Álgebra prática 2020 2021 PDF

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Conjunto de exercicios sobre a matéria de Álgebra com soluções no final...

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´ Problemas de Algebra Linear MEAer, MEBiol, MEBiom 1o Semestre 2020/2021 Prof. Paulo Pinto http://www.math.tecnico.ulisboa.pt/∼ppinto/

Conte´ udo ´ lgebra matricial e sistemas de equa¸co ˜es lineares (2 aulas) 1 A ´ de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Algebra 1.2 Matrizes invert´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Sistemas lineares e elimina¸c˜ao de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2 Determinantes (1 aula) 2.1 Opera¸c˜oes elementares e determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 F´ormula de Laplace. Matriz dos cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

3 Espa¸cos lineares (2 aulas) 3.1 Subespa¸cos lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Vectores geradores. Independˆencia linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Bases e dimens˜ao de espa¸cos lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Coordenadas de um vector numa base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1 1 3

5 5

6 7 8 10

4 Diagonaliza¸ca ˜o matricial e a forma Can´ onica de Jordan (2 aulas) 11 4.1 Matrizes (n˜ao) diagonaliz´ aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.2 Forma can´ onica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Produtos internos (2 aulas) 13 5.1 Ortogonaliza¸c˜ao de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5.2 Complementos e projec¸c˜oes ortogonais; equa¸c˜oes cartesianas de planos e rectas . . . . . . . 13 5.3 Diagonaliza¸c˜ao ortogonal/unit´aria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5.4 Formas quadr´ aticas reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 6 Transforma¸ co ˜es lineares (2 aulas) 16 6.1 Representa¸c˜ao matricial de transforma¸c˜oes lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6.2 Transforma¸c˜oes lineares injectivas/sobrejectivas. Equa¸c˜oes lineares . . . . . . . . . . . . . . 17 6.3 Valores e vectores p´oprios de transforma¸c˜oes lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 7 Algumas Aplica¸co ˜es (1 aula) 20 7.1 M´ınimos quadradros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 7.2 Equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 7.3 Decomposi¸ca˜o em valores singulares de uma matriz (SVD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 7.4 Rota¸c˜oes, reflex˜ oes, projecc˜oes, contra¸c˜oes, compress˜oes, deslizamentos . . . . . . . . . . . . 22 8 Solu¸co ˜es

23

1

´ lgebra matricial e sistemas de equa¸co˜es lineares A

1 1.1

(2 aulas)

1

´ lgebra matricial e sistemas de equa¸co A ˜es lineares

(2 aulas)

´ Algebra de matrizes

1.1. Escreva  a matriz A = [aij ]i,j=1,··· ,4 definida por (   1 se i = j, −aji para todo i, j 2 (a) aij = (b) aij = j (c) aij = −1 se j = i + 1, j para j > i.   0 caso contr´ario.

1.2. Verifique se a matriz A = [aij ] ∈ M2×2 (R) definida por aij = 3i + 2j ´e sim´etica. # " # " # " h i −1 2 3 π 1 π √ −1 , B= , C= 1 2 , D= . 1.3. Sejam A = 2 3 3 3 2 −1 3 (a) Calcule, se poss´ıvel, A + B, 2A, CD, AB, AC, DC, CB e AD . (b) Calcule, se poss´ıvel, AT , AT B, DT C T , C T C, CC T e (CC T )T . "

1 1 −1 −1

#

. Calcule A2 . " # cos(θ) −sen(θ ) (b) Para cada real θ, seja Rθ = . Calcule (Rθ )n com n ∈ N. sen(θ) cos(θ)

1.4. (a) Seja A =

1.5. (a) Encontre matrizes A e B do tipo 2 × 2 tais que AB 6= BA. Ser´a que (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 ? (b) Prove que (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 se e s´o se AB = BA. (c) Prove que dadas duas matrizes quadradas A e B tais que AB = B e BA = A ent˜ ao temos A2 = A. 1.6. Seja A ∈ M2×2 (R). Prove que se tr(AAT ) = 0 ent˜ao A = 0. " # " # " # " # " 0 1 3 7 0 1.7. Seja A ∈ M2×2 (R) tal que A = eA = . Calcule A 2 1 4 8 2        1 1 1 1 −1        1.8. Seja A= 1 1 1  e para cada k1 , k2 ∈ R seja x= 1  + k1  1  + k2  0 1 1 1 1

3 4

#

eA

"

# 0 −3 . 4 −4

 −1  0 . Calcule Ax. 1

1.9. Sejam u, v ∈ Mn×1 (R) e a ∈ R tais que uT v = [a]. Para a 6= −1 sejam A = I + uv T e B = I − Calcule AB e BA e verifique que tr(uv T ) = a.

