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NOTAS PARA LOS ALUMNOS DEL CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES

POLINOMIOS Y FUNCIONES DE LEGENDRE

Ing. Juan Sacerdoti

Departamento de Matemática Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires 2002 V 2.03

INDICE 1.- PORQUE LEGENDRE 2.- ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LEGENDRE. 2.1.- FORMA CANÓNICA 2.2.- FORMAS MODIFICADAS DE LA ECUACIÓN DE LEGENDRE 2.2.1.- PRIMERA FORMA MODIFICADA 2.2.2.- SEGUNDA FORMA MODIFICADA 2.2.3.- TERCERA FORMA MODIFICADA 3.- RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LEGENDRE. 3.1.- SOLUCIÓN POR EL METODO DE FUCHS EN V(0) 3.2.- POLINOMIOS DE LEGENDRE 3.2.1.- OBTENCIÓN DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE A PARTIR DE LAS FUNCIONES DE LEGENDRE. PRIMERA EXPRESIÓN 3.2.2.- TABLA DE LOS PRIMEROS POLINOMIOS DE LEGENDRE 3.3.- SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LEGENDRE EN V(1) 3.3.1.- PRIMERA SOLUCIÓN POR EL METODO DE FUCHS EN V(1) 3.3.2.- SEGUNDA EXPRESIÓN DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE 3.3.3.- TERCERA EXPRESIÓN: OLINDO RODRIGUES 3.4.- SEGUNDA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LEGENDRE EN V(1) 3.4.1.- LA ECUACIÓN DE RECURRENCIA GENERALIZADA DE Γ ’ 3.4.2.- SEGUNDA SOLUCIÓN POR EL METODO DE D’ALEMBERT EN V(1) 3.4.3.- SEGUNDA SOLUCIÓN POR REDUCCIÓN DEL ORDEN EN V(1) 3.5.- SEGUNDA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LEGENDRE EN V(0) CASO ν = n 3.5.1.- SEGUNDA SOLUCIÓN POR REDUCCIÓN DEL ORDEN EN V(0) CASO ν = n 3.5.2.- TABLA DE LAS PRIMERAS FUNCIONES Qn DE LEGENDRE 4.- REPRESENTACIONES INTEGRALES DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE 4.1.- REPRESENTACIÓN DE SCHLAFLI 4.2.- REPRESENTACIÓN DE LAPLACE DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE 4.3.- REPRESENTACIÓN INTEGRAL DE LAS FUNCIONES DE LEGENDRE 5.- PROPIEDADES: PRIMERA PARTE 5.1.- PARIDAD 5.2.- VALORES NOTABLES 5.3.- ACOTACIÓN 5.4.- COEFICIENTES NOTABLES 5.5.- CEROS DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE 5.5.1.- PROPIEDADES DE LOS CEROS 5.5.2- ACOTACIÓN DE LOS CEROS 6.- FORMULAS DE RECURRENCIA DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE 6.1.- PRIMERA FORMULA DE RECURRENCIA 6.2.- SEGUNDA FORMULA DE RECURRENCIA 6.3.- TERCERA FORMULA DE RECURRENCIA

7.- FUNCIÓN GENERATRIZ 8.- PROPIEDADES: SEGUNDA PARTE 8.1.- FORMACIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE A PARTIR DE LA FORMULA DE OLINDO RODRIGUES 8.2.- FORMACIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LEGENDRE A PARTIR DE LA FORMULA SCHLAFLI

9.- LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE COMO SISTEMA ORTOGONAL 9.1.- ORTOGONALIDAD 9.2.- FORMA AUTOADJUNTA DE STURM-LIOUVILLE 9.3.- NORMA 9.4.- SISTEMA ORTONORMADO 10.- SERIES DE FOURIER-LEGENDRE 10.1.- SERIE ASOCIADA DE FOURIER-LEGENDRE 10.2.- NÚCLEO DE FOURIER-LEGENDRE 10.3.- SUMA ENÉSIMA DE FOURIER-LEGENDRE 10.4.- IDENTIDAD DE DARBOUX-CHRISTOFFEL 10.5.- APLICACIÓN DE LA IDENTIDAD DE DARBOUX-CHRISTOFFEL 10.6.- ESTUDIO DEL NÚCLEO 10.7.- CONVERGENCIA 10.8.- VALOR ASINTOTICO DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE 11.- EJERCICIOS

∫

1

Ejercicio 1

Calcular

Ejercicio 2 Ejercicio 3

Desarrollar en Serie de F-L la función u(x) en x∈ ] –1 1[ Desarrollar en Serie de F-L la función sg(x) en x∈ ] –1 1[

Ejercicio 4

Verificar a partir de la ED de Legendre que

Ejercicio 5

Calcular P’n(0)

Ejercicio 6

Calcular

Ejercicio 7.

