalnym ułamkiemq , to p jest • Je˙zeli równanie W (x) = 0 ma rozwiazanie dzielnikiem wyrazu wolnego, a q dzielnikiem współczynnika przy najwy˙ zszej pot˛edze W (x).

Zadania

Z ADANIE 1 - MATURA ROZSZERZONA 2016 ( NOWA FORMUŁA ) Wielomian W (x ) = 6x 3 + 3x 2 − 5x + p jest podzielny przez dwumian x − 1 dla p równego A) 4 B) −2 C) 2 D) −4. Z ADANIE 2 - MATURA ROZSZERZONA 2020 ( NOWA FORMUŁA ) Wielomian W okre´slony wzorem W (x) = x 2019 − 3x 2000 + 2x + 6 A) jest podzielny przez (x − 1) i z dzielenia przez (x + 1) daje reszt˛e równa˛ 6. B) jest podzielny przez (x + 1) i z dzielenia przez (x − 1) daje reszt˛e równa˛ 6. C) jest podzielny przez (x − 1) i jest podzielny przez (x + 1). D) nie jest podzielny ani przez (x − 1) ani przez (x + 1).

Z ADANIE 3 - MATURA ROZSZERZONA MAJ 2017 ( NOWA FORMUŁA ) Reszta z dzielenia wielomianu W (x) = x 3 − 2x 2 + ax + 34 przez dwumian x − 2 jest równa 1. Oblicz warto´sc´ współczynnika a. Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwini˛ecia dziesi˛etnego otrzymanego wyniku. Z ADANIE 4 Wielomian W (x) = x 3 − 3x 2 − 2x + 6 ma A) dokładnie jeden pierwiastek b˛edacy ˛ liczba˛ rzeczywista˛ B) dokładnie trzy pierwiastki: jeden niewymierny i dwa wymierne C) dokładnie trzy pierwiastki: jeden wymierny i dwa niewymierne D) dokładnie trzy pierwiastki b˛edace ˛ liczbami wymiernymi. Z ADANIE 5 Test wielokrotnego wyboru. Wielomiany W i K o współczynnikach całkowitych ˙ spełniaja˛ dla ka˙ zdej liczby rzeczywistej x warunek W (x) · K (x) = x 3 . Wynika stad, ˛ ze: A) W (1) = K (1) B) st W (x)= st K (x) C) W (1) = 1 D) W (0) jest liczba˛ całkowita. ˛

3

Z ADANIE 6 Równo´sc´ (2x + A)3 = B x 3 + 12x 2 +C x + D jest prawdziwa dla ka˙ zdego x. Zatem suma C + D jest równa: A) 4 B) 6 C) 7 D) 10. Z ADANIE 7 Trójmian T (x) jest wynikiem dzielenia wielomianu W (x) = 2x 3 − 2x 2 − 5x + 2 przez dwumian x − 2. Zapisz T (x) jako iloczyn dwóch wielomianów pierwszego stopnia. Z ADANIE 8 Wielomian 9x 3 − 13x + 6 przy dzieleniu przez dwumian 3x − 2 daje iloraz: A) 3x 2 + 2x − 3 B) 3x 2 − 2x − 3 C) 3x 2 + 2x + 3 D) 3x 2 − 2x + 3. Z ADANIE 9 Reszty z dzielenia wielomianu W (x) przez (x − 1), (x + 1), (x + 2) sa˛ odpowiednio równe 1, −1, 3. Znajd´z reszt˛e z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P(x) = (x − 1) (x + 1) (x + 2). Z ADANIE 10 - M ATURA ROZSZERZONA MAJ 2019 Wielomian okre´slony wzorem ¡ ¢ W (x ) = 2x 3 + m 3 + 2 x 2 − 11x − 2(2m + 1) jest podzielny przez dwumian (x − 2) oraz przy dzieleniu przez dwumian (x + 1) daje reszt˛e 6. Oblicz m i dla wyznaczonej warto´sci m rozwia˙ ˛z nierówno´sc´ W (x) ≤ 0. Z ADANIE 11 - M ATURA ROZSZERZONA MAJ 2012 Rozwia˙ ˛z nierówno´sc´ x 4 + x 2 ≥ 2x . Z ADANIE 12 Wyznacz pierwiastki wielomianu W (x) = 2x 3 − 5x 2 − x + 1. ˙ Z ADANIE 13p - MATURA ROZSZERZONA MAJ 2005 Wyka˙ z bez u˙zycia kalkulatora, ze p p p 3 3 5 2 + 7 − 5 2 − 7 jest liczba˛ całkowita. ˛ Z ADANIE 14 Wyznacz wszystkie warto´sci parametru m, dla których wykres wielomianu W (x ) = x 5 − 2x 4 − 2mx 3 + 4mx 2 + m 2 x − 2m 2 ma dokładnie dwa punkty wspólne z osia˛ Ox . ¡ ¢ ¡ ¢ Z ADANIE 15 Dla jakich warto´sci parametru p równanie x 5 + 1 − 2p x 3 + p 2 − 1 x = 0 ma pi˛ec´ ró˙znych pierwiastków? Z ADANIE 16 - M ATURA MAJ 2015 ( STARA FORMUŁA ) Dany jest wielomian ¡ ROZSZERZONA ¢ W (x) = x 3 − 3mx 2 + 3m 2 − 1 x − 9m 2 + 20m + 4. Wykres tego wielomianu, po przesuni˛eciu − o wektor → u = [−3,0], przechodzi przez poczatek ˛ układu współrz˛ednych. Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu W . zne liczby pierwsze p i q sa˛ pierwiastkami wielomianu Z ADANIE 17 Dwie ró˙ W (x ) = 2x 3 + bx 2 + c x − 10, gdzie b i c sa˛ liczbami całkowitymi. Zapisz wielomian W (x) jako iloczyn trzech wielomianów stopnia pierwszego.