1.2

Matrizes invert´ıveis

   0 0 π 1 1 0     1.10. Sejam A =  2 3 1  e U =  0 1 1 . 1 1 0 0 0 1 a) Verifique que se pode obter U a partir de A usando opera¸c˜oes elementares. b) Justifique que A ´e invert´ıvel e escreva A como produto de matrizes elementares. c) Calcule a inversa de A, usando b).   1 0 0   1.11. Considere a matriz A =  −5 0 1 . 0 −2 0 a) Encontre matrizes elementares E1 , E2 e E3 tais que E3 E2 E1 A = I . b) Escreva A−1 como produto de matrizes elementares. c) Escreva A como produto de matrizes elementares. 

1 1+a

uv T .

1

´ lgebra matricial e sistemas de equa¸co˜es lineares A

1.12. Seja A =

"

1 0 0

(2 aulas)

2

#

. Verifique que existe uma matriz B ∈ M3×2 (R) tal que AB = I, mas que n˜ ao 0 1 0 existe nenhuma matriz C tal que CA = I . " # " #−1 a b d −b 1 1.13. Sejam a, b, c, d n´ umeros reais. Prove que sempre que ad − cb 6= 0. = ad−cb −c a c d " # " # #−1 " cos(θ) − sin(θ ) cos(θ) sin(θ ) cos(θ) − sin(θ ) Verifique que = ´e invert´ıvel e que . sin(θ) cos(θ) − sin(θ) cos(θ) sin(θ) cos(θ)

1.14. (a) Sejam A, B, C matrizes n × n, tais que A e B s˜ao invert´ıveis. Resolva a seguinte equa¸c˜ao matricial em X: AXB = C . " # 0 1 (b) Determine, caso existam, todas as matrizes A do tipo 2 × 2 tais que I − A = −2A. 2 2   1 1 2   (c) Determine, caso existam, todas as matrizes A do tipo 3 × 3 tais que  0 1 −1  A − 2A = 3I . 0 0 2   1 1 2   (d) Determine, caso existam, todas as matrizes A do tipo 3 × 3 tais que  0 1 −1  A − 2A = 3I . 0 0 1 " #  −1 4 3 −1 T −1 = 1.15. a) Determine a matriz A ∈ M2×2 (R) tal que 2I − ((3A ) ) . 7 5 " # 3 4 −1 b) Seja A tal que (7A) = . Calcule A. 2 3 1.16 (Matrizes nilpotentes). Seja A ∈ Mn×n (R) tal que Ak = 0 para algum k ∈ N, k 6= 1. Prove que (I − A)−1 = I + A + A2 + · · · + Ak−1 . 

 10 7 4   1.17. Seja A =  −17 −12 −7  . 4 3 2 (a) Verifique que A3 ´e a matriz nula. Prove que A n˜ao ´e invert´ıvel. (b) Calcule (I + A + A2 )(I − A). 1.18. Quando poss´ıvel, inverta as seguintes matrizes:   " # " # 0 1 1 1 1 1 1   A= , B= , C =  1 0 1 , 1 2 1 1 1 1 0

 3 5 0   D =  −1 −2 −2  , 1 2 1 

1.19. (a) Dadas A, B matrizes do tipo n × n invert´ıveis tais que A + B ´e invert´ıvel, prove que A−1 + B −1 tamb´em ´e invert´ıvel e (A−1 + B −1 )−1 = A(A + B )−1 B. (b) Seja A = [aij ] uma matriz invert´ıvel e B = [bij ] a inversa de A. Mostre que, para cada k 6= 0, a matriz [k i−j aij ] ´e invert´ıvel e a sua inversa ´e [k i−j bij ].

