Actividad 1 - El método del factor unitario PDF

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Actividad 1: El método del factor unitario (Análisis Dimensional) Muchos procesos químicos y físicos pueden ser descritos por relaciones numéricas. De hecho, muchas de las ideas más útiles en la ciencia deben ser tratadas matemáticamente. En este apartado, se revisan algunas habilidades de resolución de problemas. Las unidades deben acompañar siempre el valor numérico de una medición, si estamos escribiendo sobre la cantidad, hablando de ella, o sobre su utilización en los cálculos. La multiplicación por la unidad (por uno) no cambia el valor de una expresión. Si representamos "uno" de una manera útil, podemos hacer muchas conversiones con sólo "multiplicar por uno." Este método de realizar los cálculos se conoce como análisis dimensional o el método de factor unitario. Independientemente del nombre elegido, es una poderosa herramienta matemática que es casi infalible. Los factores unitarios pueden ser construidos a partir de cualquiera de los dos términos que describen los mismos o sus "cantidades" equivalentes de todo lo que puede considerar. Por ejemplo, un pie es igual a exactamente 12 pulgadas, por definición. Es posible escribir una ecuación para describir esta igualdad: 1 ft = 12 in Dividiendo ambos lados de la ecuación por 1 ft tenemos 1 𝑓𝑡 12 𝑖𝑛. 12 𝑖𝑛 = 𝑜1= 1 𝑓𝑡 1 𝑓𝑡 1 𝑓𝑡 El factor (la fracción) 12 in / 1 ft es un factor unitario debido a que el numerador y el denominador describen la misma distancia. Dividiendo ambos lados de la ecuación original por 12 in., tenemos que 1 = 1 ft / 12 in., un segundo factor unitario que es el reciproco del primero. El reciproco de cualquier factor unitario es también un factor unitario. Dicho de otra forma, la división de una cantidad por la misma cantidad, siempre da uno! En el sistema ingles se pueden escribir muchos factores unitarios, tales como 1 𝑦𝑑 1 𝑦𝑑 1 𝑚𝑖 4 𝑞𝑡 2000 𝑙𝑏 , , , , 3 𝑓𝑡 36 𝑖𝑛 5280 𝑓𝑡 1 𝑔𝑎𝑙 1 𝑡𝑜𝑛 El reciproco de estos es también un factor unitario. En ciencias, casi todos los números tienen unidades. ¿Qué significa 12? Por lo general se debe suministrar las unidades apropiadas, tales como 12 huevos o 12 personas. En el método del factor unitario, las unidades nos guiaran a través de los cálculos en un proceso paso a paso, porque todas las unidades, excepto las del resultado deseado, deben cancelarse.

Química General I. Otoño 2016. Docente: Christopher González Ponce

Ejemplo 1. Exprese 1,47 millas (mi) en pulgadas (in). Plan En primer lugar, escribir las unidades de lo que deseamos saber, precedido por un signo de interrogación, luego lo ponemos igual a, lo que nos da: ? in = 1,47 mi Luego utilizamos los factores unitarios para convertir las unidades dadas (millas) a las unidades deseadas (in): millas (mi) → pies (ft) → pulgadas (in) Solución ? 𝑖𝑛 = 1,47 𝑚𝑖 𝑥

5280 𝑓𝑡 12 𝑖𝑛 𝑥 = 9,31 𝑥 104 𝑖𝑛. 1 𝑚𝑖 1 𝑓𝑡

Note que millas y pies se cancelan, dejando solo pulgadas (in), la unidad deseada. Por lo tanto, no hay ninguna ambigüedad en cuanto a cómo se deben escribir los factores unitarios. La respuesta tiene tres cifras significativas porque hay tres cifras significativas en 1,47 mi. Ejemplo 2. (Conversión de Unidades) El Ångstrom (Å) es una unidad de longitud, 1x 10-10 m, que proporciona una escala conveniente en que expresar los radios de los átomos. Los radios de los átomos a menudo se expresan en nanómetros. El radio de un átomo de fósforo es de 1,10 Å ¿Cuál es la distancia expresada en centímetros y nanómetros? Plan Usamos las igualdades 1 Å = 1x 10-10 m, 1 cm = 1x 10-2 m, y 1 nm = 1x 10-9 m para construir los factores unitarios que conviertan 1,10 Å en las unidades deseadas. Solución ? 𝑐𝑚 = 1,10 Å 𝑥 ? 𝑛𝑚 = 1,10 Å 𝑥

