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Apuntes sobre difracción

El término difracción tiene varios significados diferntes, aunque estrechamente relacionados entre sí: 1. Se dice que las ondas electromagnéticas se difractan cuando se encuentran en su camino un obstáculo o abertura de dimensiones comparables a su longitud de onda, lo que quiere decir que la onda se dispersa en un amplio abanico de direcciones. 2. Se habla de figuras de difracción como del resultado observable de los fenómenos de interferencia que se producen entre las múltiples ondas generadas en una apertura o un obstáculo, a frecuencias ópticas. 3. En un sentido complementario a los otros dos se dice en ocasiones que la luz blanca se difracta cuando se refleja o se transmite a partir de una red de difracción, como la que forman las pistas de un CD o de un DVD, dando lugar a una separación de colores. Esto ocurre porque las leyes de la difracción incluyen como parámetro importante a la longitud de onda, y cada componente espectral se comporta de un modo ligeramente diferente ante los obstáculos. 4. Se habla también de difracción para referirse al ensanchamiento gradual que experimentan las ondas cuando se propagan libremente en cualquier medio. En este sentido todas las ondas se difractan, es decir, se ensanchan en las direcciones transversales a medida que se propagan.

En este resumen nos referimos a la primera acepción y, en particular, al comportamiento de los campos al atravesar una apertura. Con el programa Difraction_2D se pueden experimentar numerosas situaciones donde una onda monocromática se difracta al atravesar algún tipo de apertura, con sus dimensiones del orden de algunas longitudes de onda. El programa obtiene los resultados mediante la utilización del llamado espectro angular de ondas planas. Esta técnica se aplica a problemas de propagación y consiste en buscar la onda resultante como un sumatorio de ondas planas que viajan en diferentes direcciones. Las ondas planas, individualmente o sumadas, satisfacen la ecuación de onda, así que de lo que se trata es de realizar esa suma de ondas planas de modo que se satisfaga la condición de contorno requerida. En la figura se muestra un esquema ilustrativo de la descomposición en ondas planas, con un número discreto de ondas.

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La onda propagada, cuyos frentes de onda se muestran en color azul, podría ser descompuesta en un sumatorio de ondas planas elementales. La longitud que se ha asignado a cada dirección en la figura representaría la amplitud correspondiente a la onda plana que viaja en esa dirección, y que hace que la suma de todas ellas dé lugar a la onda global representada.

Teoría del espectro angular Considérese la situación de la figura, en la que una onda electromagnética (de color azul) incide sobre una apertura,

El problema consiste en saber cómo se propagará en z > 0 la fracción de la onda que logra pasar a través de la apertura. Sea como sea la onda en el espacio posterior a la apertura, se podrá escribir como un sumatorio de ondas planas, debido a que la solución de las ecuaciones de Maxwell debe ser única. Como las direcciones de esas ondas pueden ser cualesquiera en todo el semiespacio, la suma se realiza sobre infinitas direcciones posibles, y se transforma en una doble integral, 2

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+𝑘0 +𝑘0

𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∫

∫ Ψ(𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 , 𝑘𝑧 ) 𝑒 −𝑗𝑘𝑥 𝑥 𝑒 −𝑗𝑘𝑦 𝑦 𝑒 −𝑗𝑘𝑧 𝑧 𝑑𝑘𝑥 𝑑𝑘𝑦

−𝑘0 −𝑘0

(1)

donde la función Ψ(𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 , 𝑘𝑧 ) representa la amplitud de cada onda plana en función de su dirección. Obsérvese que la dependencia de esta función con las componentes del vector de onda se puede reducir a dos de ellas, porque la tercera no es una variable independiente, sino que debe venir dada por la relación 𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 + 𝑘𝑧2 = 𝑘02

(2)

Así que en realidad Ψ(𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 , 𝑘𝑧 ) ≡ Ψ(𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 ).

Los límites de las integrales se han puesto entre −𝑘0 y +𝑘0 porque, de nuevo de acuerdo con la ecuación (2), si las componentes del vector de onda son reales, ninguna de ellas puede superar esos límites. ¿De qué información disponemos para obtener las amplitudes de las ondas planas que han de reproducir la onda global? Del campo que hay en la apertura; por lo tanto, si particularizamos la expresión anterior del campo para z = 0, debe satisfacerse la igualdad: +𝑘0 +𝑘0

𝐸(𝑥, 𝑦, 0) = ∫

∫ Ψ(𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 ) 𝑒 −𝑗𝑘𝑥 𝑥 𝑒 −𝑗𝑘𝑦 𝑦 𝑑𝑘𝑥 𝑑𝑘𝑦

−𝑘0 −𝑘0

(3)

