Analisis de señales y sistemas - Resumen de Señales PDF

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2 Análisis de señales y sistemas Señales determinísticas: son aquellas señales que pueden ser modeladas mediante expresiones matemáticas explícitas. Señales aleatorias: son aquellas señales en las cuales no es posible conocer o predecir con exactitud (mediante alguna ley matemática) su evolución en ...

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2 Análisis de señales y sistemas •

Señales determinísticas: son aquellas señales que pueden ser modeladas mediante expresiones matemáticas explícitas.

•

Señales aleatorias: son aquellas señales en las cuales no es posible conocer o predecir con exactitud (mediante alguna ley matemática) su evolución en el tiempo (ej. un programa de radio).

2.1 Señales determinísticas 2.1.1 Señal periódica Una señal es periódica si se cumple X t =X t T  .El más pequeño de los valores de T que cumple con la condición anterior es llamado período de la señal.

2.1.2 Señal aperiódica Es aquella señal donde no puede encontrarse un T que satisfaga la condición anterior.

2.1.3 Señales de Energía y Potencia Sea X t  una señal que represente el voltaje a través de una resistencia de 1 ohm: Los valores instantáneos de potencia estarán dados por ∣X t ∣2 . La energía disipada en un intervalo de tiempo [−T /2 ; T / 2 ] es: T /2

E x =∫−T /2 ∣x t ∣2 dt T

y la potencia media disipada por esta señal, valuada en este intervalo es: T

Sx=

1 T /2 2 ∣x t ∣ dt ∫ −T /2 T

Definimos como señal de energía ⇔ E x existe y es finito, donde: T /2

2 ∣x t ∣ dt ∫ −T /2 T ∞

E x =lim

Definimos como señal de potencia ⇔S x existe y es finito, donde: 1 T ∞ T

S x =lim

T /2

∫−T /2 ∣x t ∣2 dt

2.1.4 Señal impulsiva Existen ciertas señales que si bien no existen en el campo físico son verdaderas herramientas matemáticas que sirven para explicar determinados fenómenos límites y como elementos de unión entre distintos modelos matemáticos provenientes de distintos tipos de señales (ej. entre el modelo para señales periódicas, es decir las Series de Fourier, y el modelo para señales aperiódicas, es decir la Transformada de Fourier). Una función de este tipo que suele ser usada con frecuencia es la señal impulsiva o Delta de Dirac  t  . Una definición para la señal impulsiva es la siguiente: sea X t  una función continua en t 0 , se cumple que: b

∫a X t t −t 0 dt =

{

X t 0  si a t 0 b 0 en otro caso

}

2.1.4.1 Propiedades de la delta de Dirac ∞

1.

∫−∞ t  dt =1

2.

 t =0

3.

t =

1 t ; ∣a∣

4.

t =

d [U t ] dt

para t ≠0,

 t no está definido en t =0

a ≠0

{

donde U t = 1 para t 0 0 para t 0

}

2.1.5 Sistema Definición matemática de sistema: un sistema es una relación funcional entre la entrada salida Y t  .

X t  y la

2.2 Serie exponencial de Fourier 2.2.1 Introducción Es posible (para la mayoría de las funciones periódicas que describan algún fenómeno físico) encontrar para una determinada función periódica una representación mediante una superposición de senoides cuyas frecuencias son múltiplos enteros de la frecuencia de dicha función. Esta representación se conoce como el desarrollo en Series de Fourier. Sea X t  una función periódica, entonces X T = X t T  donde T es el período de la 1 función. Definimos f = como la frecuencia de dicha función periódica. Entonces X t  puede T ser evaluada como: ∞

X t =∑−∞ C x nf 0 e

j 2 f o n t

Donde los coeficientes C x nf 0  son numero complejos y están dados por: C x nf 0 =

1 T /2 −j 2 n f t X t  e dt ∫ −T /2 T 0

Si X t  es continua, la serie generada por X t  es continua y finita.