1 𝑥 10−10 𝑚 1Å

𝑥

1 𝑐𝑚 = 1,10 𝑥 10−8 𝑚 1 𝑥 10−2 𝑚

1 𝑛𝑚 1 𝑥 10−10 𝑚 = 1,10 𝑥 10−1 𝑛𝑚 𝑥 1 𝑥 10−9 𝑚 1Å

Química General I. Otoño 2016. Docente: Christopher González Ponce

Ejemplo 3. (Calculo de volumen) Asumiendo que el átomo de fosforo es esférico, calcule el volumen en Å3, cm3, y nm3. La fórmula para el volumen de una esfera es V = (4/3)πr3. Plan Utilizamos los resultados del ejemplo 2 para calcular el volumen en cada una de las unidades deseadas. Solución ? Å3 = ? 𝑐𝑚3 = ? 𝑛𝑚3 =

4 𝑥 𝜋 𝑥 (1,10 Å)3 = 5,58 Å3 3

4 𝑥 𝜋 𝑥 (1,10 𝑥 10−8 cm)3 = 5,58 𝑥 10−24 𝑐𝑚3 3

4 𝑥 𝜋 𝑥 (1,10 𝑥 10−1 nm)3 = 5,58 𝑥 10−3 𝑛𝑚3 3

Ejemplo 4. (Conversión de masa) Una muestra de oro tiene una masa de 0,234 mg. ¿Cuál es la masa en g? ¿en kg? Plan Usamos la relación 1 g = 1000 mg y 1 kg = 1000 g para escribir los factores unitarios adecuados. Solución ? 𝑔 = 0,234 𝑚𝑔 𝑥

1𝑔 = 2,34 𝑥 10−4 𝑔 1000 𝑚𝑔

? 𝑘𝑔 = 2,34 𝑥 10−4 𝑔 𝑥

1 𝑘𝑔 = 2,34 𝑥 10−7 𝑘𝑔 1000 𝑔

Ejemplo 5. (Conversión de volumen) Un litro es exactamente 1000 cm3. ¿Cuántas pulgadas (in) cubicas hay en 1000 cm3? Plan Multiplicamos por el factor unidad 1in = 2,54 cm para convertir los cm a in. Aquí se requiere el cubo del factor unitario Solución ? 𝑖𝑛3 = 1000 𝑐𝑚3 𝑥 (

1 𝑖𝑛3 1 𝑖𝑛 3 ) = 1000 𝑐𝑚3 𝑥 = 61,0 𝑖𝑛3 2,54 𝑐𝑚 16, 4 𝑐𝑚3

Química General I. Otoño 2016. Docente: Christopher González Ponce

Ejemplo 6. (Conversión de energía) Una unidad común de energía es el erg. Convierta 3.74 x 10-2 erg en la unidad del SI, joule y kilojoule. Un erg es exactamente 1 x 10-7 joule (J). Plan La definición que relaciona erg y joules es utilizada para generar el factor unitario necesario. La segunda conversión utiliza un factor unitario que se basa en la definición del prefijo kilo-. Solución ? 𝐽 = 3,74 𝑥 10−2 𝑒𝑟𝑔 𝑥 ? 𝑘𝐽 = 3,74 𝑥 10−9 𝐽 𝑥

1 𝑥 10−7 𝐽 = 3,74 𝑥10−9 𝐽 1 𝑒𝑟𝑔 1 𝑘𝐽 = 3,74 𝑥10−12 𝑘𝐽 1000 𝐽

Ejemplo 7. (Conversión entre Sistema Ingles y Sistema Métrico) Exprese 1,0 galón en mililitros. Plan Nos preguntamos ¿mL? = 1,0 gal y multiplicamos por los factores apropiados Solución ? 𝑚𝐿 = 1,00 𝑔𝑎𝑙 𝑥

4 𝑞𝑡 1𝐿 1000 𝑚𝐿 𝑥 𝑥 = 3,8 𝑥103 𝑚𝐿 1 𝑔𝑎𝑙 1,06 𝑞𝑡 1𝐿

El hecho de que todas las unidades se cancelan para dar la unidad deseada, mililitros, muestra que hemos usado los factores unitarios correctos.