1

´ lgebra matricial e sistemas de equa¸co˜es lineares A

(2 aulas)

1.20. Considere a cifra de Hill cuja matriz de codifica¸c˜ao ´e A =

3

 1 0 −2     0 1 0 .

(a) Determine a matriz de descodifica¸c˜ao. 1 0 −1 (b) Encontre a mensagem inicial se −13, 12, −6, −31, 2, −13, −23, 0, −11, −1, 14, 4, 1, 18, 1 for a mensagem cifrada.

1.3

Sistemas lineares e elimina¸ca ˜o de Gauss

1.21. Quais das em x, y e z ? √ seguintes equa¸c˜oes s˜ao equa¸c˜oes lineares (a) x + π 2 y + 2z = 0, (b) x + y + z = 1, (c) x−1 + y + z = 0,

(d) xy + z = 0.

1.22. Decida quais dos seguintes pontos (0, 0, 0, 0), (1, −1, 0, 0), (1, −1, 0, π), (0, −1, ( 1, 3), (0, −1, 0, 3) pertenx + y + 2z = 0 cem ao conjunto solu¸c˜ao do sistema linear seguinte, nas inc´ognitas (x, y, z, w): −x − 2y − z = 1. 1.23. Determine a intersec¸c˜ao entre as rectas y + x = 1 e y − 2x = 12 . 1.24. A convers˜ao entre graus Celsius, C, e graus Fahrenheit, F , ´e governada pela equa¸c˜ao linear: F = 95 C + 32. Determine a u ´nico valor da temperatura cuja convers˜ao n˜ao altera o seu valor (isto ´e quando F = C). 1.25. Determine valores para x, y, z e w de modo a que a reac¸c˜ao qu´ımica seguinte os elementos qu´ımicos envolventes ocorram em iguais quantidades em cada lado da respectiva equa¸c˜ao (isto ´e, equilibre a equa¸c˜ao qu´ımica): xC3 H8 + yO2 → zCO2 + wH2 O 1.26. Resolva cada um dos sistemas de equa¸c˜oes lineares, utilizando o m´etodo de Elimina¸c˜ao de Gauss (aplicado   `a matriz aumentada): (   x + y + 2z = 8  3x + 2y = 1  x+y+z+w =1 (b) (a) (c) 6x + 4y = 0 −x − 2y + 3z = 1 2x + 2y + 2z + 3w = 1,    9x + 6y = 1,  3x − 7y + 4z = 10,        2x + 8y + 6z = 20  2x + 8y + 6z = 20  y+z =2 (d) (e) (f ) 3y + 3z = 6 4x + 2y − 2z = −2 4x + 2y − 2z = −2     3x − y + z = 11,  −6x + 4y + 10z = 24,  y + x + y = 0.

1.27. Interprete geometricamente cada conjunto solu¸c˜ao obtido no Problema 1.26.   1 2 0 3 5   1.28. Usando opera¸c˜oes elementares, transforme a matriz A =  −1 −2 2 5 7  numa matriz U em 2 4 4 6 10 escada por linhas. Indique car(A) e identifique matrizes elementares E1 , E2 , E3 tais que E3 E2 E1 A = U . 1.29.Para cada parˆametro real α, considere o sistema de equa¸c˜oes lineares cuja matriz aumentada ´e dado 1 4 2 10   por  2 7 2 20 . 1 5 α 10 (a) Discuta em termos de α a existˆencia ou n˜ao de solu¸c˜ao do sistema de equa¸c˜oes lineares anterior. (b) Para α = 4, determine o conjunto solu¸c˜ao do sistema de equa¸c˜oes lineares correspondente. 1.30. Discuta, em fun¸c˜ao do parˆametros α  α 1  (a)  1 α 1 1

e β, a solu¸c˜ao de cada sistema linear cuja matriz aumentada ´e:    1 1 α 0 β 2    1 1  (b)  α α 4 4  0 α 2 β α 1

1

´ lgebra matricial e sistemas de equa¸co˜es lineares A

(2 aulas)

1.31. Considere o sistema Ax = b cuja matriz matriz aumentada ´e

4

 1 2 −α   2 −1 −1

1   β .

