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Apunts del segon tema del bloc d'ones de l'assignatura de foft...

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7 Superposición de ondas 7.1

7.2

Reflexión y transmisión 7.1.1 Reflexión y transmisión de una onda armónica en la frontera entre dos medios distintos 7.1.2 Fracciones de potencia transmitida y reflejada 7.1.3 Ondas reflejadas: límites de extremo fijo y extremo libre

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Superposición de ondas 7.2.1 Principio de superposición 7.2.2 Interferencia entre dos ondas armónicas 7.2.3 Ondas estacionarias 7.2.4 Cuerda fija por un extremo y libre por el otro

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7.1 Reflexión y transmisión 7.1.1 Reflexión y transmisión de una onda armónica en la frontera entre dos medios distintos Cuando una onda llega a la superficie que separa dos medios diferentes, una parte de la onda se refleja y la otra se transmite, de manera que la energía de la onda incidente se reparte entre estos dos haces. Para ilustrar los aspectos generales de este fenómeno, analizaremos el caso sencillo de ondas que se propagan a lo largo de cuerdas con diferente densidad lineal i que están unidas en un extremo común y están sometidas a la misma tensión FT . Consideremos dos cuerdas con densidades lineales 1 y 2 que están unidas en un punto que será el origen de coordenadas. Supongamos que una onda armónica incidente se propaga desde la izquierda con la forma y i A i cos k 1x t La onda transmitida que se propaga por la cuerda 2 es y t A t cos k 2x t Nótese que la frecuencia angular es la misma aunque la onda cambie de medio, ya que la frecuencia de la onda es independiente de la velocidad de propagación. La onda reflejada, que se propaga de regreso por la cuerda 1, es y r A r cos k 1x t En la figura 7.1, podemos ver que el desplazamiento de la cuerda en el medio 1 (a la izquierda del origen) es el resultado de la superposición de las ondas incidente y reflejada y r y i . En el medio 2 (a la derecha del origen), el desplazamiento se debe sólo a la onda transmitida y t . Evidentemente, como las dos cuerdas están unidas en el origen, el desplazamiento en ese punto debe ser igual calculado por cualquiera de los dos lados. Por lo tanto, tendremos que Ar cos t Ai cos t At cos t Ai Ar At Por otro lado, la fuerza en la dirección vertical en cualquier punto de la cuerda viene dada por FT sin , donde es el ángulo que forma la recta tangente a la cuerda en ese punto con la horizontal. Para pequeño, podemos sustituir sin por tan , o lo que es lo mismo, por y / x . Por lo tanto, a la izquierda del origen la fuerza vertical será y   y ∑ Fy FT  xi xr  mientras que a la derecha es ∑ Fy FT yt / x . Dado que en el origen estas dos fuerzas deben ser iguales, tendremos que yi yr yt k1 Ai sin t k1 Ar sin t k2 At sin t en x 0 x x x / v j , se tiene que Teniendo en cuenta que k j 1 1 Ai Ar A v1 v2 t Combinando las dos ecuaciones que relacionan las amplitudes de las ondas, se puede obtener las siguientes expresiones

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At

2v2 A v 2 v1 i

v 2 v1 A v 2 v1 i Sustituyendo las velocidades a partir de la ecuación vj FT / j , obtenemos que Ar

At Ar

Figura 7.1 (a) Un pulso se propaga sobre una cuerda ligera unida a otra más pesada en la cual es menor la velocidad. El pulso reflejado se invierte, mientras que el transmitido no. (b) Un pulso se propaga sobre una cuerda pesada unida a otra más ligera, en la cual la velocidad es mayor. El pulso reflejado no se invierte (Tipler-Mosca).

