7. Aufgabenblatt Loesungen PDF

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Tutorium Loesungen...

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Tutorium Schließende Statistik

7. Aufgabenblatt Diskrete Zufallsvariable Aufgaben: 1. Ein gemeinnütziger Verein veranstaltet eine Lotterie für einen guten Zweck. Dazu werden 10.000 Lose verkauft. Unter den 10.000 Losen befinden sich 200 Lose mit einem Gewinn von je 5€, 20 Lose mit einem Gewinn von je 25 € und 5 Lose mit einem Gewinn von je 100€. Der Rest sind „Nieten“. Im Folgenden bezeichnet die Zufallsvariable X den Gewinn, den man beim Kauf eines Loses der Lotterie erhalten kann. (5 Minuten) Hinweis: xi aufsteigend sortieren a. Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion für X (im Tabellenformat) auf. Index i 1 2 3 4 xi 0 5 25 100 f(xi) 0,9775 0,02 0,002 0,0005 b. Ermitteln Sie daraus die Verteilungsfunktion für X (im Tabellenformat). Index i 1 2 3 4 xi 0 5 25 100 F(xi) 0,9775 0,9975 0,9995 1

2.

Gegeben ist eine Zufallsvariable X = Augensumme dreier Würfel. In der folgenden Tabelle sind die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten angegeben. Index i xi 𝑓(𝑥𝑖 )

1 3 1/36

2 4 1/36

3 5 2/36

4 6 2/36

5 7 3/36

6 8 3/36

7 9 3/36

8 10 3/36

Fortsetzung: Index i 9 xi 11 𝑓(𝑥𝑖 ) 3/36

10 12 3/36

11 13 3/36

12 14 3/36

13 15 2/36

14 16 2/36

15 17 1/36

16 18 1/36

a) Berechnen Sie den Erwartungswert! 1 1 2 2 3 3 3 𝐸(𝑋) = 3 ∙ + 4 ∙ +5∙ +6∙ +7∙ +8∙ +9∙ 36 36 36 36 36 36 36 3 3 3 3 3 2 +10 ∙ + 11 ∙ + 12 ∙ + 13 ∙ + 14 ∙ + 15 ∙ 36 36 36 36 36 36 2 1 1 +16 ∙ + 17 ∙ + 18 ∙ 36 = 10,5 36

36

Tutorium Schließende Statistik

b) Berechnen Sie die Varianz! Weg 1: 16

2

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = ∑(𝑥𝑖 − 𝐸(𝑋)) ∙ 𝑓(𝑥𝑖 ) 𝑖=1

oder Weg 2:

1 1 2 + (4 − 10,5)2 ∙ + (5 − 10,5)2 ∙ 36 36 36 2 3 3 2 2 2 + (6 − 10,5) ∙ + (7 − 10,5) ∙ + (8 − 10,5) ∙ 36 36 36 3 3 3 + (9 − 10,5)2 ∙ + (10 − 10,5)2 ∙ + (11 − 10,5)2 ∙ 36 36 36 3 3 3 + (12 − 10,5)2 ∙ + (13 − 10,5)2 ∙ + (14 − 10,5)2 ∙ 36 36 36 2 2 1 + (15 − 10,5)2 ∙ + (16 − 10,5)2 ∙ + (17 − 10,5)2 ∙ 36 36 36 1 2 + (18 − 10,5) ∙ = 14,5833 36 = (3 − 10,5)2 ∙

16

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = ∑ 𝑥𝑖 2 ∙ 𝑓(𝑥𝑖 ) − 𝐸(𝑋)2 𝑖=1

1 1 2 2 3 + (4)2 ∙ + (5)2 ∙ + (6)2 ∙ + (7)2 ∙ 36 36 36 36 36 3 3 3 3 3 +(8)2 ∙ + (9)2 ∙ + (10)2 ∙ (11)2 ∙ +(12)2

= (10,5)2 ∙

36

+ (13)2 ∙

3

36 1

36

+ (14)2 ∙

3

36 1

36

+ (15)2 ∙

+(17)2 ∙ + (18)2 ∙ 36 − 10,52 36 = 14,5833

2

36

36

+ (16)2 ∙

2

36

36

c) Berechnen Sie die Standardabweichung! 𝜎 = √𝑉𝑎𝑟(𝑋) = √14,5833 = 3,8188

3.