(a) Calcule as caracter´ısticas de A e da matriz aumentada [A|b] em fun¸ o dos 1parˆa−1 metros α e β . 9 c˜a−2 (b) Discuta o tipo de solu¸c˜ao do sistema em fun¸c˜ao dos parˆametros α e β . 1.32. Indique a caracter´ Quais de linhas?   das seguintes ıstica de cada   ´e queest˜ao em escada  matrizes.  uma 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1           (a)  1 1 1  (b)  0 1 0  (c)  0 1 0  (d)  0 0 1  (e)  0 0 1  0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1         " # 0 0 0 3 1 −1 3 1 −1 h i 0 0 0         (f)  0 0 0  (g)  0 0 1  (h)  0 0  (i) (j)  0  (k) 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0

1.33. Determine o conjunto solu¸c˜ao de cada sistema homog´eneo Au = 0 associado a cada matriz A do Problema 1.26, indicando o n´ umero de vari´aveis livres. 1.34. Sendo A uma matriz quadrada e b uma matriz coluna n˜ao nula, decida o valor l´ogica de cada uma das seguintes afirma¸c˜oes: (a) Seja x1 solu¸c˜ao do sistema Ax = b e y1 solu¸c˜ao do sistema homog´eneo associado Ay = 0, ent˜ a o x1 − y1 ´e solu¸c˜ao de Ax = b. (b) Se x1 e x2 s˜ao duas solu¸c˜oes de Ax = b, ent˜ ao x1 − x2 ´e solu¸c˜ao de Ax = b. (c) Se x1 e x2 s˜ao duas solu¸c˜oes de Ax = b, ent˜ ao x1 − x2 ´e solu¸c˜ao de Ax = 0. (d) Se A ´e invert´ıvel, ent˜ao x = 0 ´e a u ´nica solu¸c˜ao de Ax = 0. 1.35. Seja A uma matriz tal que (1, 2, 3) e (3, 2, 1) sejam solu¸c˜oes do sistema Ax = [1 1 1]T . Encontre outra solu¸c˜ao do mesmo sistema linear, distinta das anteriores. "# # " # " α

1.36. Sejam Aα = 1 0

−1 α 0

0 1 α

x1

,

x = x2 , x3

1

b = 1 onde α ∈ C ´e um parˆametro complexo. Considere a 1

seguinte lista de afirma¸c˜oes: I) Existe um u ´nico valor de α para o qual car(Aα) 6= 3. II) O sistema homog´eneo Aαx = 0 ´e poss´ıvel para qualquer valor de α. III) O sistema Aαx = b ´e poss´ıvel para qualquer valor de α. IV) O sistema Aαx = b ´e determinado para infinitos valores de α. A lista completa de afirma¸c˜oes correctas ´e A) II e IV B) II e III e IV C) I e II e III e IV D) I e II   1 −α α   1.37. Para cada α ∈ R seja Aα =  2 1 −2 . 0 0 2+α a) Determine a caracter´ıstica de Aα em fun¸c˜ao do parˆametro α e diga quais s˜ao os valores de α para os quais Aα ´e invert´ıvel. b) Determine a inversa de A0 (α = 0). c) Determine a solu¸c˜ao de sistema A0 x = [1 − 1 1]T usando a inversa de A0 . 1.38. Determine um sistema linear de equa¸c˜oes cujo conjunto solu¸c˜ao seja dado por S : (a) S = {(1 + t, 1 − t) : t ∈ R}; (b) S = {(1, 0, 1)}; (c) S = {(t, 2t, 1) : t ∈ R}; (d) S = {(t, s, t + s) : t, s ∈ R}; (e) S = ∅.

2

(1 aula)

Determinantes

2

5

Determinantes

2.1

(1 aula)

Opera¸co ˜es elementares e determinantes 

 a b c   2.1. Seja A =  d e f  tal que det(A) = −5. Calcule g h i (a) det(3A)

(b) det(A−1 ) (c) det(−2A−1 ) (d) det((−2A)−1 ) (e) det(A3 ) 

 a g d   (f) det  b h e . c i f 

 b+c a+c a+b   2.2. Mostre que det  a b c  = 0 para quaisquer a, b, c ∈ R. Ser´a que A ´e invert´ıvel para 1 1 1 algum a, b, c ∈ R? 2.3. Paraque 1  (a) A =  3 k

