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ACTIVIDADES DE DIVISIBILIDAD...

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o GUÍA N° 7 DIVISIBILIDAD. UNIDAD 1: NÚMERO Y CÁLCULO

CONTENIDOS: Planteo y resolución de problemas que impliquen el uso de nociones de divisibilidad. Exploración, enunciado y utilización de los criterios de divisibilidad. Búsqueda y exploración de propiedades y relaciones vinculadas con la divisibilidad, en conjuntos dados. Construcción de los conjuntos de divisores y de múltiplos (comprendidos entre dos dados) de un número. Resolución de problemas usando las nociones de múltiplo común menor y de divisor común mayor. Utilización de los criterios de divisibilidad para descomponer un número en factores primos y para calcular el múltiplo común menor y el divisor común mayor. Teorema Fundamental de la aritmética. OBJETIVOS: Distinguir los divisores y múltiplos de un número natural. Reconocer sus propiedades. Explorar, enunciar y utilizar los criterios de divisibilidad. Reconocer números primos y compuestos. Factorizar un número natural. Utilizar la factorización para calcular el MCD y MCM de dos o más números. Resolver problemas utilizando relaciones y propiedades de la divisibilidad . CRITERIOS DE EVALUACIÓN: Identifica si un número es múltiplo de otro. Reconoce las divisiones exactas. Hallar todos los divisores de un número. Descompone un número en sus factores primos. Usa las nociones de múltiplos, divisores y los criterios de divisibilidad para resolver diferentes clases de problemas, analiza relaciones entre cálculos y anticipa resultados de multiplicaciones y divisiones. Aplica el teorema fundamental de la aritmética para resolver problemas. Distingue números primos de compuestos. Resuelve problemas de MCD y MCM utilizando la factorización. Actividad 1: Lean lo que hicieron Paula y Nico para saber si 640 y 564 son múltiplos de 8.

Paula Nico

Entonces 640 es múltiplo de 8 y 8 es divisor de 640.

Como 64=8x8, entonces 64 está en la tabla del 8, por lo tanto, 640 es múltiplo de 8 y 8 es divisor de 640 porque 640=64x10=8x8x10=8x80 7x8=56, entonces 7x8x10=560. Si le sumas 4, no llego al siguiente múltiplo de 8. Entonces 564 no puede ser múltiplo de 8 y 8 no puede ser divisor de 564.

Entonces 564 no es múltiplo de 8 y 8 no es divisor de 564. ¿Son correctos los razonamientos de Paula y Nico? ¿Por qué?

1 Profesora Analia Carrasco

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MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO Un número es múltiplo de otro cuando lo contiene un número exacto de veces. Si un número es múltiplo de otro, el cociente es exacto. Si un número es múltiplo de otro, decimos que el primero es divisible por el segundo. Propiedades de los múltiplos de un número: Todo número distinto de cero es múltiplo de si mismo. 120 es múltiplo de 120 porque 120:120= 1 con reto 0 Todo número es múltiplo de la unidad 120 es múltiplo de 1 porque 120:1=120 con resto 0

2 Profesora Analia Carrasco

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DIVISOR DE UN NÚMERO Un número es divisor de otro si lo divide en forma exacta. Por ejemplo 4 y 30 son divisores de 120. Propiedades de los divisores de un número: El 1 es divisor de todos los números. 5:1=5 y el resto es 0 Todo número distinto de 0 es divisor de sí mismo 5:5=1 y el resto es 0. 12:0 ES IMPOSIBLE, PORQUE NO HAY NINGÚN NÚMERO QUE MULTIPLICADO POR 0 DÉ 12 COMO RESULTADO. POR LO TANTO NO SE PUEDE DIVIDIR POR 0. FIJAMOS LO APRENDIDO: *Respondan si o no a cada una de las siguientes preguntas. Justificar. a) ¿42 es divisible por 7? …, porque…………………………………………… b) ¿63 es múltiplo de 21?......, porque……………………………………….…. c) ¿7 es divisor de 42?......, porque………………………………………….…. d) ¿6 es múltiplo de 13?.....porque……………………………………………… e) ¿1 es divisor de 100?.....porque……………………………………………… f) ¿18 es divisible por 3?.....porque …………………………………………… g) ¿18 es divisible por 18?......porque………………………………………….. h) ¿28 es múltiplo de 28?....... porque…………………………………………

