Analisis Numerico_Serie 5_Tema 6 PDF

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UNIVERSIDAD NACIONALAUTÓNOMA DE MÉXICOFACULTAD DEINGENIERÍADIVISIÓN DECIENCIASBÁSICASSEMESTRE2021-ANÁLISIS NUMÉRICOSerie núm. 5Tema 6Solución numérica de ecuaciones en derivadas parcialesNOMBRE DEL ALUMNO Núm. de cuenta Grupo 03Correo-ePROFESOR:INGÉS BÍREZ Y VILLAFECHA DE ENTREGA: //ANÁLISIS NUMÉRIC...

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS SEMESTRE 2021-2

ANÁLISIS NUMÉRICO Serie núm. 5 Tema 6 Solución numérica de ecuaciones en derivadas parciales

NOMBRE DEL ALUMNO Núm. de cuenta

Grupo 03

Correo-e

PROFESOR: ING. ANDRÉS B. RAMÍREZ Y VILLA FECHA DE ENTREGA: __/__/

ANÁLISIS NUMÉRICO TEMA 6: SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

1. Clasifique las ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden siguientes de acuerdo con el discriminante: ∂

a)

2 2

∂𝑥

∂

2 2

∂𝑥

∂

2 2

∂𝑥

𝐴 = 1; 𝐶 =−

2

∂𝑦

𝑤(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦

𝐵 − 4𝐴𝐶 =− 16 < 0 ∂

∂

1 𝑘

2 2

∂𝑦

𝐸𝑠 𝑒𝑙í𝑝𝑡𝑖𝑐𝑎

𝑢 (𝑥, 𝑦) = 10

2

𝐵 − 4𝐴𝐶 = 20 > 0 2

1 ∂ 𝑘 ∂𝑡2

𝑃(𝑥, 𝑡) =

⟹

2

𝑢 (𝑥, 𝑦) + 4 ∂𝑥∂𝑦 𝑢 (𝑥, 𝑦) −

𝐴 = 1; 𝐵 = 4; 𝐶 =− 1 ⟹

c)

2

2

𝐴 = 1; 𝐶 = 4 ⟹ b)

∂

𝑤(𝑥, 𝑦) + 4

⟹

𝑃 (𝑥, 𝑡); 𝑘 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎

2

⟹

𝐸𝑠 ℎ𝑖𝑝𝑒𝑟𝑏ó𝑙𝑖𝑐𝑎

𝐵 − 4𝐴𝐶→0 = 0 ; 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑘→∞

⟹

𝐸𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏ó𝑙𝑖𝑐𝑎

2

𝐵 − 4𝐴𝐶 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 (0, 4] > 0 ; 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑘 ↛∞ (𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜) ⟹ 𝐸𝑠 ℎ𝑖𝑝𝑒𝑟𝑏ó𝑙𝑖𝑐𝑎 d)

∂

2 2

∂𝑡

𝑢 (𝑥, 𝑡) + 10

∂ ∂𝑡

𝑢 (𝑥, 𝑡) −

∂

𝐵 − 4𝐴𝐶 = 4 > 0

e) 𝐴𝑢 (𝑥, 𝑦) + 𝐵

∂𝑢 ∂𝑥

=𝐶

𝑢 (𝑥, 𝑡) = 100𝑢 (𝑥, 𝑡)

2

∂𝑥

2

𝐴 =− 1; 𝐶 = 1 →

2

→

𝐸𝑠 ℎ𝑖𝑝𝑒𝑟𝑏ó𝑙𝑖𝑐𝑎

; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠

𝑁𝑜 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 2° 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑁𝑜 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 f) Clasifique en 𝑡 = 2, 𝑥 =− 4 a la ecuación 𝑆𝑖 𝑥 =− 4

⟹

2

∂𝑢 2

∂𝑡

𝐴 = 7; 𝐶 = 1 →

+7

2

∂𝑢

2

∂𝑥

2

∂𝑢 2

∂𝑡

= (1 + 2𝑥)

2

∂𝑢 2

∂𝑥

= 0

2

𝐵 − 4𝐴𝐶 =− 28 < 0

→

𝐸𝑠 𝑒𝑙í𝑝𝑡𝑖𝑐𝑎

2. Obtenga las expresiones numéricas, de derivación parcial siguientes, con pivote en xi, yj, utilizando esquemas de derivación numéricas correspondientes a polinomios de primer grado (incisos a y b) y de segundo grado (incisos c al e): Para todos los incisos 𝑢 = 𝑢(𝑥 , 𝑦 ) 𝑖, 𝑗

a)

∂𝑢(𝑥,𝑦) ∂𝑥

=

1 ∆𝑥

𝑖

𝑗

⎤ ⎡ ⎢ − 𝑢𝑖, 𝑗 + 𝑢𝑖+1, 𝑗 ⎥ = ⎦ ⎣

1 ∆𝑥

[0 0 0 0 − 1 0 0 1 0 ]

ANÁLISIS NUMÉRICO TEMA 6: SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

b)

∂𝑢(𝑥,𝑦) ∂𝑦

=

2

c)