2.2

valores de k a matriz A ´e invert´ıvel? # " 2 4 k − 2 −2  . 1 6  (b) A = −2 k − 2 3 2

F´ ormula de Laplace. Matriz dos cofactores

2.4. Calcular os determinantes das matrizes    1 −2 3 0 1 π −1  1 0 0 −1    A =  0 2 0 , B =   0 −3 1 4 3 4 5 0 2 −1 0 

  2.5. Seja A =  





     , C =    

0 0 1 −1 −1

5 3 0 0 3

1 2 2 3 2

  5 4 0 2  2 4 1 −1      0 0 , D =  3 4    7 4 2 1  5 2 1 −1

 0 0 −1 1  1 0 3 −3   . Prove que det(A6 − A5 ) = 3. −2 1 −2 2 0 −2 1 0

3 4 4 5 5

2.6. Seja A ∈ Mn×n (R) tal que AAT = I . (a) Prove que det(A) = ±1. (b) Para n = 2, encontre uma matriz A tal que AAT = I e det(A) = −1.   1 −2 3   2.7. Seja A =  6 7 −1 . −3 1 4 (a) Calcule det(A) e justifique que A ´e invert´ıvel. (b) Determina a entrada (1,3) da matriz inversa A−1 .   4 3 2 1 2 3 1 1   2.8. Seja A =   . Justifique que A ´e invert´ıvel e calcule a entrada (4, 2) de A−1 . 2 2 2 1 1 2 3 1   −1 α 0 −1  α −1 −α 0    2.9. Seja Aα =   , com α ∈ R. 0 1 1   0 −1 α 0 −α (a) Calcule det(Aα) e determine os valores de α para os quais Aα ´e invert´ıvel.

2 2 2 3 1

1 1 1 1 1



   .  

3

(2 aulas)

Espa¸cos lineares

6

(b) Para cada n ∈ N, calcule det(An0 + A0n+2), onde A0 ´e a matriz Aα para α = 0. (c) Considerando os valores de α para os quais Aα ´e invert´ıvel, calcule a entrada (3, 1) da matriz A−1 α .  0 0 1      2.10. Seja A =  0 2 2 . Calcule det −2A−1 AT det(A−2 )I . "

a

1 2 3 # b

c

2.11. Seja A = a 1 2 . Sabendo que det(A) = 5, considere a seguinte lista de afirma¸c˜oes:

I) det

"

a 1 a b 4b 8

b

2

#

2 c 16

4

= −20.

II) 2a 6= b. III) det(−3A) = −135. A lista completa de afirma¸c˜oes correctas ´e A) I B) II C) I e II e III D) I e II   3

2

1

1 2 2 2.12. Seja A = 3 4 4 3

1

0

−1 0 . 0 0

Considere a seguinte lista de afirma¸c˜oes:

I) A matriz A ´e n˜ao invert´ıvel.

II) A entrada (1,4) da matriz inversa de A ´e igual a 0. III) A matriz

1 2 3A

´e invert´ıvel.

A lista completa de afirma¸c˜oes correctas ´e A) I B) II e III C) II D) III 2.13. Resolva os seguintes sistemas de equa¸c˜oes lineares usando a regra de Cramer.  (  x − 3y +z =4  7x − 2y = 3 2x − y = −2 (a) (b)  3x + y = 5  4x − 3z = −2

2.14. Seja A, B matrizes n × n invert´ıveis. (a) Prove que adj(adj(A))=|A|n−2 A. (b) Prove que adj(AB) =adj(B)adj(A).

3 3.1

Espa¸cos lineares

(2 aulas)

Subespa¸ cos lineares

3.1. Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos s˜ao espa¸cos lineares (considere as opera¸c˜oes usuais de adi¸c˜ao de vectores e multiplica¸c˜ao por escalares): (a) {(0, 0)}, (b) {(x, y) ∈ R2 : x − 2y = 0}, (c) {(x, y) ∈ R2 : x + y = π}, (d) {(x, y) ∈ R2 : ax + by = k}.

