ALK - Metody Ilościowe PDF

Preview

Summary

notatki z zajec...

Description

ALK – Metody Ilościowe (5)

Iwona Nowakowska

RZĄD MACIERZY ]

=[

Rozważmy macierz:

Macierz tę można podzielić na dowolne bloki, zwane podmacierzami. =[

=[

[

[

] [

] [ ] ] []

] [

]

[

]

=[

]

=[

]

[ ] [ ] [ ] ] [ ] [ ] [ ]

[

󰇙

[

󰇙

󰇙]

󰇙

[

󰇙]

]

Każda macierz może być podzielona na podmacierze na wiele różnych sposobów. Przykłady macierzy blokowych: [ [ [

] ] ]

[

[

]

] 1

ALK – Metody Ilościowe (5)

Iwona Nowakowska

Def: =[ ]

Macierz blokową gdzie

󰇙 ],

󰇙

[

postaci

jest macierzą jednostkową stopnia ,

a macierze , , są macierzami zerowymi nazywamy macierzą bazową.

Uwaga:

], [ ]

Szczególnymi przykładami macierzy bazowych są: [ ], [ 󰇙 Twierdzenie:

Każdą macierz = [ ] można za pomocą ciągu przekształceń elementarnych T1, T2, T3 przekształcić w macierz bazową.

Przykład: Znajdziemy postać bazową macierzy: [

]

[

]

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 [

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 ]

[

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍

[

]

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 [ ]

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍

] [

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 ]

]

[

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍

[

]

2

ALK – Metody Ilościowe (5)

Iwona Nowakowska

A zatem macierzą bazową macierzy

Jest to macierz postaci ogólnej: [

󰇙

]

jest macierz: [ 󰇙

]

Def: Rzędem macierzy blokowej

[

postaci

󰇙 ] nazywamy

󰇙

liczbę całkowitą r, równą stopniowi tego jej bloku, który jest macierzą jednostkową, co zapisujemy:

Przykład: Obliczymy rząd macierzy = [

Z definicji rzędu macierzy wynika, że

=[

]

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍

[

]

[

] wymiaru 2 x 3

]

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 [

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍

[

]

] = [

]

Maksymalny blok, który jest macierzą jednostkową w macierzy bazowej [ ] jest wymiaru 2 x 2, tzn. macierz jednostkowa jest stopnia drugiego, stąd

3

ALK – Metody Ilościowe (5)

Iwona Nowakowska

Przykład: ] wymiaru 2 x 2

Obliczymy rząd macierzy = [

Oczywiście =[

]

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍

[

]

Otrzymaliśmy macierz: [ ]

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍

[

]

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 󰇍󰇍󰇍󰇍 [

]

Stąd rząd macierzy jest równy stopniowi macierzy jednostkowej, czyli 2.

Def: Minorem stopnia k macierzy

wymiaru

nazywamy dowolny

podwyznacznik tej macierzy utworzony z wyrazów macierzy przez skreślenie –

wierszy i

–

kolumn.

Twierdzenie: Rząd macierzy jest równy najwyższemu ze stopni tego jej podwyznacznika (minora), który jest różny od zera. Uwaga: Powyższe twierdzenie jest bardzo wygodne i przydatne w użyciu.

Przykład: Obliczymy rząd macierzy = [

] wymiaru 2 x 3

Z twierdzenia o rzędzie macierzy wynika, że

4

ALK – Metody Ilościowe (5)

Iwona Nowakowska

Ponieważjest podwyznacznik stopnia drugiego | macierzy równy stopniowi tego minora. Stąd

|

, zatem rząd

Przykłady: []

1)

7  5   1 , bo  

2)

1 – 2   3 8   2 , bo  

i

[ ] jest minorem stopnia 1.

1 –2  14  0 , a stopień tego 3 8

niezerowego

podwyznacznika jest równy 2.

3)

0 0 0 0 0 5  1 , bo jedynym niezerowym minorem jest   0 0 0

[]

i jest on stopnia 1.

4)

7 3 4 2  0 5 2 1    0 0 8 4 

Rząd tej macierzy maksymalnie będzie wynosił 3, ale tylko wówczas, gdy znajdziemy jego niezerowy minor stopnia trzeciego. Szukamy go, skreślając umownie kolejne kolumny:

3 4 2 5 2 1  0 (ponieważ dwie ostatnie kolumny są proporcjonalne) 0 8 4

7 4 2 0 2 1  0 (analogicznie) 0 8 4

5

ALK – Metody Ilościowe (5)

Iwona Nowakowska

7 3 2 0 5 1  140  0 0 0 4

Ponieważ znaleźliśmy niezerowy minor stopnia 3, więc:

 7 3 4 2  0 5 2 1   =3  0 0 8 4

Twierdzenie: Rząd macierzy nie zmieni się, jeżeli skreślimy w tej macierzy (usuniemy z macierzy) wszystkie zerowe wiersze i kolumny.

Przykład: Znajdziemy rząd macierzy:

]

=[

Ponieważ wymiar macierzy wynosi 3 x 5, to wiadomo z góry, że:

.