Desarrollar en Serie de F-L a la función | x | en x∈ ] –1 1[

Ejercicio 8.- Calcular Ejercicio 9

Calcular

Pn dx

0

∫ 1

−1

∫

θ

0

−1

Pn dx = 0

para n > 0

1

0

∫

1

∫

x Pn dx

xn Pk dx = 0

para n > 0

cos(( 2n +1) / 2) ϕ (cos ϕ − cos θ) 1 / 2

dϕ

12.- APLICACIONES MATEMATICAS Y FISICAS DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE 12.1.- APLICACIONES MATEMÁTICAS 12.1.2.- ESTUDIO DE LAS RAICES DE z – a – w f(z) = 0 12.2.- APLICACIONES FISICAS 12.2.1.- MOVIMIENTO DE LOS PLANETAS: ECUACIÓN DE KEPLER 12.2.2.- APLICACIONES A LA ELECTROSTATICA 12.2.2.1.- POTENCIAL DE UN CAMPO ELECTRICO GENERADO POR UNA CARGA PUNTUAL 12.2.2.2.- POTENCIAL DE UN CAMPO ELECTRICO GENERADO POR UNA CARGA

PUNTUAL EN EL INTERIOR DE UNA ESFERA PUESTA A TIERRA 12.2.2.3.- POTENCIAL DE UN CAMPO GENERADO POR UN ANILLO CIRCULAR 12.2.3.- ECUACIÓN DE LAPLACE EN COORDENADAS ESFERICAS APÉNDICE I 3.2.3-. CUARTA EXPRESIÓN DE LOS PRIMEROS POLINOMIOS DE LEGENDRE 3.2.4.- DEDUCCIÓN DE LA TERCERA EXPRESIÓN DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE: OLINDO RODRÍGUEZ A PARTIR DE LA CUARTA EXPRESIÓN

FUNCIONES Y POLINOMIOS DE LEGENDRE 1.- PORQUÉ LEGENDRE

Los Polinomios de Legendre son uno de los ejemplos más importantes de los Polinomios Ortogonales, porque aparecen como soluciones en varios problemas clásicos de la física como: 1.- Movimiento de los planetas: Ecuación de Kepler. 2.- Resolución de los modelos de la física con Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales (EDDP) en coordenadas esféricas. Son ejemplo de estos modelos de la física, los campos conservativos, no conservativos, propagación de calor, propagación de ondas, propagación de señales telegráficas, propagación de ondas de partículas simples. Una lista de algunos de los modelos más destacados es EDDP Laplace

ECUACIÓN ∇2u = 0

Poisson

∇2u = f

Fourier D’Alembert

∇2u = b ut ∇2u = a utt

Raleigh ∇2u = a utt + b ut Schrödinger ∇2u = c(E-V) u General Maxwell

∇2u = a utt + b ut + c u + f D=ε E B = µH ι =γ E ∂B RotE = – ∂t ∂D RotH = ι + ∂t divB = 0 divD = ρ

MODELO Potencial de campos conservativos a.- Potencial gravitatorio en el vacío b.- Potencial de velocidades de un fluido ideal incompresible, sin torbellinos, sin fuentes ni sumideros y distribución continua. c.- Potencial electrostático en régimen permanente generado por corrientes eléctricas en conductores aislados d.- Distribución de Temperaturas en sólidos para régimen estacionario Potencial de campos no conservativos a.- Potencial de velocidades de un fluido ideal incompresible e irrotacional, con fuentes y sumideros y distribución continua. b.- Potencial electrostático con cuerpos cargados c.- Distribución de Temperaturas en sólidos para régimen estacionario generada por focos caloríficos discretos d.- Función de esfuerzos de torsión en barras elásticas Propagación del calor Propagación de ondas a.- Vibraciones de cuerdas, membranas y cuerpos sólidos a.- Propagación de ondas sonoras, luminosas, de radio etc. con velocidad independiente de la longitud de onda. Propagación de señales telegráficas Propagación de ondas en la mecánica ondulatoria a)Probabilidad de posición de una partícula cuya función de onda es u Potenciales eléctricos y magnéticos

3.- Aplicaciones de matemática.