Química General I. Otoño 2016. Docente: Christopher González Ponce

significado Prefijo Prefijo símbolo Numero

Palabra

Notación exponencial

yotta

Y

1000000000000000000000000

septillón

1024

zetta

Z

1000000000000000000000

sextillón

1021

exa

E

1000000000000000000

quintillón

1018

peta

P

1000000000000000

cuadrillón

1015

tera

T

1000000000000

trillón

1012

giga

G

1000000000

billón

109

mega

M

1000000

millón

106

kilo

K

1000

mil

103

hecto

H

100

centena

102

deca

da

10

decena

101

-

-

1

unidad

100

deci

D

0,1

décimos

10-1

centi

C

0,01

centésimos

10-2

mili

M

0,001

milésimos

10-3

micro

Μ

0,000001

millonésimos

10-6

nano

N

0,000000001

billonésimos

10-9

pico

P

0,000000000001

trillonésimos

10-12

femto

F

atto

A

0,000000000000000001

quintillonésimo

10-18

zepto

Z

0,000000000000000000001

sextillonésimo

10-21

yocto Y 0,000000000000000000000001 septillonésimo Tabla 1. Prefijos decimales comunes usados con las unidades SI

10-24

0,000000000000001 cuadrillonésimos

Química General I. Otoño 2016. Docente: Christopher González Ponce

10-15

Cantidad SI

Equivalentes SI

Equivalentes ingleses

Equivalente inglés a SI

Longitud 1 kilometro (km)

1000 (103) metros

0,6214 milla (mi)

1 milla = 1,609 km

1,094 yardas (yd)

1 yarda = 0,9144 m

2

1 metro (m)

100 (10 ) centímetros

1 centímetro (cm) Volumen 1 metro cúbico (m3) 1 decímetro cúbico (dm3) 1 centímetro cúbico (cm3)

Masa

1000 milímetros (mm) 39,37 pulgadas (in)

1 pie (ft) = 0,3048 m

0,01 (10-2) metros

0,3937 pulgada

1 pulgada = 2,54 cm (exactamente)

1000000 (106) cm3

35,31 pie cúbico (ft3) 1 pie cúbico = 0,02832 m3

1000 cm3

0,2642 galón (gal)

1 galón = 3,785 dm3

1,057 cuartos (qt)

1 cuarto = 0,9464 dm3

0,001 dm3

0,03381 onza líquida 1 cuarto = 946,4 cm3 1 onza líquida = 29,57 cm3

1 kilogramo (kg) 1000 gramos 2,205 libras (lb) 1 gramo (g) 1000 miligramos (mg) 0,03527 onza (oz) Tabla 2. Equivalentes comunes entre el Sistema Inglés y el SI

Cantidad

Nombre de la unidad erg dina poise stokes stilb phot gal1 maxwell gauss

Símbolo de la unidad

Energía Erg Fuerza Dyn Viscosidad dinámica P Viscosidad cinemática St Luminancia Sb Iluminancia Ph Aceleración Gal Flujo magnético Mx Densidad de flujo G magnético Campo magnético œrsted Oe Tabla 3. Unidades que no son SI asociadas con el sistema CGS.

1

1 libra = 0,4536 kg 1 onza = 28,35 g

Valor en unidades SI

1 erg = 10-7 J 1 dyn = 10-5 N 1 P = 1 dyn s cm-2 = 0,1 Pa s 1 St = 1 cm2 s-1 = 10-4 m2 s-1 1 sb = 1 cd cm-2 = 104 cd m-2 1 ph = 1 cd sr cm-2 = 104 lx 1 Gal = 1 cm s-2 = 10-2 m s-2 1 Mx = 1 G cm2 = 10-8 Wb 1 G = 1 Mx cm-2 = 10-4 T 1 Oe = (103/4π) A m-1

El gal es una unidad especial de aceleración empleada en geodésica y geofísica para expresar la aceleración debida a la gravedad.