Ponieważ w tej macierzy mamy jeden wiersz zerowy i dwie kolumny zerowe, zatem możemy je usunąć do policzenia rzędu. =[

]

Liczymy teraz rząd macierzy: [

wiersza oraz II-giej i IV-tej kolumny

]

Maksymalny jej minor jest stopnia drugiego. Liczymy zatem np. |

|

powstała ona po usunięciu II-go

⇒

zatem

6

ALK – Metody Ilościowe (5)

Twierdzenie:

Iwona Nowakowska

Własności rzędu macierzy:

1) Rząd macierzy jednostkowej stopniowi, tzn.:

– tego stopnia

jest zawsze równy jej

2) Rząd macierzy jest równy zeru wtedy i tylko wtedy gdy macierz jest macierzą zerową, tzn.:

3) Rząd macierzy jest zawsze równy rzędowi macierzy względem niej transponowanej , tzn.:

4) Jeżeli macierz jest macierzą powstałą z macierzy poprzez jej przekształcenia elementarne T1, T2, T3, to rząd macierzy jest taki sam jak rząd macierzy , tzn.:

Innymi słowy, przekształcenia elementarne T1, T2, T3 nie zmieniają rzędu macierzy ! 5) Jeżeli macierz jest macierzą diagonalną , to jej rząd jest równy liczbie niezerowych elementów na jej głównej przekątnej 6) Jeżeli macierz jest macierzą trójkątną górną lub trójkątną dolną , to jej rząd jest równy liczbie niezerowych elementów na jej głównej przekątnej 7) Jeżeli macierz jest macierzą nieosobliwą ( ) stopnia , to jej rząd jest równy jej stopniowi, tzn.: 8) Jeżeli macierz jest macierzą osobliwą ( jest mniejszy od jej stopnia, tzn.:

) stopnia , to jej rząd

9) Jeżeli dane są macierze i tego samego stopnia, to wówczas:

7

ALK – Metody Ilościowe (5)

Iwona Nowakowska

Przykłady:

1 2 3  0 1 0   1 0 1 

(ponieważ

1 0 1 2 1 0   3 0 1

1 0 0 1  0 0  0 0 macierzy jednostkowej [

0 0 0 0  1 0 wynosi 4 , ponieważ jest równy stopniowi  0 1 ]

w wynosi 0 , ponieważ jest to macierz

zerowa i każdy jej minor (podwyznacznik) ma wartość zero

5  2  3 0 1 0 (ponieważ jest to macierz trójkątna górna    0 0  2 i ma trzy niezerowe elementy na głównej przekątnej 7 0 0 0 0 0 (ponieważ jest to macierz diagonalna i ma    0 0 7  tylko dwa niezerowe elementy na głównej przekątnej 12 0 0   0 0 0 (ponieważ jest to macierz trójkątna dolna i    8  1 0  ma tylko jeden niezerowy element na głównej przekątnej)

8

ALK – Metody Ilościowe (5)

Iwona Nowakowska

Ćwiczenie: Obliczyć rzędy następujących macierzy: [ ] [

]

[

] ]

[

[

[

]

]

[

]

[

] ]

[

Rozwiązanie: [

]

bo | |

⇒

rząd równy stopniowi minora 1x1 9

ALK – Metody Ilościowe (5)

Iwona Nowakowska

]

[

Liczymy wyznacznik |

|

Liczymy minor stopnia I-szego | | 1x1

⇒

⇒

rząd równy stopniowi minora

Zatem ]

[

Sprawdzamy wartość wyznacznika stopnia trzeciego: |

|

|

|

[

⇒

]

⇒

liczba niezerowych elementów

na głównej przekątnej w macierzy trójkątnej górnej ⇒

liczba niezerowych elementów

[ ] na głównej przekątnej w macierzy trójkątnej górnej [

]

różny od zera | | [

|

|

⇒

maksymalny podwyznacznik stopnia I-szego jest

] ⇒

w macierzy są identyczne wiersze i kolumny 10

ALK – Metody Ilościowe (5)

Iwona Nowakowska

Liczymy minor stopnia drugiego: |

|

⇒

[

rząd równy stopniowi minora 2x2

]

Kolumnę zerową możemy pominąć; mamy zatem: [

]

Kolumny I-sza i III-cia są proporcjonalne, zatem: |

|

⇒ [

rząd równy stopniowi minora 2x2

]

Przekształcimy macierz za pomocą operacji elementarnych, tak aby otrzymać jak najwięcej zer w danym wierszu lub kolumnie.

[

]

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 [

] 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 [

]

Liczymy wyznacznik stopnia 4x4 metodą rozwinięcia Laplace’a 11

ALK – Metody Ilościowe (5)

|

| III-ci wiersz

Iwona Nowakowska

|

|

Liczymy minor stopnia trzeciego metodą Sarrusa: |

|

Ćwiczenie: Rozwiązać nierówność:

|

|

oraz następnie obliczyć wszystkie charakterystyki liczbowe dla macierzy znajdującej się po lewej stronie powyższej nierówności dla dowolnego parametru ze znalezionego zbioru rozwiązań.

Rozwiązanie: Obliczamy wartość wyznacznika (stosujemy metodę Sarrusa) |

|

Rozwiązujemy teraz nierówność: Dla

równania

kwadratowego

wartości

dodatnie

odczytujemy z wykresu. 12

ALK – Metody Ilościowe (5)

Iwona Nowakowska

√

√

√

√

-6

-4

Stąd: Niech parametr Mamy macierz: [

Ślad:

Wyznacznik: |

|

[

]

[ 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍

|

]

] [

] |

|

|

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍⁄󰇍󰇍 | ⁄

|⁄

13

ALK – Metody Ilościowe (5)

Liczymy wyznacznik |

|

⁄

|

⁄

II-ga kolumna

Rząd

Iwona Nowakowska

⁄

⁄

| za pomocą rozwinięcia Laplace’a: |

⁄

⁄ | (

ponieważ macierz jest nieosobliwa (

)

).

14...