Algunas de las aplicaciones de los polinomios de Legendre son: 1.- Cálculo de Integrales 2.- Series de Fourier-Legendre 3.- Estudio de raíces de z – a – w f(z) = 0

2.- ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LEGENDRE. 2.1.- FORMA CANÓNICA Se define como Ecuación Diferencial de Legendre en su forma canónica a: Def.-

(1 – x2) y’’ – 2 x y’ + λλ y = 0

cuya solución general es entonces la combinación lineal de dos soluciones linealmente independientes y(x) = A y1(x) + B y2(x) Como caso particular de estas soluciones si λ = ν (ν+1) con ν = n ∈ N una de dichas soluciones es un Polinomio de Legendre de orden n. En este caso la solución general toma la forma: y(x) = A Pn (x) + B Qn (x)

2.2.- FORMAS MODIFICADAS DE LA ECUACIÓN DE LEGENDRE

Las Forma canónica de la ED de Legendre ha sido elegida como tal por la simplicidad en los cálculos de las soluciones. Las Formas Modificadas de la ED de Legendre se obtienen a partir de la Canónica por medio de un cambio de variables que se emplean en demostraciones matemáticas o en aplicaciones físicas.

2.2.1- PRIMERA FORMA MODIFICADA

La Ecuación Diferencial de Legendre en la resolución de Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales en los Modelos usuales de la Física (Campos Conservativos, Transmisión de Calor, Transmisión de Ondas, etc.) planteadas en Coordenadas Esféricas aparece bajo la primera forma modificada. T1.-

(1– x2) y’’ – 2 x y’ + λ y = 0 y(x) = A y1(x) + B y2(x)

x = cosθ ⇔

y’’ θθ + cotgθ y’θ + λ y = 0

⇔

y( θ ) = A y1(cosθ) + B y2(cosθ)

λ = ν (ν +1) ∧ ν = n ∈ N y(x) = A Pn (x) + B Qn (x) D.-

⇔

y( θ ) = A Pn(cosθ ) + B Qn(cosθ).

Esta forma modificada de la Ecuación de Legendre se obtiene con el cambio de variable x = cos θ

Partiendo de la Ecuación de Legendre canónica (1 – x2) y’’ – 2 x y’ + λ y = 0 Cambiando de variable y’x =

x = cos θ

y'θ y' θ = − sinθ x' θ

y’’xx = [

y' ' θθ 1 ] y'θ + cos θ ] [ 2 − sinθ − sin θ sin θ

Reemplazando estas expresiones en la ED resulta sin2θ [

y' ' θθ 2

–

sin θ

y'θ

cos θ ] – 2 cos θ [

3

sin θ

y' θ ] + λy =0 − sinθ

y’’θθ + cotgθ y’θ + λ y = 0 que es la ED modificada, cuya solución general será de la forma: y(θ) = A y1(cosθ) + B y2(cosθ) si λ = ν (ν+1) con ν = n ∈ N las soluciones con Polinomios de Legendre de orden n tendrán la solución general de la forma: y(θ) = A Pn(cosθ) + B Qn(cosθ ).

2.2.2- SEGUNDA FORMA MODIFICADA

Una segunda forma modificada se obtiene por translación z = x–a para llevarla a un desarrollo en un V(a). En particular se aplicará este cambio de variable en V(1) para encontrar otras formas de las soluciones de la ED de Legendre. T2.-

(1 – x2) y’’ – 2 x y’ + λ y = 0

z = x–a ⇔

Partiendo de la ED canónica: (1 – x2) y’’ – 2 x y’ + λ y = 0

z = x–a

⇒

x=z+a x–1=z+a–1 x+1=z+a+1

se obtiene la segunda forma de ED modificada:

(1 – ( z + a)2) y’’ – 2 (z + a) y’ + λ y = 0

(1 – ( z + a)2) y’’ – 2 (z + a) y’ + λ y = 0 2.2.3.- TERCERA FORMA MODIFICADA

Esta tercera forma modificada de la ED de Legendre se emplea en la acotación de raíces de los Polinomios de Legendre. T3.-

y=

z (sinθ ) 1 / 2

λ = ν (ν +1) 2

(1 – x ) y’’ – 2 x y’ + λ y = 0

⇔

z’’ + [ ( ν +

1 2 1 ] z = 0 ) + 2 4 (sinθ )2

A partir de la ED modificada y’’θθ + cotgθ y’θ + λ y = 0 por el cambio de variable y= y’ =

z (sin θ) 1 / 2 z' (sin θ) 1 / 2

y’’ =

z' ' 1/ 2

(sin θ )

–

1 z cosθ 2 (sin θ) 3 / 2

– 2

1 z' cos θ 1 3 z(cos θ ) 2 1 z sin θ + + 3 / 2 2 (sin θ) 2 2 (sin θ) 5 / 2 2 (sin θ) 3 / 2

Reemplazando en: y’’θθ + cotgθ y’θ + λ y = 0 queda: 2 z' ' z' cos θ 3 z(cos θ) 1 z cos θ 1 z z' z – – =0 + + ]+λ + cotgθ[ 3/ 2 1/ 2 5 / 2 1 / 2 1 / 2 2 (sin θ)3 / 2 4 (sin θ ) 2 (sin θ ) (sin θ) (sin θ) (sin θ) (sin θ ) 1 / 2

z’’ + [

3 (cos θ) 2 1 1 (cos θ) 2 + – +λ]z=0 2 4 (sin θ ) 2 2 (sin θ) 2 Eligiendo λ = ν (ν+1)

1 1 − (sin θ) 2 1 + ν (ν+1) ] z = 0 + 4 (sin θ)2 2 1 1 z’’ + [ ν2 + ν + + ]z=0 4 4(sin θ)2 z’’ + [

resultando: 1 2 1 ]z=0 z’’ + [ (ν + ) + 2 4(sin θ ) 2

3.- RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LEGENDRE. 3.1.- SOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE FUCHS EN V(0) La ED Legendre (1–x2) y’’ – 2 x y’ + λ y = 0

tiene por campo de convergencia a 2x 1−x 2

p(x) = –

⇒

CV(p) = { | x | < 1} ⇒

λ

q(x) =

⇒

1− x 2

CV(y) = { | x | (n –1)/2 C2p = 0

( n−1 ) / 2

y1 = Pn(x) = C0

∑ p =0

(1 - n) (3 - n) ... (2p - 1 - n) (2 + n ) (4 + n ) ... (2p + n ) 2p+1 x (2p + 1 )!

Con la convención que C0 : Pn(1) = 1 II.- En la segunda solución y2, si ν = n es Natural y Par también se obtiene un Polinomio de orden pues los coeficientes de la serie se anulan a partir de 2p > n

ν = n∈ Par ⇒

∀p > n/2 C2p = 0 n/2

y2 = Pn(x) = C0

∑ p =0

(-n) (2 - n) ... (2p - 2 - n) (1 + n ) (3 + n ) ... (2p - 1+ n ) 2p x (2p)!

siempre con la convención que

C0 : Pn(1) = 1

3.2.2.- TABLA DE LOS PRIMEROS POLINOMIOS DE LEGENDRE

n

y1(x) si n ∈Par y2 (x) si n ∈ Impar

C0

Pn(x)

0

C0

1

1

1

C0 x 2.3 2 C0 [ 1 – x ] 2! 2.5 3 x ] C0 [ x – 3! 4.5 2 4.2.5.7 4 C0 [ 1 – x + x] 2! 4! 4.7 3 4.2.7.9 5 x + x] C0 [ x – 5! 3!

