Probeklausur WS1617 mit Loesungen PDF

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Probeklausur Mathe für Nicht-Mathematiker...

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Probeklausur Angewandte Mathematik - Agrarwiss. /ELW Dr. Antje Kiesel, Universit¨ at Bonn, Institut f¨ ur Angewandte Mathematik WS 2016/17 16.12.2016

Aufgabe 1 (4 Punkte) Zeigen Sie mithilfe vollst¨andiger Induktion, dass f¨ur alle nat¨urlichen Zahlen n ≥ 1 gilt: n X k=1

1 k 2 = n(n + 1)(2n + 1). 6

L¨ osung Aufgabe 1: Induktionsanfang, n = 0, trivial, oder n = 1, 1 = 61 ∗ 1 ∗ 2 ∗ 3. Induktionsschritt. Annahme

n X k=1

1 k 2 = n(n + 1)(2n + 1). 6

Es folgt n+1 X k=1

2

k =

n X k=1

1 k 2 + (n + 1)2 = n(n + 1)(2n + 1) + (n + 1)2 6

1 1 1 = (n + 1)[n(2n + 1) + 6(n + 1)] = (n + 1)[2n2 + 7n + 6] = (n + 1)[(n + 2)(2n + 3)] 6 6 6 1 = (n + 1)[((n + 1) + 1)(2(n + 1) + 1)] 6

Aufgabe 2 (2 Punkte) Die Komponenten xi eines Vektors x = (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )T seien Mengen von Waren i in  entsprechenden Mengeneinheiten. Ein Lager hat zu Beginn einer einen Wa  Woche  800 1000  50   700         renbestand von  8 . Das Lager erhalte in der Woche eine Lieferung von   0  und realisiere  10   50  250 235   200  20     5 Auslieferungen von je   1 . Wie groß ist der Lagerbestand am Ende der Woche?  5  45 L¨ osung Aufgabe 2: Am Ende der Woche hat man einen Lagerbestand von         800 200 800 1000  20  650   700   50           8 + 0 −5·  1  = 3           5   35   50   10  260 45 250 235

Aufgabe 3 (4 Punkte) Finden Sie ein Polynom p der Form p(x) = ax2 + bx + c, das durch die Punkte (2, 8), (1, 3) und (−1, 5) verl¨ auft.

1

L¨ osung Aufgabe 3: Wir machen den Ansatz y = ax2 + bx + c und erkennen 4a + 2b + c = 8 a+b+c =3 a−b+c = 5 Aus der zweiten und der dritten Gleichung folgt 2b = −2, also b = −1. Dies setzen wir in die erste und die dritte Gleichung ein und erhalten 4a − 2 + c = 8 a+1+c = 5 Daraus folgt 3a = 8 + 2 − (5 − 1) = 6, also a = 2 und daraus folgt schließlich c = 2. Das gesuchte Polynom ist also y = 2x2 − x + 2.

Aufgabe 4 (6 Punkte) Geben Sie jeweils ein selbst gew¨ahltes Beispiel an f¨ur eine reelle Funktion, a) die monoton wachsend auf ganz R ist, ur alle x ∈ R b) deren Definitionsbereich D eine echte Teilmenge von R sein muss (die also nicht f¨ definiert sein kann), c) deren Graph achsensymmetrisch zur y-Achse verl¨ auft. Denken Sie daran, dass zur Angabe einer Funktion immer zwei Teile geh¨oren, n¨amlich die Angabe von Definitions- und Wertebereich in der Form f : D → R und die Abbildungsvorschrift in der Form x 7→ f (x).

L¨ osung Aufgabe 4: Man kann z.B. w¨ahlen: a) f : R → R mit x 7→ 2x b) f : R \ {−7} → R mit x 7→

1 x+7

c) f : D → R mit x 7→ cos(x)

Aufgabe 5 (2 Punkte) Seien a, b 6= 0, E = span{(a, 2, 1), (b, 1, −1), (0, 0, 1)}. Man gebe ein Paar (a, b) so an, dass die Dimension vom Unterraum E gleich 2 ist. L¨ osung Aufgabe 5: Alles mit a = 2b. Z.B.: a = 2, b = 1 ist eine korrekte Lo¨sung. Das sieht man ein, wenn man u¨berpr¨ uft, dass (2, 2, 1)T − 2 · (1, 1, −1)T = 3 · (0, 0, 1)T ist. Die Dimension ist also maximal 2. Da je zwei der drei Vektoren aber keine Vielfachen voneinander sind, ist die Dimension genau 2.