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Institucionalización Dados dos números naturales a y b: a es múltiplo de b si existe un número natural c que multiplicado por b da como resultado a. Por ejemplo 12 es múltiplo de 6 porque 2x6=12 a es divisor de b si el resto de la división de b por a es cero. Por ejemplo 6 es divisor de 18 porque la división entre 18 y 6 tienen resto 0. Para saber si un número es múltiplo de otro puedo: Hacer la división y ver si el resto es cero. Escribir el primer número como multiplicación de números más chicos. Los factores de esa multiplicación son divisores del primero y el primero es múltiplo de todos ellos o sus multiplicaciones. Por ejemplo 20= 4x5= 2x2x5 entonces 5,4 y 2 son divisores de 20, también lo es 5x2=10 y 20 es múltiplo de todos ellos. Si un número es múltiplo de otro, entonces el segundo es divisor del primero. Todo número natural es divisor y múltiplo de sí mismo El número 1 es divisor de cualquier número natural El número 0 es múltiplo de cualquier número natural.

Actividad 2: Indiquen cuáles de estos números son múltiplos de 12. Expliquen cómo se dieron cuenta: a.1200 b. 486 c.360 d. 1012 e.0 Actividad 3: Indiquen cuáles de estos números son divisores de 48. Expliquen cómo se dieron cuenta. a.192 b.12 c.48 d.432 e. 18 f.6 g. 1 h.24 Actividad 4: Decidan sin hacer la cuenta si el resultado de 25x42x18 es múltiplo de cada uno de estos números. En cada caso expliquen cómo se dieron cuenta. a.2 b.5 c. 7 d.10 e.11 f.15 g.26 h.27 Actividad 5: Decidan sin hacer la cuenta si el resultado de 30x56x23+2 es múltiplo de 6. Anoten cómo lo pensaron.

Actividad 6: Responda a las siguientes cuestiones a) Dado un número natural cualquiera, ¿cuál es su divisor más pequeño? ¿Y el mayor? ¿Se cumple en cualquier número natural? ¿Por qué? b) Si un número es divisor de otro, ¿también lo es de los múltiplos de éste? ¿Por qué? c) Dado un número natural cualquiera, ¿cuál es su múltiplo menor? ¿Y el mayor? d) La suma de varios múltiplos de un número, ¿también es múltiplo de dicho número? Explique su respuesta

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Institucionalización  Si a y b son números pares entonces: a + b es par y a . b es par.  Si a y b son dos números impares entonces: a + b es par y a . b es im par. NÚMEROS PRIMOS Y NÚMEROS COMPUESTOS. Actividad 1: ¿Cuáles son los divisores de los siguientes números? ¿Cuántos son? a.17

b.29

c. 22

d.18

Un número natural es primo cuando tiene exactamente dos divisores, 1 y el mismo número. Por ejemplo 7 es primo porque solamente 1 y 7 son sus divisores. Un número natural es compuesto cuando tiene más de dos divisores. Por ejemplo 8 es compuesto porque tiene cuatro divisores 1,2,4,8 El 1 no es primo ni compuesto porque tiene un solo divisor.

Actividad 2 Realizar en la tabla dada los siguientes ítems:

a) Marquen todos los múltiplos de 2, excepto el dos. b) Marquen los múltiplos de tres que no han sido marcados, excepto el 3. c) Marquen todos los múltiplos de 5 que no hayan sido marcados, excepto el 5. d) Marquen todos los múltiplos de 7 que no hayan sido marcados, excepto el 7. e) Marquen todos los

múltiplos de 11 que no hayan sido marcados, excepto el 11 f) Marquen todos los múltiplos de 13 que no hayan sido marcados, excepto el 13 g) Marquen todos los múltiplos de 17 que no hayan sido marcados, excepto el 17 h) Marquen todos los múltiplos de 19 que no hayan sido marcados, excepto el 19 2

3

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¿Cuáles son los números que quedaron sin marcar? ¿Cuántos divisores tienen estos números? Conclusión: Los números primos menores que 200 son 46: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139, 149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199

7 Profesora Analia Carrasco

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Actividad 3: a) La suma de dos números primos, ¿es un número primo? ¿Siempre? ¿Por qué? b) El producto de dos números primos, ¿es un número primo? Justifique su respuesta. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Los criterios de divisibilidad son reglas que permiten determinar si un número es divisible por otro sin necesidad de hacer la cuenta de dividir. Estos son algunos criterios: Un número es divisible por 2 3 4 5 6 8 7

9 10 11

100

Cuando…

Ejemplos

Su última cifra es un número par. Al sumar sus cifras se obtiene un múltiplo de 3. Las dos últimas cifras son dos ceros o forman un múltiplo de 4 Su última cifra es 0 o 5. Es a la vez divisible por 2 y por 3 Las tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 8 Cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es múltiplo de 7.