1 1 – 2 3 – 2 3 8 15 8

x

2 3 4 5

1 [ 3 x2 –1] 2 1 [ 5 x3 – 3 x] 2 1 [ 35 x4 – 30 x2 + 3] 8 1 [ 63 x5 – 70 x3+ 15] 8

3.3.- SOLUCION DE LA ECUACION DE LEGENDRE EN V(1) 3.3.1.- PRIMERA SOLUCION POR EL METODO DE FUCHS EN V(1) Si a la ED Legendre la llevamos al V(1) con la translación z = x – 1 (1 – x2) y’’ – 2 x y’ + λ y = 0

z = x–1

⇒

x=z+1 x+1=z+2

toma la forma de ED modificada: – z (z + 2) y’’ – 2 (z + 1) y’ + λ y = 0 z (z + 2) y’’ + 2 (z + 1) y’ – λ y = 0

Cuyo campo de convergencia es p(x) =

2( z + 1 ) z( z + 2 )

⇒ CV(p) = { 0 < | z | < 2} ⇒ ⇒ CV(y) = { 0 < | z | < 2 }

λ q(x) = – z( z + 2 )

⇒

CV(q) = { 0 < | z | < 2}

Aplicando el método de Fuchs ∞

y

=

∑

Ck zr + k

k =0 ∞

y’ =

∑

Ck (r+k) z r + k –1

k =0 ∞

y’’ =

∑ k =0

Ck (r+k) (r+k – 1) z r + k–-2

∞

–λy =

∑

– λ Ck z r + k

k =0 ∞

2 (z+1) y’ =

∑

∞

2 Ck (r+k) zr + k +

k =0

∑

2 Ck (r+k) zr + k–1

k =0

∞

z (z+2) y’’ =

∑

∞

Ck (r+k) (r+k–1) z r + k

+

k =0

∑

2 Ck (r+k) (r+k–1) z r +

k–1

k =0

Tomando el coeficiente de la potencia z r + k–1

se forma la Ecuación de Recurrencia

Ck [2 (r+k) (r+k–1) + 2 (r+k)] + Ck –1 [ (r+k–1) (r+k–2) + 2(r+k–1) –λ ] = 0 Ck 2 (r+k)2 + Ck –1 [ (r+k–1) (r+k) – λ ] = 0

Que lleva a la Ecuación característica C0 2 r2 = 0 de donde r1 = 0;

r2 = 0;

∆=0

II Caso de Fuchs

Para operar la Ecuación de Recurrencia más fácilmente se transforma el segundo término en producto de monomios [ (r+k-1) (r+k) – λ ] = (r+k)2 – (r+k) – λ Para ello se buscan las raíces de este polinomio de 2º grado 1/2 ± (1 / 4) + λ y se completa el cuadrado perfecto dentro del radicando, tomando λ = ν(ν+1) = 1/2 ± ( ν + 1/2) = ν + 1 = –ν queda Ck 2 (r+k)2 + Ck –1 (r+k – ν – 1 ) (r+k+ ν) = 0 Para hallar la primera solución y1 con r1 = 0; Ck =

C k - 1 (ν + 1− k ) (k + ν ) 2 k2 De donde eligiendo C0 = 1 recordando la convención Pn(x)

C0 = 1

x =1

= Pn(z)

z=0

= 1

(ν ) (ν + 1)

C1 =

2 12 ( ν) ( ν −1) ( ν +1) ( ν + 2)

C2 =

2 2 (2! ) 2 ( ν) ( ν −1)... ( ν +1 − k ) ( ν + 1) ( ν + 2)...(ν + k )

Ck =

2 k (k! ) 2

=

Γ( ν + k + 1) Γ( ν − k + 1) 2 k (k! ) 2

Entonces la primera solución de la ecuación de Legendre es: Γ( ν + k + 1) Γ( ν − k + 1)

∞

y1

=

∑

k

2 (k! )

k =0

zk

2

3.3.2.- SEGUNDA EXPRESIÓN DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE En el caso de ν = n ∈ N ∪ {0} la solución y1 se reduce a Polinomios de grado ν = n que son los Polinomios de Legendre. n

∑

Pn (z) =

k==0 n

∑

Pn (x) =

k= 0

n  n + k  z k     ( ) k   k  2  n  n + k  x − 1 k     ( 2 )  k  k 

En efecto: ∀ k ≥ n+1

n

y1

=

∑ k =0

1 =0 Γ (n − k + 1)