3

Espa¸cos lineares

(2 aulas)

7

(e) {(x, y) : x ∈ N0 , y ∈ R}, (f) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ π}, (g) {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0}, (h) {(x, y) ∈ R2 : xy ≥ 0}. 3.2. Considere o espa¸co linear V = R3 com as opera¸c˜oes usuais. Diga, justificando, quais dos seguintes subconjuntos de R3 s˜ ao subespa¸cos lineares de V : 3 (a) {(x, y, z) ∈ R : z = 1}, (b) {(x, y, z) ∈ R3 : xy = 0}, (c) {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + 2z = 0, x − y = 0}, (d) {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0, −x + y + 3z = 0}. 3.3. Considere o conjunto F = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x + y + z + w = 0, x − z + w = 0, x − w = 0}. (a) Quais os vectores u1 , u2 e u3 pertencem a F , onde u1 = (0, 0, 0, 0), u2 = (1, −4, 2, 1) e u3 = (1, 4, 2, 1), (b) Prove que F ´e um subespa¸co de R4 .  x   0  1

3.4. (a) Seja A uma matriz real n × m. Prove que V = {(x1 , · · · , xm ) ∈ Rm subespa¸co linear de Rm . (b) Use (a) para resolver o Problema 3.3 (b).

 : A

x2 . . . xm

  =

0 . . . 0

 } ´e um

3.5. Sejam A, B ∈ M2×2 (R). (a) Prove que N (B) ⊆ N (AB). (b) Se A fˆor invert´ıvel, ent˜ao prove que N (B) = N (AB). 3.6. Considere V o espa¸co linear das fun¸c˜oes reais de vari´ avel real t. Diga, justificando, quais dos seguintes subconjuntos de V s˜ ao subespa¸cos lineares de V : (a) {f ∈ V : f (t) = f (−t)}, (b) {f ∈ V : f cont´ınua}, (c) {f :∈ V : f diferenci´avel e f ′ (t) = f (t)} onde f ′ designa a derivada de f , (d) {f ∈ V : f ´e 3 vezes diferenci´ avel e f ′′′ (t) − f ′′ (t) + πf ′ (t) = 0, ∀t} (e) {p ∈ V : p polin´omino}, P (f) Pn := {p(t) = ni=0 αi ti : grau(p) ≤ n} onde n ´e fixo, (g) {p ∈ Pn : grau(p) = n}, (h) {p ∈ Pn : p(1) = 0}. 3.7. Considere o espa¸co linear V = Mn×n (R) das matrizes n × n. Diga, justificando, quais dos seguintes subconjuntos de V s˜ ao subespa¸cos lineares de V : (a) {matrizes triagulares superiores}, (b) {X ∈ V : X ´e invert´ıvel}, (c) {X ∈ V : T r(X) = 0}, (d) {X ∈ V : X T = X} onde X T designa a transposta " #da matriz X , 0 1 (e) {X ∈ M2×2 (R) : AX = XA}, onde A = . −1 0

3.2

Vectores geradores. Independˆ encia linear

3.8. Considere em R2 o conjunto de vectores S = {(1, 1), (−1, −1)}. (a) Mostre que o vector (3, 3) ´e combina¸c˜ao linear de vectores de S .

3

Espa¸cos lineares

(2 aulas)

8

(b) Mostre que o vector (0, 1) n˜ ao ´e combina¸c˜ao linear de vectores de S . 3.9. No espa¸co linear R3 considere os vectores v1 = (1, 2, 1), v2 = (1, 0, 2) e v3 = (1, 1, 0). Mostre que os seguintes vectores s˜ao combina¸c˜oes lineares de v1 , v2 e v3 : (a) v = (3, 3, 3) (b) v = (2, 1, 5) (c) v = (−1, 2, 0). 3.10. Determine o valor de k para o qual o vector v = (1, −2, k) ∈ R3 ´e combina¸c˜ao linear dos vectores v1 = (3, 0, −2) e v2 = (2, −1, −5). 3.11. Decida quais dos seguintes conjuntos geram R3 : (a) {(1, 1, 1), (1, 0, 1)}. (b) {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 0, 1)}. (c) {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 0, 1), (2, 1, 3)}. 3.12. Considere, no espa¸co linear P2 dos polin´omios de grau menor ou igual a 2, os vectores p1 (t) = 2 + t + 2t2 , p2 (t) = −2t + t2 , p3 (t) = 2 − 5t + 5t2 e p...