16,94, 348, 6000. 33, 96, 171, 6072 100, 1000, 2000, 4000, 5000,84, 124, 1000, 3532, 7548 140, 725, 5690, 1115 12, 66,732,3780 1000, 2000, 3000,5464,3824

343 34 – 2x3 = 28, es múltiplo de 7 2261 226 - 2x1 = 224 Volvemos a repetir el proceso con 224 224 22 - 2x4 = 14, es múltiplo de 7. Al sumar sus cifras se obtiene un múltiplo de 9 81,207,567, 8136 Su última cifra es 0. 90, 4560, 7890 Se suman las cifras de lugar impar, se suman las cifras 52.833 es múltiplo de 11, se procede así para de lugar par y se restan los resultados. Si la diferencia es verificar: (5+8+3)-(2+3)= 16-5=11 múltiplo de 11 entonces, y sólo entonces, el número lo es. Sus últimas dos cifras son ceros 87900, 900,34500,789600, etc

Actividad 1: a-Escriban (V) verdadero o (F) falso según corresponda. Explique sus respuestas por escrito. Luego discútanlas con sus compañeros. 1 Si un número es divisible por 6, entonces, es divisible por 3. 2 Si un número es divisible por 3, entonces, es divisible por 6. 3 Si un número es divisible por 3 y 5, entonces, es divisible por 15. 4 Si un número es divisible por 7, entonces, no es divisible por 2. 5 Si un número no es divisible por 4, entonces, no es divisible por 2. 6 Si un número es divisible por 16, entonces, es divisible por 8 y por 4. b-¿Son los números 63 y 54 múltiplos de 3? ¿El resultado de la suma de los números 63 y 54 es también múltiplo de 3? ¿El resultado de la diferencia entre 63 y 54 es un múltiplo de 3? c-Elija dos números que tengan un mismo divisor común y compruebe lo trabajado en el ítem b).

Actividad 2: Criterio de divisibilidad por 7: Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es múltiplo de 7. 343 34 – 2x3 = 28, es múltiplo de 7 8 Profesora Analia Carrasco

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2261 226 - 2x1 = 224 Volvemos a repetir el proceso con 224 224 22 - 2x4 = 14, es múltiplo de 7. Proponga Ud. otros (2) ejemplos de números de 4 cifra. Actividad 3: Para averiguar si un número es divisible por 11 se procede del siguiente modo: Se suman las cifras de lugar impar, se suman las cifras de lugar par y se restan los resultados. Si la diferencia es múltiplo de 11 entonces, y sólo entonces, el número lo es. Por ejemplo, para probar si 52.833 es múltiplo de 11, se procede así: (5+8+3)-(2+3)= 16-5=11 por lo que 52.833 es múltiplo de 11. Actividad: a. El número 14.410 ¿es múltiplo de 11? b. ¿Y 93.929? Escribe cómo te das cuenta. c. El número 1234 no es divisible por 11. Cambien sus cifras de lugar para obtener un número que si lo sea. ¿La solución es única? DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN PRODUCTO DE FACTORES PRIMOS Actividad 1: La calculadora hoy funciona “raro”, solo multiplica números primos. ¿Cuáles de los siguientes productos se lo puede expresar como la multiplicación de números que sean primos para poder resolver con esa calculadora? a.12 x 25 =…….. b.56 x 10 =…….. c. 45 x 11 =…….. d. 90 x 14 =…….. e.15 x19 =…….. f.128 x 35 =.…….. g.120 x 45 =…….. h.64 x 72 =…….. 60 x 250 =…….. DESCOMPONER UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS SE LLAMA FACTORIZAR ¿Cómo se descompone un número compuesto en sus factores primos? Paso 1: Se hace una barra vertical y se escribe el número a su izquierda. Paso 2: se busca el menor número primo que sea divisor del número dado y se lo escribe a la derecha de la barra y a la altura del número dado. Paso 3: se divide el número dado por el divisor que encontraron y se escribe el cociente en la columna de la izquierda. Paso 4: Si el cociente que obtuvieron es divisible por l número primo que encontraron se escribe nuevamente dicho divisor debajo del anterior y se realiza la nueva división. Se escribe el nuevo cociente en la columna de la izquierda. Paso 5: Si el cociente no fuera divisible por ese número primo, se busca el próximo número primo que sea divisor del cociente obtenido, se lo escribe a su derecha y se repite el paso 3. Paso 6: Se repiten los pasos 4 y 5 hasta obtener un cociente igual a 1.