Química General I. Otoño 2016. Docente: Christopher González Ponce

Ejercicios 1- Escribe el (los) factor(es) unitario(s) para cada uno de los siguientes incisos: (a) in2 a cm2; (b) km2 a m2; (c) mi/h a cm/s; (d) cm/min a in/min; (e) m3 a in3; (f) m/s2 a km/h2. 2- Describa la diferencia entre las propiedades intensivas y extensivas. ¿Cuál de las siguientes propiedades son intensivas?: (a) masa; (b) densidad; (c) volumen; (e) punto de fusión. 3- Explique la diferencia entre masa y peso. ¿Por qué el peso es seis veces menor en la superficie de la Luna que en la Tierra? 4- Explique la diferencia entre calor y temperatura. 5- El radio atómico del cobre es de 128 pm. ¿Cuál es su radio en nanómetros (nm)? 6- El radio atómico del bario es 2,22 x 10-10 m. ¿Cuál es el radio en angstroms (Å)? 7- Una cancha de futbol tiene 100 m de largo. ¿Cuál es la longitud en pies (ft)? 8- El central de su equipo de futbol mide 7 pies y 1 pulgada de alto. ¿Cuán alto es el jugador en centímetros (cm)? 9- Un pequeño agujero en el ala de un transbordador espacial requiere un parche de 32,7 cm2. (a)¿Cuál es el área del parche en kilómetros cuadrados (km2)? (b) Si el material de parche le cuesta a la NASA $2,75/in, ¿cuál es el costo del parche? 10- El área de los lentes de un telescopio es de 5786 mm2. (a)¿Qué área es esta en pies cuadrados (ft2)? (b) Un técnico pule en 45 s, 150 mm2 ¿cuánto tiempo le lleva pulir todos los lentes? 11- En la atmosfera hay 2,60 x 1015 toneladas netas de oxígeno (1 tonelada neta = 2000 lb). ¿Cuántas toneladas métricas de oxígeno hay (1 tonelada métrica = 1000 kg)? 12- La densidad promedio de la Tierra es 5,52 g/cm3. ¿Cuál es la densidad en (a) kg/m3; (b) lb/ft3? 13- La velocidad de la luz en el vacío es 2,998 x 108 m/s ¿Cuál es la velocidad en (a) km/h; (b) mi/min? 14- El volumen de cierta célula bacteriana es de 1,35 μm3 (a) ¿Cuál es el volumen en milímetros cúbicos (mm3)? (b) ¿Cuál es el volumen de 105 células en Litros (L)? 15- (a) ¿Cuántos metros cúbicos de leche hay en 1 qt (946,4 mL)? (b) Cuantos litros de leche hay en 425 galones (gal) (1 gal = 4 qt)?

Química General I. Otoño 2016. Docente: Christopher González Ponce

16- Un vial vacío pesa 42,45 g. (a) Si el vial pesa 185,56 g cuando se llena de mercurio liquido (d = 13,53 g/cm3), ¿cuál es su volumen? (b) ¿Cuánto pesaría el vial si estuviera lleno de agua (d = 0,997 g/cm3 a 25˚°C)? 17- Un matraz Erlenmeyer pesa 141,3 g cuando está vacío. Cuando se llena con agua (d = 1,00 g/cm3), el matraz y su contenido pesan 283,2 g. (a) ¿Cuál es el volumen del matraz? (b) ¿Cuánto más pesa el matraz cuando se llena con cloroformo (d = 1,48 g/cm3)? 18- Un pequeño cubo de aluminio mide 15,6 mm de lado y pesa 4,20 g. ¿Cuál es la densidad del aluminio en g/cm3? 19- Una esfera de acero con una circunferencia de 32,5 mm pesa 4,20 g. ¿Cuál es la densidad del acero en g/cm3 (V de una esfera = 4/3 πr3; circunferencia de un circulo = 2πr)? 20- La distancia entre dos picos adyacentes de una onda se denomina longitud de onda. La longitud de onda de la luz visible determina su color. (a) La longitud de onda de una radiación de luz verde es 513 nanómetros (nm). ¿Cuál es su longitud de onda en metros? (b) La longitud de onda de un rayo de luz roja es de 710 nm. ¿Cuál es su longitud de onda en angstroms Å? 21- Para los alquimistas, el oro era el material que representaba la pureza. Es un metal tan suave que puede martillarse hasta obtener láminas extremadamente delgadas. Si una pieza de oro de 1,10 g (d = 19,32 g/cm3) se malea a una lámina que tiene un área de 40,0 ft2, ¿Cuál es el promedio del grosor de la lamina en centímetros? 22- Un tubo cilíndrico de 13,0 cm de altura y 1,5 cm de diámetro se usa para colectar muestras de sangre. ¿Cuántos decímetros cúbicos (dm3) de sangre puede contener (V de un cilindro = πr2h)? 23- Unidades inglesas y no inglesas aparecen en los artículos de abarrotes. (a) Si la etiqueta de una botella de aceite comestible muestra “48 fl oz (1,412)”, ¿cuántas onzas liquidas hay en 1,00 L? (b) Si el tamaño de la medida del aceite es exactamente de una cucharada, que tiene una masa de 14 g, y la botella contiene 96 medidas, ¿cuál es la densidad del aceite en gramos por mililitro (g/mL)?

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