Ahora podemos extender las integrales de la ec.(3) desde  hasta  , que no debe afectar al resultado, y lo que nos resulta es una transformada inversa de Fourier espacial y bidimensional, salvo un factor (1/2𝜋) en cada transformada, por lo que damos la vuelta a esa expresión para obtener 1 Ψ(𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 ) = ( ) 2𝜋

2

+𝑘0 +𝑘0

∫

−𝑘0

∫ 𝐸(𝑥, 𝑦, 0) 𝑒 +𝑗𝑘𝑥 𝑥 𝑒 +𝑗𝑘𝑦 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦

−𝑘0

(4)

que hace el papel de transformada directa y que nos dice que la función de las amplitudes Ψ(𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 ) se obtiene sin más información que el campo en la apertura. A esta función se le denomina el espectro de ondas planas de la onda global.

En resumen: - con el campo presente en la apertura se calcula el espectro de ondas planas mediante la ec. (4), 3

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y con ese espectro se obtiene el campo en todo el espacio posterior, mediante la ec. (1), en donde la componente 𝑘𝑧 se obtiene mediante la expresión (2): 𝑘𝑧 = √𝑘02 − (𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 )

Debe notarse que muy raramente la integral de la ec.(1) tiene solución analítica, por lo que deberá resolverse por procedimientos numéricos.

Problemas con una sola dimensión transversal El programa Difraction2D que se utiliza en la práctica 1 trabaja con problemas con una sola dimensión espacial transversal. Es decir, no trata con aperturas de área finita, sino con ranuras infinitamente extendidas en la dirección X. Se asume también que el campo en la apertura es invariante en esa dirección. Este tipo de problemas son conceptualmente iguales a los de tres dimensiones, pero más sencillos matemáticamente. Todas las expresiones anteriores son válidas, tan sólo imponiendo 𝑘𝑥 = 0 Observe que esa suposición equivale a afirmar que los campos no varían en la dirección X. Tendremos entonces: +∞

1 ∫ 𝐸(𝑦, 𝑧 = 0) 𝑒+𝑗𝑘𝑦 𝑦 𝑑𝑦 Ψ(𝑘𝑦 ) = 2𝜋 −∞

(5)

y +∞

𝐸(𝑦, 𝑧) = ∫ Ψ(𝑘𝑦 ) 𝑒 −𝑗𝑘𝑦 𝑦 𝑒 −𝑗𝑘𝑧 𝑧 𝑑𝑘𝑦 −∞

(6)

donde ahora 𝑘𝑧 = √𝑘02 − 𝑘𝑦2

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Ejemplos: Veamos algunas situaciones sencillas en dos dimensiones que pueden poner de manifiesto la relación entre el campo inicial, su espectro en frecuencias espaciales y el campo propagado. a) Comencemos por un caso trivial: una onda plana se propaga en la dirección del eje Z y llega al plano de la apertura, que es perpendicular a la dirección de propagación de la onda. En ese plano supongamos que tenemos una ranura de anchura infinita. ¿Cómo será el campo propagado tras la ranura? Evidentemente la onda plana continuará propagándose como antes, ya que no ha sido perturbada en modo alguno. Veamos ahora cómo se trataría este caso con la teoría del espectro angular. ¿Cuál es el campo en la apertura? Un campo de amplitud constante e ilimitado espacialmente, como corresponde a una onda plana. ¿Cuál será su espectro? La transformada espacial de Fourier de una función constante e ilimitada es una delta en el origen. ¿A qué campo debe dar lugar ese espectro? La ecuación (1) particularizada al caso de dos dimensiones (ondas en el plano YZ) será +𝑘0 +𝑘0

𝐸(𝑦, 𝑧) = ∫

∫ Ψ(𝑘𝑦 ) 𝑒 −𝑗𝑘𝑦 𝑦 𝑒 −𝑗𝑘𝑧 𝑧 𝑑𝑘𝑦

−𝑘0 −𝑘0

Si sustituimos la función Ψ(𝑘𝑦 ) = 𝐴𝛿(𝑘𝑦 ), y, recordando que 𝑘𝑦2 + 𝑘𝑧2 = 𝑘02 , llegaremos a que la solución es 𝐸(𝑦, 𝑧) = 𝐴 exp(−𝑗𝑘0 𝑧) tal como esperábamos.

b) Repitamos el ejercicio anterior para una onda que viaja en una dirección arbitraria en el plano YZ, manteniendo la apertura de anchura infinita. El campo eléctrico de la onda que viene por detrás de la ranura es: 𝐸(𝑦, 𝑧) = 𝐴 exp[−𝑗(𝑘′𝑦𝑦 + 𝑘𝑧′ 𝑧)]