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Actividad 2- Haz la descomposición en producto de factores primos de los siguientes números: a) 54 b) 70 c) 126 d) 728 e) 539 Actividad 3: Sin hacer las divisiones y sobre la base de la descomposición en factores primos de 120=23.3.5 marca V o F justificando V F 120 es múltiplo de 5 120 es divisible por 15 120 es múltiplo de 11 4 es divisor de 120 120 es divisible por 16 120 es divisible por 8 24 es divisor de 120 40 es múltiplo de 120 PROBLEMAS DE MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Actividad 1: En la Ruta Verde, de 240 km de largo, han colocado: *cabinas telefónicas cada 12 km, * puestos sanitarios cada 30 km, * estaciones de servicio cada 15 km. a) Si en el km cero (0) existen los tres servicios, ¿En qué kilómetro vuelven a coincidir los tres? b) Si la ruta se extiende 60 km más, al final de este nuevo tramo, ¿Volverán a coincidir? ¿Por qué? c) ¿Qué características tienen los números de los kilómetros en que coinciden los tres servicios? Actividad 2: Un viajante va a Corrientes cada 18 días, otro va a Corrientes cada 15 días y un tercero va a Corrientes cada 8 días. Hoy han coincidido en Corrientes los tres viajantes. ¿Dentro de cuántos días como mínimo volverán a coincidir en Corrientes?

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Actividad 3: Andrés tiene en su tienda los botones metidos en bolsas. En la caja A tiene bolsitas de 24 botones cada una y no sobra ningún botón. En la caja B tiene bolsitas de 20 botones cada una y tampoco sobra ningún botón. El número de botones que hay en la caja A es igual que el que hay en la caja B. ¿Cuántos botones como mínimo hay en cada caja? Actividad 4: Un sitio turístico en el Caribe ofrece tres diferentes cruceros: uno tarda 12 días en ir y regresar a su punto de inicio, el segundo tarda 15 días y el tercero tarda 18 días. Si los tres cruceros partieron al mismo tiempo, ¿cuántos días faltan para que vuelvan a partir el mismo día todos los cruceros? Actividad 5: Un autobús A sale cada 6 minutos, el B cada 8 minutos y el C cada 10 minutos. Si los tres han coincidido en la parada a las 7:00, ¿cuándo volverán a estar los tres juntos?

PROBLEMAS DE MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Actividad 1: María y Jorge tienen 25 mostacillas blancas, 15 mostacillas azules y 90 mostacillas rojas y quieren hacer el mayor número de collares iguales sin que sobre ninguna mostacilla. a) ¿Cuántos collares iguales pueden hacer? b) ¿Qué número de mostacillas de cada color tendrá cada collar? Actividad 2: En la clase de gimnasia hay 96 chicos y 84 chicas. El profesor de Educación Física quiere repartirlos en equipos que tengan igual número de integrantes. En cada equipo desea tener sólo chicos o sólo chicas. ¿Cuál es el mayor número de integrantes que puede tener cada equipo? Actividad 3: David tiene 24 dulces para repartir y Fernando tiene 18. Si desean regalar los dulces a sus respectivos familiares de modo que todos tengan la misma cantidad y que sea la mayor posible, ¿cuántos dulces repartirán a cada persona? ¿A cuántos familiares regalará dulces cada uno de ellos? Actividad 4: Una empresa pequeña que vende leche cuenta con tres sucursales: una en el norte, una en el sur y una en el este. Sabemos que la sucursal del norte produce 300 botellas de leche diarios, la del sur produce 240 y la del este produce 360. Se quieren transportar estas botellas de leche en camionetas que lleven el mismo número de botellas, pero que sea el mayor número de botellas posible. ¿Cuántas botellas de leche deben transportar cada camioneta? 11 ...