Ein Schuldnerberater ist beauftragt, die Finanzsituation bei einem krisengebeutelten Fußballklub aus dem Vorwahlbezirk 0209 in Ordnung zu bringen. Er muss es irgendwie schaffen, in kürzester Zeit 50 Millionen EUR zu organisieren, um zumindest die kurzfristigen Finanzverbindlichkeiten zu decken. Da er nicht die Möglichkeit sieht, in der Umgebung des Fußballklubs nennenswerte Sponsoren zu finden, entschließt er sich, durch Spielerverkäufe neue finanzielle Mittel zu generieren. Die Wahrscheinlichkeiten für die Transfererlöse seien im Folgenden gegeben:

Index i xi f(xi)

1 5 Mio. 0,40

2 10 Mio. 0,20

3 30 Mio. 0,20

4 50 Mio. 0,15

5 90 Mio. 0,05

Tutorium Schließende Statistik a) Mit wie viel Geld kann der Schuldnerberater für den Fußballverein rechnen? 𝐸(𝑋) = 0,4 ∙ 5.000.000 + 0,2 ∙ 10.000.000 + 0,2 ∙ 30.000.000 + 0,15 ∙ 50.000.000 + 0,05 ∙ 90.000.000 = 22.000.000 b) Berechnen Sie die Varianz der Transfererlöse. Weg 1: 5

2

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = ∑(𝑥𝑖 − 𝐸(𝑋)) ∙ 𝑓(𝑥𝑖 ) 𝑖=1

oder Weg 2:

= (5.000.000 − 22.000.000)2 ∙ 0,4 + (10.000.000 − 22.000.000)2 ∙ 0,2 + (30.000.000 − 22.000.000)2 ∙ 0,2 + (50.000.0000 − 22.000.000)2 ∙ 0,15 + (90.000.000 − 22.000.000)2 ∙ 0,05 = 506.000.000.000.000 5

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = ∑ 𝑥𝑖 2 ∙ 𝑓(𝑥𝑖 ) − 𝐸(𝑋)2 𝑖=1

= (5.000.000)2 ∙ 0,4 + (10.000.000)2 ∙ 0,2 + (30.000.000)2 ∙ 0,2 + (50.000.000)2 ∙ 0,15 + (90.000.000)2 ∙ 0,05 – 22.000.0002 = 506.000.000.000.000

c. Berechnen Sie die Standardabweichung der Transfererlöse. 𝜎 = √𝑉𝑎𝑟(𝑋) = √506.000.000.000 = 22.494.443,76

4.

Vom Flughafen bis zur Stadtmitte kostet die Fahrt mit einem Taxi 60,- (unabhängig von der Anzahl der Reisenden). Die Anzahl der Reisenden, die gleichzeitig ein Taxi haben mochten, sei eine Zufallsvariable X mit folgender Wahrscheinlichkeitsverteilung: Index i 1 2 3 Reisende xi 1 2 3 Wahrscheinlichkeit f(xi) 0,30 0,40 0,20 a) Wie viele Reisende fahren durchschnittlich mit einem Taxi? E(X) = 1 ∙ 0,3 + 2 ∙ 0,4 + 3 ∙ 0,2 + 4 ∙ 0,1 = 2,1 b) Bestimmen Sie den Erwartungswert E(Y) der Kosten Y pro Reisenden. E(Y) = 60 ∙ 0,3 + 30 ∙ 0,4 + 20 ∙ 0,2 + 15 ∙ 0,1 = 35,5€ c) Berechnen Sie die Varianz von X. Weg 1: 5

2

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = ∑(𝑥𝑖 − 𝐸 (𝑋)) ∙ 𝑓(𝑥𝑖 ) 𝑖=1

= (1 − 2,1)2 ∙ 0,30 + (2 − 2,1)2 ∙ 0,40 + (3 − 2,1)2 ∙ 0,20 + (4 − 2,1)2 ∙ 0,10 = 0,89 oder Weg 2:

5

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = ∑ 𝑥𝑖 2 ∙ 𝑓(𝑥𝑖 ) − 𝐸(𝑋)2 𝑖=1

= (1)2 ∙ 0,30 + (2)2 ∙ 0,40 + (3)2 ∙ 0,20 + (4)2 ∙ 0,10 − 2,12 = 0,89 d) Berechnen Sie die Standardabweichung von X. 𝜎(𝑋) = √𝑉𝑎𝑟(𝑋) = √0,89 = 0,9434

4 4 0,1...