2

1

Ai

1

2

1

2

1

2

Ai

Los cocientes At / Ai y A r / Ai se conocen como coeficientes de transmisión y reflexión, respectivamente, y se les denota como t y r . Así t

r

2

1

1

2

1

2

1

2

Nótese que t es siempre positivo, de modo que At tiene siempre el mismo signo que Ai y la onda transmitida siempre está en fase con la onda transmitida (ver figura 7.1). Sin embargo, r puede ser positivo o negativo dependiendo de si 1 es mayor o menor que v 2 es mayor o menor que v 1 ), respectivamente. De esta forma, la onda reflejada 2 (o puede estar en fase o en oposición de fase (desfase de ) con la onda incidente, tal como se muestra en la figura 7.1. Estas dos expresiones para los coeficientes de reflexión y transmisión se denominan relaciones de Fresnel, y son válidas también para ondas electromagnéticas y sonoras.

7.1.2 Fracciones de potencia transmitida y reflejada A partir de la expresión de la potencia media asociada a una onda armónica que se propaga por una cuerda 1 Pm v 2A2 2 se puede calcular las fracciones de potencia transmitida (transmitancia T ) y reflejada (reflectancia R ) en la frontera de separación entre dos medios diferentes (dos cuerdas de densidades lineales distintas). Para la fracción de potencia media transmitida tendremos que 1 2 2 Pmt 2 2 v2 At 4 2 1 FT / 2 t2 Ai2 v A2 2 2 2 2 2 t T t 2 2 2 1 Pmi vA 2 2 FT / 1 Ai 1 1 i 1 1 Ai 1 2 1 v1 2

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La fracción de potencia media reflejada será 1 2 2 2  1  Pm r 2 1v1 Ar Ar2 r2 Ai2 2 2 R r    Pmi 1 Ai2 Ai2 2 2 1 2   v A i 1 1 2 Obviamente, por la conservación de la energía, se debe cumplir que

1 R T

r2

2

t2

1

7.1.3 Ondas reflejadas: límites de extremo fijo y extremo libre Como ejemplo sencillo para entender el papel que juega la frontera entre dos medios en la reflexión y transmisión de las ondas, vamos a considerar otra vez el caso de las ondas transversales propagándose en una cuerda estirada. ¿Qué sucede cuando un pulso de onda o una onda armónica llegan al extremo de la cuerda?

(a)

(b)

Figura 7.3 Ondas reflejadas en el extremo de una cuerda tensa (Sears-Zemansky).

Si el extremo está fijado a un soporte rígido no puede moverse. Por lo tanto siempre será un nodo de la onda. En estas condiciones, la onda incidente ejerce una fuerza sobre el soporte que da lugar a una fuerza de reacción que el soporte ejerce sobre la cuerda y que va en sentido opuesto. Esta fuerza de reacción sobre la cuerda crea un pulso u onda reflejada, que está invertido respecto a la onda incidente y viaja en sentido opuesto. La figura 7.2(a) muestra este proceso para una sucesión de instantáneas consecutivas.

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La situación opuesta a un extremo fijo es un extremo libre que puede moverse sin rozamiento en la dirección perpendicular a la longitud de la cuerda. Por ejemplo, la cuerda podría estar atada a un anillo ligero que se desliza sin fricción en una varilla perpendicular a la cuerda, como se muestra en la figura 7.2(b). El anillo y la varilla mantienen la tensión pero no ejercen una fuerza transversal. Cuando una onda llega a este extremo libre, el anillo se desliza por la varilla. El anillo alcanza un desplazamiento máximo, y tanto él como la cuerda se detienen momentáneamente, como se muestra en la cuarta instantánea de la figura 7.1(b). La cuerda ahora está estirada, aumentando la tensión, por lo tanto, el extremo libre de la cuerda se desplaza otra vez hacia abajo, generándose un pulso reflejado (instantánea 7 en la figura 7.1(b)). Como en el caso del extremo fijo, el pulso reflejado se mueve en sentido opuesta a la del pulso inicial, pero ahora el pulso no se invierte respecto al pulso incidente. Las condiciones en el extremo de la cuerda, como por ejemplo, la existencia de un soporte rígido o la ausencia total de fuerza transversal, se denominan condiciones de frontera. Estos resultados también pueden obtenerse como casos límite de las condiciones de reflexión y transmisión en la frontera entre dos medios que hemos estudiado en el apartado 7.1.1. Si suponemos que el extremo de la cuerda constituye la frontera entre dos medios (dos cuerdas unidas con densidades lineales distintas), el caso del extremo fijo corresponderá a que la densidad lineal 2 en el segundo medio sea infinita (la velocidad de propagación v 2 será cero). Por lo tanto, aplicando las ecuaciones deducidas en el apartado 7.1.1 para las amplitudes transmitidas y reflejadas, obtenemos Ai r 1. El caso con el extremo libre corresponde a que At 0 t 0 y que Ar r 1. que 2 0 Ar Ai