⇒

Γ(n +k +1) Γ( n − k +1) 2 k (k! ) 2

zk

Si k ≤ ν = n entonces: Ck =

Ck =

(n + k )! 2

k

1 2

k

n

y1 =

∑ k =0

(n − k )! (k! ) n    k 

2

=

n! (n + k )! 2

k

(n − k )! n! (k! ) 2

 n + k    k 

 n   n ++ k  z k     ( ) =: Pn (z) k  k  2

3.3.3.- TERCERA REPRESENTACIÓN: FÓRMULA DE OLINDO RODRIGUES Lema

(x2 – 1) = (x – 1) (x + 1) = z (z + 2) (x2 – 1) n = z n (z + 2) n n

=

 n  k+n n– k 2   z k 

 k= 0

n

D(n)(x2 – 1) n =

 k= 0 n

=

 k =0

n  k 

  (k+ n ) (k+ n –1) ... (k+1) z k 2n– k  

n   k

(n + k )! k n – k z 2 k!

n

n   k k =0 n = 2 n! Pn (z)

= 2n n!



 n+   k

k k  (z/2) 

De aquí resulta la fórmula de Olindo Rodrigues. P n(x) =

1 D(n) (x2 – 1) n 2 n n!

De la cual se deducen los primeros Polinomios de Legendre que coinciden con lo ya vistos:

n P0 (x) P1(x) P2 (x)

P3 (x) P4 (x) P5 (x)

Fórmula de Olindo Rodrigues 1 D(0) (x2 – 1) 0 2 00! 1 D(1) (x2 – 1)1 1 2 1! 1 D(2) (x2 – 1)2 2 2 2! 1 D(3) (x2 – 1) 3 3 2 3! 1 D(4) (x2 – 1) 4 4 2 4! 1 D(5) (x2 – 1) 5 5 2 5!

Pn(x) 1 x

1 [ 3 x2 –1] 2 1 [ 5 x3 – 3 x] 2 1 [ 35 x4 – 30 x2 + 3] 8 1 [ 63 x5 – 70 x3+ 15] 8

3.4.- SEGUNDA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LEGENDRE EN V(1) 3.4.1.- LA ECUACIÓN DE RECURRENCIA GENERALIZADA DE Γ ’ Se recuerda la Fórmula de Recurrencia de Γ ’. Derivando en forma logarítmica la Fórmula de recurrencia de

Γ Γ(α+k+1) = ( α+k) ( α+ k – 1) (α +k – 2) ... ( α+1) α Γ(α ) se obtiene la Fórmula de Recurrencia de Γ ’

1 1 1 1 1 Γ ' (α + k +1) Γ ' (α ) + + ... + + + = + α+1 α Γ (α + k + 1 ) α + k α + k −1 α + k − 2 Γ (α )

Para el caso de α = 1

y

k = p – 1 la expresión se reduce a:

Γ ' ( p+ 1) Γ '(1) 1 1 1 1 + + ... + + 1 + = + p −2 2 Γ ( p +1 ) Γ( 1 ) p p −1 y definiendo la Suma Armónica H(p) de p términos 1 1 1 1 1 + + ... + + 1 + + p p p −1 p −2 2 H(0) := 0 H(p) :=

Queda

Γ ' ( p+ 1) = H(p) + Γ ’(1) Γ( p + 1 )

3.4.2.- SEGUNDA SOLUCIÓN POR EL MÈTODO DE D’ALEMBERT EN V(1) Partiendo de la Ecuación de Recurrencia en V(1) sin reemplazar r Ck 2 (r+k)2 + Ck –1 (r+k – ν – 1 ) (r+k+ ν) = 0 Se halla la solución y(z, r) Ck =

Ck - 1 (ν + 1− r − k )) (ν + r + k ) 2(r + k) 2 resulta entonces:

C0 = C0 C k = C0

arbitrario y no nulo. ( ν −r ) ( ν − r −1) ... ( ν − r − k +1) ( ν + r +1) (ν + r + 2) ... ( ν + r + k ) 2 k [(r +1) (r + 2) ... (r + k )] 2

Γ( ν − r +1) Γ (ν + r + k + 1) Γ( ν - r − k + 1) Γ( ν + r + 1)

= C0

Γ 2 ( r +1)

1

Γ 2 (r + k +1)

2k

Para simplificar se elige la constante C0 de manera que: Γ (ν − r + 1) 2 Γ (r+1) Γ (ν + r + 1)

1 = C0 C0 =

Γ (ν + r + 1) Γ( ν − r +1) Γ 2 (r +1) Se destaca que para r =0 se mantiene la convención establecida para los Polinomios de Legendre

C0 =

Γ( ν +1) Γ( ν +1) Γ 2 (1)

= 1 = Pn(x)

x =1

= Pn(z)

z=0
...