(donde 𝑘𝑦′ y 𝑘𝑧′ son valores cualesquiera, pero constantes)

El campo al llegar a la apertura, supuesta en z = 0, será 𝐸(𝑦, 0) = 𝐴 exp[−𝑗 𝑘𝑦′ 𝑦]. La transformada espacial de Fourier de esa expresión es 5

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Ψ(𝑘𝑦 ) = 𝐴𝛿 (𝑘𝑦 − 𝑘𝑦′ ). Y al sustituir en la expresión del campo e integrar obtendremos la misma onda inicial.

c) ¿Qué le sucede a una onda plana que viaja en la dirección del eje Z y se encuentra con una ranura de anchura L en el plano z = 0? La onda es recortada por la apertura, que fuerza un campo nulo fuera de ella. Tendremos el producto de una ventana rectangular (la apertura) por un campo constante. El resultado es simplemente un campo recortado, con una forma espacial rectangular, y su transformada es una función sinc centrada en el origen de frecuencias espaciales. 𝑦 𝐸(𝑦) = 𝐸0 Π ( ) 𝐿/2

→ (𝑇𝐹𝐸) → Ψ(𝑘𝑦 ) =

𝐸0 𝑘𝑦 𝐿 sin ( ) 𝜋 𝑘𝑦 2

Lamentablemente la integral que nos daría el campo total en el espacio a partir de ese espectro, ec.(6), no tiene solución analítica. El espectro tiene un lóbulo principal de una cierta anchura, inversamente proporcional al tamaño de la apertura. Ese lóbulo principal con su máximo en 𝑘𝑦 = 0 indica que la onda de mayor amplitud que surge de la apertura sigue siendo la onda plana perpendicular a la apertura, en dirección Z. Sin embargo, ahora viene acompañada de un continuo de ondas planas a izquierda y derecha que interferirán con ella. La única manera de averiguar cómo será realmente el campo propagado por la apertura será integrar el espectro. El programa Difracción_2D muestra este tipo de situaciones.

d) Dos ondas planas con direcciones simétricas respecto al eje Z inciden simultáneamente en la apertura desde atrás. Ambas ondas tienen la misma amplitud y fase. ¿Cómo será el campo eléctrico en la apertura? ¿Cuál será su espectro? ¿Cuáles son las ondas de mayor amplitud que surgen de la apertura?

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Se puede comprobar que el campo resultante en la apertura es una función de la forma cos(𝑘𝑦 𝑦). Su espectro serían dos deltas de Dirac, en el caso de ser un coseno espacialmente ilimitado. Al estar enventanado por la apertura el espectro pasa a ser la convolución de esas deltas con la función sinc. De nuevo se precisaría de un cálculo numérico para obtener el campo propagado, si bien cabe esperar los máximos de potencia en las direcciones de las ondas planas originales.

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Algunos resultados de la teoría clásica de la difracción La teoría de la difracción se desarrolló para explicar algunos fenómenos observados en óptica, antes de que se conocieran las ecuaciones de Maxwell. No se va a explicar aquí, sino que tan sólo nos limitaremos a dar algunos de los resultados más relevantes de esa teoría.

Zona de Fraunhofer Considérese una situación como la esquematizada en la figura.

La apertura está situada a la izquierda, sobre el plano que denominamos X’Y’, con un radio máximo de valor b. La radiación procedente de la apertura se mide en el plano XY, a una distancia d en la dirección del eje z. Se denomina número de Fresnel a la cantidad adimensional dada por 𝑁𝐹 =

𝑎2 , 𝜆𝑑

(7)

donde a es el radio máximo del área de observación. Se puede definir también el numero adimensional complementario, que seria 𝑁𝐹′ =

𝑏2 . 𝜆𝑑

(8)

Con las definiciones anteriores se dice que estamos midiendo la radiación en zona de campo lejano o zona de Fraunhofer cuando se satisface 𝑁𝐹 ≪ 1 y 𝑁𝐹′ ≪ 1 . Más sencillamente se puede expresar la condición de campo lejano con la desigualdad 𝑎, 𝑏 ≪ √𝜆𝑑. La primera de las condiciones (𝑎 ≪ √𝜆𝑑) es en la practica la que resulta más importante. Denominamos: 𝑓(𝑥 ′ , 𝑦 ′ ) a la distribución de campo en la apertura y, 𝑔(𝑥, 𝑦) a la distribución de campo que se mide en la zona de observación. 8

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Asumimos que la TF espacial del campo en la apertura es 𝐹(𝜐𝑥 , 𝜐𝑦 ), donde 𝜐𝑥 y 𝜐𝑦 son las frecuencias espaciales. Se comprueba que en la zona de Fraunhofer se obtiene, como una aproximación de la teoría anterior, en la forma: 𝑔(𝑥, 𝑦) ≈

