An A19Uebung 7 PDF

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¨ Nummer 7 Analysis 2019 - Ubung 1. Implizites Differenzieren I (a) Finde sie die Steigung der H¨ohenlinie am angegebenen Punkt i. ii. iii. iv. v. vi. vii.

f (x, y) = x2 + y2 = 5 an (2, 1) f (x, y) = x2 − y2 = 0 an (2, 2) f (x, y) = x2 y2 = 175 an (3, 5) f (x, y) = x3 + x2 y = 20 an (2, 3) 2 f (x, y) = exy − 2x − 4y = −3 an (0, 1) f (x, y) = Ax1/2 y1/2 = 5A an (5, 5) f (x, y) = Axαy1−α = f (a, b) an (a, b) und (ta, tb), wobei t eine positive Konstante ist.

2. Implizites Differenzieren II (a) Bestimmen sie die gesuchten partiellen Ableitungen der folgenden Funktionen i. ii. iii.

∂z ∂x ∂y ∂x ∂z ∂x

und

∂y ∂x 3

f¨ ur f (x, y, z) = x − 2y − 3z + z 2 = 0 an (0, 0, 0)

f¨ ur 3x − 4x = 5x + y2 + 2 an (2, 2) f¨ ur z 1+c ln z = Axαyβ

(b) Gegeben ist die Funktion f (x, y) = xey−3 + xy2 − 2y. Zeigen sie, dass der Punkt (1, 3) auf der H¨ohenlinie f (x, y) = 4 liegt und finden sie die Gleichung f¨ur die Tangente der H¨ohenlinie am Punkt (1, 3). 3. Homogenit¨at: Bestimmen sie, ob die folgenden Funktionen homogen sind und bestimmen sie gegebenenfalls auch den Grad der Homogenit¨at (a) f (x, y) = 3x + 3y (b) f (x, y) = 3x2 + xy (c) f (x, y, z) =

√ √ √ x+ y + z x+y+z 1

1

(d) f (x, y) = Ax 4 y 2 1

3

3

(e) f (x, y) = 30x 2 y 2 − 2 xy

(f) Nehmen sie an f (x) sei homogen vom Grad k. Ist h(x) = [f (x)]p ebenfalls homogen? Wenn ja von welchem Grad.

1...