7.2 Superposición de ondas 7.2.1 Principio de superposición Las ondas mecánicas de amplitud pequeña cumplen el principio de superposición: cuando dos o más ondas se combinan, la onda resultante es la suma algebraica de las ondas individuales. Como veremos a continuación, ésta es una propiedad general del movimiento ondulatorio siempre que la ecuación de onda sea como la que obtuvimos en el apartado 6.3.3. Por ejemplo, si tenemos dos pulsos que viajan sobre la misma cuerda tensa, la función de onda resultante es la suma algebraica de las funciones de onda individuales. En la figura 7.4, se muestra el caso de dos pulsos idénticos viajando en sentidos opuestos y estando el segundo invertido respecto al primero. Existe un instante en que los dos pulsos se solapan exactamente y su suma es igual a cero. En ese instante, la cuerda está completamente horizontal. Tras ese breve instante de tiempo, emergen de nuevo los dos pulsos individuales y cada uno continúa con su Figura 7.4 Dos pulsos interfiriendo en movimiento y forma originales. Es decir, una cuerda tensa. 160

tras la colisión, cada uno continúa moviéndose a la misma velocidad, y con el mismo tamaño y forma que tenían inicialmente. Por lo tanto, los pulsos interfieren entre sí cuando se solapan, pero no interactúan: cuando se separan otra vez, recuperan sus características originales. Es interesante hacer notar que cuando la cuerda se encuentra en posición totalmente horizontal, toda la energía cinética de los dos pulsos se ha transformado ene energía potencial elástica de la cuerda (la energía se conserva a lo largo de todo el proceso de superposición). El principio de superposición resulta de la linealidad de la ecuación de onda (apartado 6.3.3) para valores pequeños del desplazamiento transversal. Es decir, en la ecuación de onda, la función y f x ,t y sus derivadas aparecen sólo con potencia unidad. Por lo tanto, si y1 y y 2 son dos soluciones cualesquiera de la ecuación de onda, cualquier combinación lineal de la forma y 3 c1y 1 c 2 y 2 donde c1 y c2 son constantes arbitrarias, es también una solución. Esto se demuestra fácilmente sustituyendo y 3 en la ecuación de onda. En consecuencia, si dos ondas cualesquiera satisfacen la ecuación de onda, cualquier superposición lineal arbitraria constituye una función de onda válida para el sistema y es también una solución de la misma ecuación de onda. Todo esto implica que cuando dos ondas se solapan en una cuerda, el desplazamiento real de cualquier punto de la cuerda se obtiene sumando el desplazamiento que tendría si sólo estuviera presente la primera onda con el desplazamiento que tendría si sólo estuviera presente la segunda. Obviamente, el principio de superposición no es válido cuando la ecuación de onda no es lineal. Por ejemplo, si el medio no obedece la ley de Hooke. Esto sucede cuando la amplitud de la oscilación supera el límite elástico del medio. El principio de superposición es muy importante para muchos tipos de ondas. Por ejemplo, se aplica a ondas sonoras y este hecho nos permite distinguir dos sonidos a pesar de que lleguen a nuestro oído superpuestos. El principio de superposición también se aplica a ondas electromagnéticas. 7.2.2 Interferencia entre ondas armónicas El resultado de la superposición de ondas armónicas de la misma frecuencia t la función de depende de la diferencia de fase entre ellas. Sea y 1 A sin k x onda de una onda armónica que se propaga hacia la derecha con amplitud A , frecuencia angular y número de onda k . Para simplificar, hemos escogido arbitrariamente la fase de esta onda igual a cero. Si en el mismo medio, también se propaga una segunda onda armónica de la misma frecuencia, amplitud y número de ondas, en el mismo sentido, su función de onda será Figura 7.5 Interferencia entre dos ondas armónicas desfasadas (Tipler-Mosca). y2 A sin k x t donde es la constante de fase entre las dos ondas. En la figura 7.5, se muestra una representación de los desplazamientos provocados por cada onda para un tiempo dado. Aplicando el principio de superposición, la onda resultante será la suma algebraica de las dos ondas 161

