Analisis combinatorio, Segundo departamental, Desarrollo de los temas del segundo parcial. PDF

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Resumen de Analisis combinatorio, Segundo departamental, Desarrollo de los temas del segundo parcial. Profe Hever, Pueden variar varios conceptos que den en la clase...

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Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas Departamento de Matematicas Aplicadas Probabilidad y Estadistica

Pérez Nieto Juan Oswaldo “Analisis combinatorio”

Profa. Ing. Daniela Zuñiga Cabrera Periodo 2021/2 (Febrero-Junio) ¿Qué es el analisis combinatorio?

El análisis combinatorio estudia las distintas formas de agrupar y ordenar los elementos de un conjunto, sin tener en cuenta la naturaleza de estos elementos. Los problemas de arreglos y combinaciones pueden parecer aburridos y quizá se piense que no tienen utilidad pero los teoremas del análisis combinatorio son la base del cálculo de la probabilidad. La probabilidad se encarga de los arreglos y las combinaciones que determinan el número de formas diferentes en que un acontecimiento puede suceder. El análisis combinatorio tiene aplicaciones en el diseño y funcionamiento de la tecnología computacional así como también en las ciencias. La teoría combinatoria se aplica en las áreas en donde tengan relevancia las distintas formas de agrupar elementos. La combinatoria es una rama de la matemática perteneciente al área de matemáticas discretas que estudia la enumeración, construcción y existencia de propiedades de configuraciones que satisfacen ciertas condiciones establecidas. Además, estudia las ordenaciones o agrupaciones de un determinado número de elementos.

Notación factorial La función factorial se representa con un signo de exclamación “!” detrás de un número. Esta exclamación quiere decir que hay que multiplicar todos los números enteros positivos que hay entre ese número y el 1. El factorial de un entero positivo n, el factorial de n o n factorial se define en principio como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 (es decir, los números naturales) hasta n. Por ejemplo: 7 != ( 7 ) (6 ) ( 5 )( 4 )( 3 ) (2 ) (1 )=5040

La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en combinatoria y análisis matemático. De manera fundamental el factorial de n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos (elementos sin repetición). Lo cual se vera en el siguiente trabajo.

Permutaciones

En matemáticas, una permutación es la variación del orden o posición de los elementos de un conjunto ordenado o una tupla. La definición intuitiva de permutación, como un ordenamiento de los elementos de un conjunto se formaliza con el uso del lenguaje de funciones matemáticas. Una permutación de un conjunto X es una función biyectiva de dicho conjunto en sí mismo. La combinatoria trata del número de diferentes maneras que existen de considerar conjuntos formados a partir de elementos de un conjunto dado, respetando ciertas reglas, como el tamaño, el orden, la repetición, la partición. Así un problema combinatorio consiste usualmente en establecer una regla sobre cómo deben ser las agrupaciones y determinar cuántas existen que cumplan dicha regla. Básicamente, tres asuntos: permutaciones, combinaciones y variaciones. Un tipo importante de esas agrupaciones son las llamadas permutaciones. Dada una n-tupla ordenada de los elementos de un conjunto, el número de permutaciones es el número de n-tuplas ordenadas posibles. n! ( n−r ) !

Con repetición Las permutaciones con repetición de “n” elementos en las que el primer elemento se repite “n1” veces, el segundo “n2” veces, ... y el último se repite “nr” veces, son los distintos grupos de “n” elementos que se pueden hacer de forma que en cada grupo, cada elemento aparezca el número de veces indicado. Además, dos grupos se diferencian únicamente en el orden de la colocación. Se representa por (Pn(n1,…,nr)) Para saber cuántas permutaciones con repetición de “n” elementos, en las que el primer elemento se repite “n1” veces, el

segundo “n2” veces, ... y el último se repite nrveces, viene dado por la siguiente fórmula:

Combinaciones Los coeficientes binomiales, números combinatorios o combinaciones son números estudiados en combinatoria que corresponden al número de formas en que se puede extraer subconjuntos a partir de un conjunto dado. Sin embargo, dependiendo del enfoque que tenga la exposición, se pueden usar otras definiciones equivalentes. Se tiene un conjunto con seis objetos diferentes {A, B, C, D, E, F}, de los cuales se desea escoger dos (sin importar el orden de elección). Existen 15 formas de efectuar tal elección: (AB )

(AC)

(AD) (AE ) (BC) (BD) (BE ) (CD) (CE ) (DE )

(AF ) (BF ) (CF ) (DF ) (EF)

El número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto de n, puede denotarse de varias formas. Así, en el ejemplo anterior se tiene entonces que C(6,2)=15, puesto que hay 15 formas de escoger 2 objetos a partir de un conjunto con seis elementos. El coeficiente binomial (n k) es el número de subconjuntos de k elementos escogidos de un conjunto con n elementos.

Bibliografia Benavides, D., Carrillo, A. C., Ortiz, M., Parra, S., Velasco, C., & Gómez, P. (2016). Permutaciones sin repetición. Diseño, implementación y evaluación de unidades didácticas de matemáticas en MAD 2, 265. Caballero, W. (1975). Introducción a la estadística (No. 28). Bib. Orton Iica/Catie. Díaz, W. J. Z. (2012). Notación factorial y uso de la calculadora en la solución de tareas con estructura multiplicativa. Revista Científica de FAREM-Estelí., 1(3) Canavos, G., Meyer, P., Spiegel, M., & Mendenhall, S. (1988). Probabilidad y estadística. LICENCIATURA EN INGENIERÍA EN INFORMÁTICA, 28....