2.2.2 Propiedades de la Serie de Fourier Algunas de las propiedades más importantes son: 1. Si X t  es real:

C X nf 0 =C x −nf 0  .

2. Si X t  es real y posee simetría par, es decir

Si X t  es real ℜ{C x nf 0 = 0 } .

y

posee

simetría

X t = X −t  entonces: ℑ{C x nf 0 =0 } .

impar,

es

decir X t =− X −t  entonces:

3. Si X t  es real, su representación puede ser hecha a través de la Serie Trigonométrica de

Fourier como sigue: X t =A 0 ∑n∞=1 C n cos n t  n  ;

donde

{

c n =A 2n B n2

fi n =n =atan

}

  Bn

An

En esta representación se pone de manifiesto la construcción de la señal a partir de la superposición de senoides de frecuencia múltiplos de la fundamental.

2.2.3 Contenido de potencia de una función periódica Se define el contenido de potencia de una función periódica X t  como su valor cuadrático medio evaluado en un período: S x=

1 T

T /2

∫−T / 2 ∣X t ∣2 dt

Recordemos que si trabajamos en un sistema normalizado en impedancias, el contenido de potencia coincide con la potencia media disipada por la señal. La S x es el valor eficaz de la señal X t  . Nos proponemos calcular S x a partir de los coeficientes de su Serie de Fourier asociada. Para esto usaremos el siguiente artificio: supongamos tener dos funciones periódicas X 1 t  y X 2 t  con sus correspondientes series asociadas ∞

j2 n f 0 t

∞

j2 n f 0 t

X 1 t =∑ n =−∞ C 1 nf 0 e X 2 t =∑ n =−∞ C 2 nf 0  e

.

Definimos el producto de potencia de X 1 t  y X 2 t  como: S 12 =

1 T

T /2

∫−T / 2 X 1 t  X 2 t  dt

entonces: J=

1 T

∞

∞

T /2

∑n =−∞ ∑m =−∞ C 1 n f 0 C 2 n f 0 ∫−T / 2 e j n m  2  f

0

t

dt *

la integral, de fácil resolución vale: T /2

∫−T /2 e

j  n m  2 f 0 t

∣

j  n m  2  f 0 t

e dt = j n m  2 f

sen n m   0 = n m /T T

{

si n ≠−m si n =−m

T /2

∣

=e

j n m  

0 −T / 2

} pues

lim x 0

−

e − j  n m   j n m 2  f

0

sen x  =1 donde x =n m  x

Esta propiedad se enuncia diciendo que las funciones e jn  t forman una familia ortogonal. Sustituyendo en (*) tenemos: ∞

J =1 ∑n =−∞ C 1 n f 0 C 2 −n f 0 

Para calcular S x basta tomar X 1 t = X 2  t = X  t  , por lo tanto: ∞

S x =1 ∑n =−∞ C x n f 0  C x −n f 0 

y como C x nf 0 =C x −nf 0 

entonces ∞

S x =1 ∑n =−∞ ∣C x n f 0 ∣2

A esta ecuación se la conoce como Teorema de Parceval y es una muy importante propiedad que expresa que el valor cuadrático medio de una función (o señal) periódica (y si el sistema está

normalizado en impedancias podemos hablar de su potencia media) puede calcularse como la suma de los valores cuadráticos medios (o potencias medias) de sus armónicos. Esta propiedad nos permite definir la densidad espectral de potencia G x f  de la señal en cuestión.