1 𝑥 𝑦 𝐹( , ) 𝜆𝑑 𝜆𝑑 𝜆𝑑

(9)

Es decir, el campo que observaremos a una distancia d será proporcional a la transformada de Fourier del campo en la apertura, con el escalado de las variables espaciales que se muestra en esta ecuación. La deducción formal de este resultado puede encontrarse en muchos textos. Se puede visualizar además fácilmente con el programa Difracción_2D en numerosas situaciones. La relación entre las frecuencias espaciales (𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 ) y (𝜈𝑥 , 𝜈𝑦 ) es 𝑘𝑥 = 2𝜋𝜈𝑥 y 𝑘𝑦 = 2𝜋𝜈𝑦

(10)

Zona de Fresnel En la figura anterior se muestra también el ángulo máximo que define la zona de observación desde el centro de la apertura, que se ha denominado 𝜃𝑀 . Se dice que se está midiendo el campo radiado por la apertura en la zona de Fresnel cuando se cumple 2 𝜃𝑀 ≪1 𝑁𝐹 4

(11)

En ese caso existe una aproximación mejor que la de Fraunhofer para el campo medido, que es ′ 2 +(𝑦−𝑦 ′ )2

(𝑥−𝑥 ) 𝑒 −𝑗𝑘𝑑 +∞ +∞ ∫ ∫ 𝑓(𝑥 ′ , 𝑦 ′ ) 𝑒 −𝑗𝜋 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑗 𝜆𝑑 −∞ −∞

𝜆𝑑

𝑑𝑥 ′ 𝑑𝑦 ′

(12)

En muchas ocasiones esa doble integral no tendrá solución analítica, pero aun así es una ecuación útil para obtener la solución numéricamente. La zona de Fresnel puede identificarse con la región del espacio en la que las ondas planas que forman la solución particular – tal como se vio en el apartado anterior – cumplen la condición 𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 ≪ 𝑘𝑧 , y por tanto que la onda difractada puede obtenerse como una suma de ondas planas cuasi paralelas a la dirección de propagación, o cuasi-perpendiculares a la apertura. A esta situación se le denomina también de ondas paraxiales. 9

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Resumen Para obtener la onda generada a partir de una apertura, u otro tipo de obstáculo, se puede proceder de varias maneras: -

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-

Mediante la descomposición en ondas planas, utilizando el método que se describe en estos apuntes bajo el epígrafe de ‘espectro angular de ondas planas’. Es un método razonablemente exacto en cualquier situación, y es el que utiliza el programa Difracción_2D (limitado a problemas en dos dimensiones). Con la fórmula de la aproximación de Fraunhofer. Es decir, igualando el campo observado con la transformada de Fourier del campo en la apertura, en la forma que se indica en la ec.(9). Esta solución solo será suficientemente cercana a la realidad si estamos en las condiciones de campo lejano. Mediante la integral dada por la ec.(12), que corresponde a la aproximación de Fresnel. Es una aproximación valida si las ondas generadas son paraxiales, y la condición de validez se testea con la desigualdad dada en la ec.(11) que no resulta en la práctica una condición tan exigente como la de Fraunhofer.

Problemas a) La luz procedente de un láser infrarrojo, con una longitud de onda  = 1 m, se hace pasar por un orificio (pin-hole) de 50 micras de diámetro. La difracción se observa sobre una pantalla situada a 1,0 m de distancia. Independientemente del tamaño real del spot que se observe en la pantalla ¿cuál sería el tamaño de la mancha de difracción que podemos considerar está en la zona de campo lejano o de Fraunhofer? Respuesta: Tan solo una región de menos de 1 mm.

b) Dos antenas parabólicas, de 50 cm de diámetro, forman un enlace de microondas, y emiten y reciben a una frecuencia de 8,7 GHz. Están separadas entre sí una distancia de 10 km. ¿Están situadas una respecto de la otra en zona de campo lejano? ¿Y si estuvieran separadas 1 km? Respuesta: En ambos casos están en campo lejano, si bien la distancia de 1 km es casi la separación menor que pueden tener para poderlas considerar en campo lejano una respecto a la otra.

c) Un láser emite radiación infrarroja con una longitud de onda de 1.0 m y atraviesa un elemento que provoca cierta difracción en el haz. La radiación 10

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se observa en una pantalla a cierta distancia de aquel elemento. Calcule el tamaño de la parte del spot que podemos considerar en zona de Fresnel para las diferentes distancias: 1.0 cm, 10 cm, 1.0 m y 10 m. Respuesta: Los tamaños son respectivamente: a...