Aufgabe 6 (3 Punkte) Bilden Sie jeweils die Negation der folgenden Aussagen: a) Mindestens eines der Tiere im Stall ist erkrankt. b) Alle Schafe werden heute geschoren. c) Zu jedem Mann gibt es eine Frau, die ihn nicht liebt.

2

L¨ osung Aufgabe 6: Die Negationen sind: a) Alle Tiere im Stall sind gesund. b) Es gibt ein Schaf, das heute nicht geschoren wird. c) Es gibt einen Mann, den alle Frauen lieben.

Aufgabe 7 (4 Punkte) Gegeben sei die lineare Funktion f : R → R mit f (x) = 21x + 3. Be-

stimmen Sie die Umkehrfunktion von f und zeichnen Sie f und seine Umkehrfunktion in dasselbe Koordinatensystem.

L¨ osung Aufgabe 7: Die Umkehrfunktion ist f −1 : R → R mit f −1 (x) = 2x − 6.

Aufgabe 8 (5 Punkte) Betrachten Sie das folgende lineare Gleichungssystem: x1 + 2x2 + x3 = 4 x1 + x2 + 2x3 = 2 −2x1 − 3x2 − 3x3 = a Diskutieren Sie, f¨ ur welche Werte von a das Gleichungssystem eindeutig l¨osbar ist, unendlich viele L¨ osungen hat oder gar keine L¨osung besitzt.

L¨ osung Aufgabe 8: Wir verwenden den Gauß-Algorithmus und erhalten      1 2 1 | 4 1 2 1 | 4 1 2 1 | 4 1 1 2 | 2  → 0 −1 1 | −2  → 0 −1 1 | −2  0 0 0 | a+6 0 1 −1 | a + 8 −2 −3 −3 | a 

F¨ ur a 6= −6 gibt es offensichtlich keine L¨ osung. F¨ ur a = −6 gibt es unendlich viele L¨osungen, da man x3 frei w¨ ahlen kann. Der Fall einer eindeutigen L¨osung kommt nicht vor.

Aufgabe 9 (3 Punkte) Nehmen wir an, ein gef¨ulltes Milch-Tetrapak darf gem¨aß den gesetzlichen Vorschriften in den Verkauf gehen, wenn der Inhalt um maximal 15 ml vom Sollinhalt 1000 ml 3

abweicht. Mathematisch bedeutet dass, dass die Inhaltsmenge x erlaubt ist, wenn |x − 1000| ≤ 15. Geben Sie die L¨osungsmenge in diesem Beispiel als Intervall an. Formulieren Sie die entsprechende Ungleichung f¨ur folgenden verallgemeinerten Sachverhalt: Bei einem Produkt mit Sollinhalt a sei eine Abweichung von b erlaubt. Welche Inhaltsmengen x sind m¨oglich, damit das Produkt verkauft werden darf? L¨ osen Sie die entsprechende Ungleichung, d.h. geben Sie die L¨osungsmenge als Intervall an.

L¨ osung Aufgabe 9: Im Beispiel ist die L¨osungmenge das Intervall [985, 1015]. Allgemein muss die Ungleichung |x − a| ≤ b gelten und die L¨osungsmenge ist das Intervall [a − b, a + b].

Aufgabe 10 (4 Punkte) Folgende Informationen seien zu einem Produktionsunternehmen bekannt: • Die Produktion eines Produktes verursacht variable Kosten von 3 Euro pro St¨uck. • F¨ur die Produktion fallen f¨ ur Miete, Strom, Personal etc. fixe Kosten von 30000 Euro im Monat an. • Das Produkt wird f¨ ur 5 Euro pro St¨ uck verkauft. Wie groß muss die verkaufte St¨uckzahl pro Monat sein, damit genau kostendeckend gearbeitet wird? ¨ Verallgemeinern Sie die Uberlegungen auf den Fall, dass das Produkt k Euro variable Kosten pro St¨ uck hat, dass fixe Kosten von f monatlich anfallen und dass das Produkt f¨ ur p Euro pro St¨uck verkauft wird. Geben Sie auch f¨ ur diesen allgemeinen Fall in Abh¨ angigkeit von k, f und p an, wie viel St¨ uck verkauft werden m¨ ussen, um genau kostendeckend zu arbeiten.

L¨ osung Aufgabe 10: Es muss die Gleichung 3x + 30000 = 5x gelten. Daraus folgt x = 15000. Allgemein gilt kx + f = px und damit x = kostendeckend zu arbeiten.

f . p−k

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So viele Produkte m¨ ussen verkauft werden, um...