Am3 krzywoliniowa 1 PDF

Preview

Summary

Download Am3 krzywoliniowa 1 PDF

Description

Analiza matematyczna III

WFMiI - Matematyka Calka krzywoliniowa niezorientowana

Zadanie 1 Obliczy´c nastepuj ace calki krzywoliniowe: ֒ ֒ Z √ a) y dl, gdzie γ jest cze´ ֒ sci a֒ paraboli y = 2 x dla x ∈ [0, 1]; γ

b)

Z

(x − y) dl, gdzie γ jest okr egiem x2 + y2 = 2ax, a > 0; ֒

Z

xy dl, gdzie γ jest lukiem okr ֒egu x2 + y2 − 2y = 0 polo˙zonym w pierwszej ´cwiartce ukladu wsp´olrzednych; ֒

γ

c)

γ

d)

Z

xy dl, gdzie γ jest lukiem elipsy

Z

z2 dl, gdzie krzywa γ jest jednym zwojem linii ´srubowej x(t) = r cos t, y(t) = r sin t, z(t) = rt dla r > 0. x2 + y 2

x2 a2

γ

e)

γ

Zadanie 2 Obliczy´c calk e֒ x2 + y 2 =

R2 4

Z

γ

+

y2 b2

= 1 polo˙zonym w pierwszej ´cwiartce ukladu wsp´olrzednych; ֒

sfery x2 + y2 + z 2 = R2 z walcem xyz dl, gdzie γ jest ´cwiartka֒ okregu powstalego z przeciecia ֒ ֒

a w pierwszej ´osemce ukladu wsp´olrzednych. le˙zac ֒ ֒ ֒

  Zadanie 3 Obliczy´c dlugo´s´c luku krzywej γ(t) = 2 cos t, 2 sin t, t , gdzie 0 ≤ t ≤ 2π .   Zadanie 4 Obliczy´c dlugo´s´c luku krzywej γ(t) = e−t cos t, e−t sin t, e−t , gdzie 0 ≤ t < ∞.  1 2 s´c liniowa krzywej w kazdym ˙ punkcie Zadanie 5 Obliczy´c mase֒ cz e´ zeli gesto´ ֒ sci krzywej y = ln(1 − x ) dla x ∈ 0, 2 , je˙ ֒ r´owna jest σ(x, y) = 1 + x. sci masy σ(x, y) = x2 + y2 . Zadanie 6 Obliczy´c mase֒ odcinka AB , gdzie A = (0, 1) i B = (3, 0), o liniowej gesto´ ֒ Zadanie 7 Obliczy´c mas e֒ luku cykloidy x(t) = a(t − sin t), y(t) = a(1 − cos t), t ∈ (0, 2π), a > 0, je´sli gesto´ s´c liniowa ֒ krzywej w kazdym ˙ punkcie r´owna jest rzednej tego punktu. ֒   zeli gesto´ Zadanie 8 Obliczy´c mase֒ cze´ s´c liniowa ֒ ֒ sci krzywej γ(t) = a(cos t + t sin t), a(sin t − t cos t) dla t ∈ [0, π], a > 0, je˙ krzywej w kazdym ˙ punkcie jest r´owna kwadratowi promienia wodzacego. ֒

sci krzywej Zadanie 9 Obliczy´c mase֒ cz e´ ֒ punkcie r´owna jest σ(x, y) =

y . ex

    x(t) =

Rt z 2 1+z 2 dz 0

Rt 1−z2    y(t) = dz 1+z 2

dla t ∈ [0, 1], je˙zeli gesto´ s´c liniowa krzywej w kazdym ˙ ֒

0

2

2

y x w pierwszej ´cwiartce, je˙zeli gesto´ s´c liniowa krzywej Zadanie 10 Obliczy´c mas e֒ cze´ zacej ֒ ֒ sci elipsy a2 + b2 = 1, 0 < b < a le˙ ֒ w kazdym ˙ punkcie jest r´owna rz ednej tego punktu. ֒

Zadanie 11 Obliczy´c mas e֒ luku krzywej x(t) = aet cos t, y(t) = aet sin t, z(t) = aet od punktu O = (0, 0, 0) do punktu A = (a, 0, a), a > 0, je´sli g esto´ s´c krzywej wyraza ˙ sie֒ wzorem σ(t) = 2 et . ֒ ⌢   √ s´c liniowa w punkcie M Zadanie 12 Obliczy´c mase֒ luku OA, gdzie O = (0, 0) i A = 4, 16 zeli gesto´ ֒ 3 , krzywej 3y = 2x x, je˙ ⌢

luku jest wprost proporcjonalna do dlugo´sci luku OM .

plaszczyzny Oxz jednorodnego luku krzywej γ(t) = [et cos t, et sin t, et ] Zadanie 13 Obliczy´c moment statyczny wzgledem ֒ dla t ∈ [0, 2π ]. Zadanie 14 Obliczy´c wsp´olrzedne ´srodka ci e˙ sci jednorodnego luku linii la´ncuchowej y = a cosh xa , gdzie −a ≤ x ≤ a dla ֒ ֒ zko´ pewnego a > 0. Zadanie 15 Wyznaczy´c polo˙zenie ´srodka cie˙ sci tej cze´ x2 + y2 = 4, kt´ora jest polo˙zona powy˙zej ֒ zko´ ֒ sci jednorodnego okr egu ֒ prostej y = x....