4

Z ADANIE 18 - MATURA ROZSZERZONA CZERWIEC 2011 Wyka˙ z, ˙ze nie istnieje wielomian W (x ) stopnia 3 o współczynnikach całkowitych, który spełnia warunki: W (2) = 3 i W (−2) = 2. ¡ ¢19 Z ADANIE 19 Dany jest wielomian W (x) = −2x 4 + 6x 2 − 4 . Oblicz sum˛e współczynników tego wielomianu. Z ADANIE 20 Dany jest wielomian W (x) stopnia n > 2, którego suma wszystkich współczynników jest równa 4, a suma współczynników przy pot˛egach o wykładnikach nieparzystych jest równa sumie współczynników przy pot˛egach o wykładnikach parzystych. Wyka˙ z, z˙ e reszta R(x ) z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P(x ) = (x + 1) (x − 1) jest równa R(x) = 2x + 2. **************************************************************************************************** Z ADANIE 21 Wielomian W (x) = x 3 − 2x 2 − 2 przy dzieleniu przez x + 1 daje reszt˛e A) −5 B) −3 C) −2 D) −1. Z ADANIE 22 Wielomian W (x) = x 3 − 4x 2 − 4x + 16 mo˙ zna zapisa´c w postaci W (x) = (x − k) (x − m) (x − n). Zatem liczba km + mn + nk jest równa: A) 4 B) −4 C) 8 D) −8. zenie x 6 − 64 mo˙zemy rozło˙ ze by´c: zy´c na czynniki. Czynnikiem nie mo˙ Z ADANIE 23 Wyra˙ A) x + 2 B) x 2 + 4 C) x 2 + 2x + 4 D) x 2 − 2x + 4. Z ADANIE 24 - MATURA ROZSZERZONA 2016 ( STARA FORMUŁA ) Wielomian W (x ) = 2x 3 + mx 2 − 22x + n jest podzielny przez ka˙zdy z dwumianów (x + 3) i (x − 4). Oblicz warto´sci współczynników n i m oraz rozwia˙ ˛z nierówno´sc´ W (x) ≥ 0. Z ADANIE 25 Wyznacz warto´sci a i b współczynników wielomianu W (x) = x 3 + ax 2 + bx + 1 ˙ W (2) = 7 oraz, ˙ze reszta z dzielenia W (x) przez (x − 3) jest równa 10. wiedzac, ˛ ze Z ADANIE 26 Wyznacz współczynniki a, b i c tak, ˛ wielomiany były równe: ¡ ¢ aby nast˛epujace W (x ) = x 3 − 2x 2 + 3, P(x) = (x + 1) ax 2 + bx + c . Z ADANIE 27 - MATURA ROZSZERZONA CZERWIEC 2012 Wielomian W (x ) = x 4 + ax 3 + bx 2 − 24x + 9 jest kwadratem wielomianu P(x) = x 2 + cx + d . Oblicz a oraz b . Z ADANIE 28 - M ATURA ROZSZERZONA MAJ 2013 Reszta z dzielenia wielomianu W (x ) = 4x 3 −5x 2 −23x +m przez dwumian x +1 jest równa 20. Oblicz warto´sc´ współczynnika m oraz pierwiastki tego wielomianu.

5

Z ADANIE 29 Jednym z rozwiaza ˛ n ´ równania x 4 +11x 2 +d x +30 = 5x 3 jest 3. Znajd´z pozostałe rozwiazania ˛ tego równania. Z ADANIE 30 Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu W (x ) = x 3 + ax 2 + bx + c jest równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworza˛ ciag ˛ arytmetyczny o ró˙ znicy równej 3. Oblicz wspó´czynniki a, b i c. Rozwa˙ z wszystkie mo˙zliwe przypadki. ˙ liczba Z ADANIE 31 Uzasadnij, ze

p p p p 3 3 2 + 5 + 2 − 5 jest liczba˛ całkowita. ˛

O DPOWIEDZI 3) 125 4) C 5) A, D ³ D p ´ 2) B ¡ p ¢1) 7) 2x + 1 + 3 x + 1−2 3 8) A 9) 53 x 2 − x − 35  ® 10) m = 1, x ∈ (−∞,−3〉 ∪ − 12 ,2 11) x ∈ (−∞,0〉 ∪ 〈1, +∞)

6) C

p p ¢ ¡ 16) 3, 4, 5 12) x = − 21 , x = 3−2 5 , x = 3+2 5 14) m = 4 lub m = 0 15) p ∈ 1, 54 17) W (x) = (x − 5) (x − 2) (2x − 1) 19) 0 21) A 22) B 23) B 24) m = −4, m = 24, x ∈ 〈−3,1〉 ∪ 〈4, +∞) 25) a = −5, b = 9 26) a = 1, b = −3, c = 3 ª © 29) x = 2 27) a = −8, b = 22 lub a = 8, b = 10 28) m = 6, x ∈ −2, 14 ,3 30) (−12,39, −28), (−3, −6,8), (6,3, −10)

6...