y1 y2 A sin k x t Asin k x t Esta ecuación puede simplificarse utilizando la igualdad trigonométrica 1 1 sin 1 sin 2 2 cos 1 2 sin 2 2 1 2 t y 2 kx t En este caso, 1 k x , de modo que 1 1 1 2 2 2 1 1 kx t 1 2 2 2 En consecuencia, la superposición de las dos ondas adopta la forma     y1 y2  2A cos  sin  k x t  2  2  / 2 cos / 2 . Como podemos ver, el resultado de donde se ha utilizado que cos la superposición de dos ondas armónicas de igual frecuencia y número de ondas es otra onda armónica que tienen la misma frecuencia y el mismo número de ondas. Sin embargo, la amplitud de la onda resultan es 2 Acos / 2 y su constante de fase es igual a la mitad de la (a) diferencia entre las fases de las dos ondas originales. A este patrón de desplazamiento transversal se le denomina interferencia. Si las dos ondas que interfieren están en fase ( 0 ), la amplitud de la onda resultante es 2A (ver figura 7.6(a)) y se dice que las dos ondas están en condiciones de interferencia constructiva. En este caso, la amplitud de la onda (b) resultante es la suma de las amplitudes de las Figura 7.6 Interferencia ondas individuales. Si por el contrario, están constructiva y destructiva entre dos desfasadas en 180º ( ), entonces, la amplitud de ondas (Tipler-Mosca). la onda resultante será nula y se dice que las dos ondas están en condiciones de interferencia destructiva (ver figura 7.6(b)). En general, cuando dos ondas están en condiciones de interferencia destructiva, la amplitud de la onda resultante será la diferencia de las amplitudes de las dos ondas individuales. Si las dos ondas originales tienen amplitudes iguales, se anulan completamente. 7.2.3 Ondas estacionarias Cuando las ondas están confinadas en una cierta región del espacio (ondas elásticas en una cuerda de guitarra, ondas sonoras en un tubo de órgano, ondas luminosas en un láser) se producen reflexiones en las fronteras del medio, y por lo tanto, existen a la vez ondas propagándose en los dos sentidos (medio unidimensional) que se superponen para dar lugar a fenómenos de interferencias. Aplicando el principio de superposición, se puede demostrar que, para un medio unidimensional de longitud determinada, existen ciertas frecuencias que dan lugar a estados de vibración estacionarios, llamados ondas estacionarias, que corresponden a condiciones de interferencia constructiva entre las