(**) Densidad espectral de potencia Definimos como densidad espectral de potencia (DEP) de una señal X t  a una función G x f  que satisfaga: 1 T ∞ T

S x =lim

T /2

∞

∫−T /2 ∣X t ∣2 dt =∫−∞ G x f df

Como características generales podemos decir que la DEP G x f  es una función real, par y no negativa que da la distribución de potencias en el dominio frecuencial, ya que: G x f =

dS

x

df

Como corolario podemos decir que el par señal-DEP no es biunívoco; es decir que dada una señal es posible encontrar su DEP que nos dará una idea cuantificada de como se distribuye su contenido de potencia en función de la frecuencia: pero dada una DEP existen infinitas señales que pueden responder o dar origen a la misma. Con esto queremos especificar que no se puede reconstruir una señal X t  en su dominio temporal a partir de su DEP, debido a que la misma no nos brinda la suficiente información para tal fin.

2.2.4 Espectros de señales periódicas Tanto los coeficientes de la serie de Fourier y de la DEP de una señal pueden ser representados mediante diagramas en coordenadas cartesianas o diagramas en el dominio frecuencial. En el caso de los coeficientes de Fourier tendríamos dos diagramas denominados espectros de amplitud y fase respectivamente. Si utilizamos para la representación los coeficientes complejos de la serie tendremos diagramas bilaterales o espectro bilateral de amplitud y fase. En el caso que utilicemos los coeficientes reales de la serie C n  con su argumento n  tendremos diagramas unilaterales o espectro unilateral de amplitud y fase correspondiendo a que estos últimos (unilaterales) que responden por definición solamente a las frecuencias positivas, mientras que los primeros (bilaterales) responden tanto a frecuencias positivas como negativas. En caso de la DEP tenemos por definición un solo diagrama debido a que G x f  es una función real y el mismo será bilateral. Para poder aplicar la definición dada en el punto anterior sobre funciones periódicas para la DEP y poder evaluar la misma nos valdremos de una función matemática auxiliar como es la  t  sobre la cual hemos visto algunas de sus propiedades más importantes y entonces calcularemos la DEP como: ∞

2 G x f =∑n =−∞ ∣C X nf 0 ∣  f −nf 0 

Para demostrar esto nos valemos de la definición de la  t  que establece: ∞

∫−∞ X t  t −t 0  dt = X  t 0  por lo tanto

∞

∫−∞ ∣C x nf

2

0

2

∣ t −t 0 dt =∣C x nf 0 ∣

integrando toda la serie tenemos ∞

∞

∞

∫−∞ G x f  df =∫−∞ ∑n =−∞∣C n nf

2

0

∣ f −nf 0 df

∞

∞

= ∑n =−∞ ∫−∞ ∣C n nf 0 ∣2  f −nf 0  df ∞

= ∑n =−∞ ∣C n nf 0 ∣2 =S x

Por lo tanto la DEP será una función de naturaleza impulsiva para señales periódicas. Esquematicemos estos resultados a través de un ejemplo.

Ejemplo 2.1 Sea X t  un tren de pulsos rectangulares como el mostrado en la figura 2.1. Calcularemos los coeficientes complejos de la serie de Fourier: C X nf 0 =

∣

1  /2 1 T /2 − X  t  e j 2 n f t dt = ∫− /2 A e − j 2  n f t dt ∫ −T / 2 T0 T0 0

0

0

0

− j 2 n f 0 t

 /2

∣

A A. e = sen  n f 0  = − j 2 n f 0 T 0 − /2  n = A f 0

sen n f 0  n f 0 

=A f 0  sinc n f 0 

donde sinc   es la función definida como sinc  y =

sen  y  . y

Figura 2.1

La figura 2.2 muestra el espectro de amplitud y fase de X t  para =

To . 5

Figura 2.2

La figura 2.3 muestra la DEP G X f  para =

To en función de la frecuencia. 5

Figura 2.3

Ejemplo 2.2 Encontrar la serie de Fourier de un tren de impulsos periódicos definido por:

∞

X t =∑ n =−∞  t −kT 0  C X nf 0 =

1 T /2 − x  t  e j 2 n f t dt ∫ −T / 2 T0 0

0

0

1 T /2 ∫  t  e− j 2  n f t dt =T1 T 0 −T /2 0 0

0

0

por lo tanto nos queda ∞

X t =

∑n =−∞ 1 T0

e

j 2 n f 0 t

2.3 Representación de señales aperiódicas usando la Transformada de Fourier Generalizaremos en este punto nuestro modelo y lo extenderemos para el caso de señales aperiódicas. Consideraremos solo funciones X t  de valor absoluto integrable, es decir, tales que: ∞

∫−∞ ∣X t ∣dt ∞ Dado T 0 tiene sentido calcular los coeficientes C X nf 0  considerando que X T t  es una función periódica en T C x nf 0 =

1 T /2 −j 2 n f t X t  e dt ∫ −T /2 T 0

Con estos coeficientes, la función periódica definida como: ∞

X T t =∑ n =−∞ C x  nf o  e

j 2 n f 0 t

coincide con X t  solamente en el intervalo [− T /2 ; T / 2 ] . Si hacemos crecer T, aumenta el intervalo en el cual ambas funciones, X t  y X T t  coinciden. Esto puede visualizarse en la figura 2.4.

Figura 2.4

Si T  ∞ , entonces coincidirán en toda la recta, es decir: lim X T t = X t  T ∞

Sustituyendo el valor de los C x nf 0  en X T t  tendremos: ∞

X T t =

∑ n =−∞ 1 T

T /2

∫−T / 2 X e

−j n 2

 T



j2

e

 nt T

d

llamemos: f n=

n T

f =

y

1 T

entonces ∞

X T t =∑ n =−∞

[∫

T /2

X e

−T /2

− j n 2 f n −t 

]

d  f

Recordemos que una integral puede definirse como limite de sumas de funciones escalonadas, es decir la suma de los valores de la función integrada en puntos especificados, multiplicados por f . Pasando luego al limite de esta sumatoria ∞

T /2

lim X T t =∫−∞ ∫−T / 2 X e

− j n 2 f −t 

d  df

T ∞ f  df

o bien ∞

X T t =∫−∞

[∫

T /2 −T /2

X e

− j n 2 f 

]

d e

j 2 f t

df

Esta es la llamada formula integral de Fourier que nos permite representar una función aperiódica X t  en el dominio frecuencial mediante su transformada de Fourier definida según: ∞

X f =F [ X t ]=∫−∞ X  t  e − j 2 f t dt

También podemos definir la transformada inversa de la forma ∞

X t =F [ X f ]=∫−∞ X f e j 2 f t df −1

El par X t  y X f  es llamado par transformado de Fourier, que es una relación biunívoca que notaremos como: X t ⇔ X f 

donde X f =F [ X t ]

X t =F

−1

[ X f ]

Este importante operador nos permite encontrar un modelo para señales aperiódicas en el dominio frecuencial, como se hizo anteriormente con las señales periódicas y las series de Fourier.

2.3.1 Propiedades de la transformada de Fourier 1. Si X t  es real, luego:

X f = X −f  2. Si

X t  es real y tiene simetría par o impar, luego:

∞

X f =

{

2 ∫−∞ X  t  cos  2 f t  dt

si X t  es par

∞

−2 j ∫−∞ X  t  sen  2 f t  dt

si X  t  es impar

2.3.2 Teorema de la energía de Parceval (o Ray Leigh)

}

Se define el contenido de energía de una onda aperiódica como: ∞

E x =∫−∞ ∣X t ∣2 dt

Recordemos que en un sistema normalizado en impedancias, el contenido de energía coincide con la energía desarrollada por la señal, considerando a la misma una tensión o una corriente. Calculamos la E x usando el siguiente artificio. Sea X t  una señal real, entonces: 2

∣X t ∣ =X t  X t 

remplacemos en el integrando una X t  por su antitransformada de Fourier de la forma:

