Am3 powierzchniowa 1 PDF

Preview

Summary

Download Am3 powierzchniowa 1 PDF

Description

Analiza matematyczna III

WFMiI - Matematyka Calka powierzchniowa niezorientowana

Zadanie 1 Obliczy´c calke֒

s

z dS, gdzie S jest

S 2 2 2 2 a) g´orna֒ cze´ ֒ sci a֒ sfery x + y + z = R , R > 0;

b) cze´ zka ֒sci a֒ powierzchni sto˙

y2 a2

+

z2 a2

−

x2 b2

= 0 dla x ∈ [a, b], b > a > 0;

c) cze´ ownaniami parametrycznymi x(u, v) = u cos v, y(u, v) = u sin v, z(u, v) = v ֒ sci a֒ plata powierzchniowego danego r´ dla u ∈ [0, a], v ∈ [0, 2π ]. Zadanie 2 Obliczy´c

 s 2 2 2 x + y2 + z 2 dS, gdzie S jest cze´ a zac ֒ sci a֒ powierzchni bocznej walca x + y ≤ 1 dla 0 ≤ z ≤ 2 i le˙ ֒ ֒

w I oktancie. Zadanie 3 Obliczy´c

S

s

2 2 x(y + z) dS, gdzie S jest cz e´ ֒ scia֒ powierzchni bocznej walca x + y ≤ 1 dla 0 ≤ z ≤ 2.

S

Zadanie 4 Obliczy´c

s

xz dS, gdzie S jest cze´ ownaniami x(u, v) = v cos u, ֒sci a֒ plata powierzchniowego danego r´

S

y(u, v) = v sin u, z(u, v) = v dla u ∈ [0, π], v ∈ [3, 4]. Zadanie 5 Obliczy´c

s

z dS, gdzie S jest cze´ ol osi Oz okr ֒egu ֒ scia֒ powierzchni torusa powsta lego w wyniku obrotu wok´

S

a w I oktancie na zewnatrz (x − 3)2 + z 2 = 4 i le˙zac walca x2 + y2 = 16. ֒ ֒ ֒ Zadanie 6 Obliczy´c pole cze´ zka z 2 = x2 + y2 wycietej walcem parabolicznym z 2 = 2py, p > 0. ֒ sci powierzchni sto˙ ֒ Zadanie 7 Obliczy´c pole cze´ zacego w I oktancie miedzy powierzchniami x2 +y2 = a2 ֒ sci plata powierzchniowego az = x·y le˙ ֒ ֒ i x2 + y2 = b2 , 0 < a < b. etej powierzchniami x2 + y2 = x, x = y i y = 0. Zadanie 8 Obliczy´c pole cze´ ֒ sci plaszczyzny x + y + z = 2 wyci ֒ 2 2 2 Zadanie 9 Obliczy´c pole cze´ plaszczyznami z = 3 i z = 4. ֒ sci sfery x + y + z = 25 zawartej miedzy ֒

Zadanie 10 Obliczy´c pole cze´ ownaniami parametrycznymi x(u, v) = (10+3 cos v) cos u, ֒ sci plata powierzchniowego opisanego r´ y(u, v) = (10 + 3 cos v) sin u, z(u, v) = 3 sin v dla u ∈ [0, π], v ∈ [π, 2π] Zadanie 11 Obliczy´c pole cze´ poludnikami 60◦ i 80◦ W oraz r´ ownole˙znikami 45◦ ֒ sci powierzchni Ziemi zawartej miedzy ֒ ◦ i 60 N. W zadaniu przyj a´ ˙ Ziemia jest kula֒ o promieniu R = 6370 km. ֒ c, ze Zadanie 12 Obliczy´c mase֒ sfery o r´ownaniu x2 + y2 + z 2 = 4, je´sli powierzchniowa gesto´ s´c masy w kazdym ˙ jej punkcie ֒ jest wprost proporcjonalna do kwadratu pierwszej wsp´ olrz ednej tego punktu. ֒   Zadanie 13 Wyznaczy´c mase֒ plata powierzchniowego S = (x, y, z) ∈ R3 : x = y2 + z 2 − 3, −2 ≤ x ≤ 1 , je˙zeli gesto´ s´c ֒ w kazdym ˙ jego punkcie jest odwrotnie proporcjonalna do odleglo´sci tego punktu od osi Ox.   Zadanie 14 Wyznaczy´c mase֒ plata powierzchniowego S = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z 2 = 4x, x ≥ 2 , je˙zeli gesto´ s´c masy ֒ w kazdym ˙ jego punkcie jest wprost proporcjonalna do odleglo´sci tego punktu od plaszczyzny Oyz . p Zadanie 15 Obliczy´c mas e֒ cze´ plaszczyznami x = 0 i x = 2, je˙zeli 9 − y2 odcietego ֒ sci plata powierzchniowego z = ֒ powierzchniowa gesto´ s´c masy w kazdym ˙ jej punkcie dana jest wzorem ρ(x, y, z) = z(x + y). ֒ Zadanie 16 Obliczy´c mas e֒ cze´ walcem x2 + y2 = 4 z powierzchni danej r´ ownaniem ֒ sci plata powierzchniowego wycietego ֒ z = xy, je˙zeli gesto´ s´c w kazdym ˙ punkcie tej powierzchni jest r´ owna odleglo´sci tego punktu od osi Oz . ֒ Zadanie 17 Obliczy´c mase, sci wzgledem osi Oz g´ ornej p´olsfery ֒ moment statyczny Mxy oraz moment bezwladno´ ֒ s´c masy w kazdym ˙ punkcie r´owna jest kwadratowi odleglo´sci tego punktu x2 + y2 + z 2 = R2 , je˙zeli powierzchniowa gesto´ ֒ od wertykalnej ´srednicy sfery....