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ondas incidentes y reflejados en los extremos. Este tipo de ondas tienen importantes aplicaciones en instrumentos musicales y en mecánica cuántica. Si fijamos los dos extremos de una cuerda y aplicamos una excitación armónica de pequeña amplitud sobre ella, podemos observar, que a ciertas frecuencias discretas, se obtienen unos patrones de ondas estacionarias semejantes a los mostrados en la figura 7.7. Las frecuencias que corresponden a cada uno de estos patrones se denominan frecuencias de resonancia de la cuerda. Cada una de estas frecuencias y la función de onda correspondiente se denomina modo de vibración. La frecuencia de resonancia más baja se denomina frecuencia fundamental f 1 y produce el patrón de ondas estacionarias mostrado en el primer panel de la figura 7.7, el cual recibe el nombre de modo fundamental o primer armónico. La segunda frecuencia más baja f 2 produce el patrón indicado en el segundo panel de Figura 7.7 Ondas estacionarias en una la figura 7.7. Este modo de vibración cuerda con los dos extremos fijos (Tiplertiene una frecuencia que es el doble de la frecuencia fundamental y se denomina segundo armónico. El tercer modo de vibración corresponde a tres veces la frecuencia fundamental y produce el patrón indicado en el tercer panel de la figura 7.7. El conjunto de todas las frecuencias resonantes de la cuerda se denomina espectro de frecuencias de resonancia, y su característica más importante es que las frecuencias permitidas están cuantizadas. Otra característica importante de los modos de vibración en una cuerda fija por los dos extremos es que los modos de vibración permanecen en la misma posición en la cuerda (no son ondas viajeras), y su amplitud fluctúa. Hay ciertos puntos llamados nodos, que nunca se mueven (la amplitud es siempre cero). Al mismo tiempo, a mitad de camino entre los nodos hay puntos llamados antinodos donde la amplitud del movimiento oscilatorio es máxima. El patrón resultante no se propaga a lo largo de la cuerda (no hay propagación de energía asociada a la onda) a diferencia de lo que ocurre con una onda viajera convencional. El principio de superposición explica cómo la onda incidente y la reflejada se combinan para formar una onda estacionaria. En la figura 7.8, las curvas rojas indican una onda que viaja a la izquierda. La curvas azules muestran una onda que viaja a la derecha con la misma rapidez de propagación, longitud de onda y amplitud. Las ondas se muestran en nueve instantes, separados por un 1/16 de periodo. En cada punto de la cuerda, se suman los desplazamientos provocados por las dos ondas individuales; el resultado es la onda total, dibujada en color marrón. En ciertos instantes, como en t T / 4 , los dos patrones de onda están exactamente en fase entre sí, y la forma de la cuerda resultante es una curva senoidal con el doble de amplitud que las ondas individuales (condición de interferencia constructiva). En otros instantes, como en t T / 2 , las dos ondas están totalmente desfasadas y la onda resultante tiene amplitud cero. El desplazamiento resultante siempre es cero en los 163

lugares marcados con N (nodos) en la base de la figura 7.8. En un nodo, los desplazamientos de las dos ondas en rojo y azul siempre son iguales y opuestos, y se cancelan. Esta cancelación se llama interferencia destructiva. A la mitad del camino entre los nodos están los puntos de máxima amplitud o antinodos, marcados con A (antinodos) en la figura 7.8. En los antinodos, los desplazamientos de las dos ondas en rojo y azul siempre son idénticos, dando un desplazamiento resultante grande debido a

Figura 7.8 Formación de una onda estacionaria (Sears-Zemansky).

la interferencia constructiva entre ambas. Se puede demostrar que la distancia entre nodos o antinodos sucesivos es media longitud de onda. Vamos a deducir una función de onda para la onda estacionaria de la figura 7.8, sumando las funciones de onda y 1 x , t y y 2 x , t para dos ondas con amplitud, periodo y longitud de onda iguales que viajan en direcciones opuestas. De esta forma, y1 x , t (las curvas rojas de la figura 7.8) representa una onda incidente que viaja a la

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izquierda por el eje x hasta que alcanza el extremo de la cuerda, en x 0 , y se refleja; y 2 x , t (las curvas azules de la figura 7.8) representa la onda reflejada que viaja a la derecha desde el extremo de la cuerda en el que se acaba de producir la reflexión. En la sección 7.1.3, vimos que la onda reflejada en un extremo fijo de una cuerda se invierte, por lo tanto, las dos ondas (incidente y reflejada) estarán desfasadas 180º (las funciones de onda respectivas estarán cambiadas de signo). Así, tendremos que y 1 x ,t A cos k x t y 2 x,t

A cos k x

t

En x 0 el movimiento provocado por la onda incidente es A cos provocado por la reflejada es

A cos

t , mientras que el

t , que también se puede escribir como

, por lo tanto, las contribuciones de ambas se cancelarán entre sí. Si ahora A cos t consideramos cualquier punto arbitrario de la cuerda, por el principio de superposición, la onda resultante (onda estacionaria) es la suma de las dos funciones de onda individuales: y x ,t A cos k x t cos k x t  Rescribiendo los términos coseno mediante las identidades trigonométricas: cos a b cos a cos b ∓ sin a sin b y combinando términos, se obtiene la función de ...