[

∞

∞

E x =∫−∞ X t  ∫−∞ F [ X t ]e ∞

j 2 f t

]

df dt

∞

E x =∫−∞ ∫−∞ X t  X f e j 2 f t df dt

permutando el orden de integración: ∞

∞

E x =∫−∞ ∫−∞ X t  X f e ∞

∞

E x =∫−∞ X f ∫−∞ X  t  e

j 2 f t

dt df

−− j 2 f t 

dt df

∞

E x =∫−∞ X f  X −f df

y como

2

⇒

X −f = X f 

X −f  X f = X f  X f =∣ X f ∣

finalmente obtenemos ∞

∞

∞

E x =∫−∞ ∣X t ∣ dt =∫−∞ ∣X f ∣ df =∫−∞ G x t  dt 2

2

donde 2

G x t =∣X f ∣

Relación conocida como teorema de la energía de Parceval.

2.3.3 Espectro de energía de señales aperiódicas Puede pensarse a la transformada de Fourier como el resultado de la sumatoria de un continuo de componentes frecuenciales exponenciales. Recordando que el armónico para una onda periódica es X n t =C x n f 0 e

j 2 n f 0t

C x −n f 0 e

− j 2 n f 0t

En el caso de una onda aperiódica podríamos hablar de un diferencial armónico que valdría: dX f t =X f e

j 2 f t

df X −f e

− j 2 f t

df

En el primer caso sumando y el segundo integrando, obtendríamos la señal origen X t  . De esta manera es válido interpretar mediante diagramas de amplitud y fase a la transformada de Fourier de manera análoga a como se hizo con las series de Fourier. La diferencia fundamental radica que para

señales periódicas los espectros frecuenciales serán discretos, mientras que para las aperiódicas serán continuos.

Ejemplo 2.3 Sea una señal X t  formada por un pulso rectangular como muestra la figura 2.5. Encontremos su transformada de Fourier:

Figura 2.5 ∞

X f =∫−∞ X  t  e / 2

− j 2 f t

dt

 /2

= ∫−/ 2 e −j 2 f t dt =2 ∫0 cos  2 f t  dt =  sinc f t 

La transformada de Fourier puede ser esquematizada mediante dos diagramas, uno de amplitud y otro de fase, como muestra la figura 2.6.

Figura 2.6

Ejemplo 2.4 Dada la función signo definida como: x t =signo t =

{

t 1 = ∣t ∣ −1

si t0 si t0

}

Evaluaremos su transformada de fourier. Para ello nos valdremos de una función auxiliar X t ,  definida como: −∣t∣

X t ,=e

con 0

signot

X t ,=signot  , que es nuestra función en estudio. Es obvio que el lim 0

Calcularemos: ∞

F [ X t , ]=∫−∞ X t , e ∞

0

= ∫−∞ −e  t e −j 2 f t dt ∫0 e =

− j 2 f t

− t

e

dt

−j 2 f t

dt

−4  j f 2

 −2  j f 

2

y aplicando límite 1 2 F [ signo t]=lim F [ X t ,]= = 2 j f  j f 0 Como corolario y al igual que lo hicimos para señales periódicas utilizando el teorema de potencia de Parceval, podemos interpretar, para el caso de señales aperiódicas y valiéndonos del teorema de la energía de Parceval, a ∣X f ∣2 como una densidad espectral de energía para señales aperiódicas que, por supuesto, tengan su energía acotada, ya que: dE x =∣X f ∣2 df

2.4 Transformada de Fourier para señales periódicas Hasta el momento hemos visto que señales periódicas pueden ser representadas mediante series de Fourier y las señales aperiódicas lo pueden ser mediante la transformada de Fourier. A menudo nos encontramos en nuestro estudio con señales que contienen ambos tipos simultáneamente. Esta dificultad de incompatibilidad de modelos matemáticos puede ser salvada representando a las funciones periódicas a través de funciones impulso  f  en el dominio frecuencial. Algunos de los pares transformados X t ⇔ X f  más importantes que utilizaremos en nuestro estudio son detallados a continuación: 1.

A ...