∂ 𝑢(𝑥,𝑦) ∂𝑥

∂ 𝑢(𝑥,𝑦)

1 ∆𝑦

[0 0 0 0 − 1 1 0 0 0 ]

[𝑢𝑖−1, 𝑗 − 2𝑢𝑖, 𝑗 + 𝑢𝑖+1,𝑗] = (∆𝑥) 1 [𝑢𝑖, 𝑗−1 − 2𝑢𝑖, 𝑗 + 𝑢𝑖,𝑗+1] = (∆𝑦)

=

2

∂𝑦

⎤ ⎡ ⎢ − 𝑢𝑖, 𝑗 + 𝑢𝑖, 𝑗+1 ⎥ = ⎣ ⎦

1

=

2

2

d)

1 ∆𝑥

[0 1 0 0 − 2 0 0 1 0 ] 1 [0 0 0 1 − 2 1 0 0 0] (∆𝑦) 1

2

2

(∆𝑥)

2

2

2

e)

∂ 𝑢(𝑥,𝑦) = ∂𝑦∂𝑥 1 𝑢𝑖−1, 𝑗−1 4∆𝑥∆𝑦

[

]

− 𝑢𝑖−1, 𝑗+1 − 𝑢𝑖+1, 𝑗−1 + 𝑢𝑖+1, 𝑗+1 =

1 4∆𝑥∆𝑦

[− 1 0 1 0 0 0 1 0

−1

]

3. Obtenga un esquema en diferencias finitas que permite resolver la ecuación diferencial parcial: ∂𝑢(𝑡,𝑥) ∂𝑡

1 ∆𝑡

1 ∆𝑡

−α

2

2 ∂ 𝑢(𝑡,𝑥) 2

∂𝑥

(

= 0;

2 ⎤ ⎡ ⎢ − 𝑢𝑖, 𝑗+1 + 𝑢𝑖+1, 𝑗+1⎥ − α ⎦ ⎣

[0 0 0 0 − 1 0 0 1 0 ] − α2 (∆𝑥1) [0 0 0 1

)

𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑢 𝑡𝑖, 𝑥𝑗+1 1 2

(∆𝑥)

[𝑢𝑖, 𝑗 − 2𝑢𝑖, 𝑗+1 + 𝑢𝑖,𝑗+2] = 0 ]

− 2 1 0 0 0 = 0 ; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑖𝑣𝑜𝑡𝑒 𝑒𝑠 𝑢 𝑖, 𝑗

2

4. Úsese el método explícito para calcular la distribución de temperatura de una barra larga y delgada que tiene una longitud de 10 cm y los siguientes valores '

𝑐𝑎𝑙

𝑘 = 0. 49 ⎡ 𝑠.𝑐𝑚.°𝐶 ⎤, ∆𝑥 = 2 [𝑐𝑚] y ∆𝑦 = 0. 1 [𝑠]. En 𝑡 = 0 , la temperatura de ⎣ ⎦ la barra cero, y las condiciones de frontera están fijas en todo momento en 𝑇(0 ) = 100 [°𝐶] y 𝑇(10) = 50 [°𝐶]. Observe que la barra es de aluminio con 𝐶 = 0. 2174 ⎡ ⎣ yλ =

0.835(0.1) 2

2 𝑙+1

Sugerencia: 𝑇𝑖

y ρ = 2. 7 ⎡⎢ ⎣ = 0. 020875

𝑐𝑎𝑙 ⎤ 𝑔.°𝐶 ⎦

𝑙

(

𝑙

𝑔 3

𝑐𝑚

𝑙

⎤ . Por lo tanto, 𝑘 = ⎥ ⎦ 𝑙

)

= 𝑇𝑖 + λ 𝑇𝑖+1 − 2𝑇 + 𝑇 ; donde λ = 𝑖 𝑖−1

Para 𝑡 = 0. 1 [𝑠] 𝑇1,1 = 0 + 0. 020875 [0 − 2 (0) + 100] = 2. 0875 𝑇2,1 = 0 + 0. 020875 [0 − 2 (0) + 0] = 0 𝑇3,1 = 0 + 0. 020875 [0 − 2 (0) + 0] = 0 𝑇4,1 = 0 + 0. 020875 [50 − 2 (0) + 0] = 1. 0438 Para 𝑡 = 0. 2 [𝑠]

0.49 2.7(0.2174)

𝑘∆𝑡 2

(∆𝑥)

= 0. 835⎡⎢ ⎣

2

𝑐𝑚 𝑠

⎤ ⎥⎦

ANÁLISIS NUMÉRICO TEMA 6: SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

𝑇1,2 = 2. 0875 + 0. 020875 [0 − 2 (2. 0875) + 100] = 4. 0878 𝑇2,2 = 0 + 0. 020875 [0 − 2 (0) + 2. 0875] = 0. 043577 𝑇3,2 = 0 + 0. 020875 [1. 0438 − 2 (0) + 0] = 0. 021788 𝑇4,2 = 1. 0438 + 0. 020875 [50 − 2 (1. 0438) + 0] = 2. 0439 Para 𝑡 = 0. 3 [𝑠] 𝑇1,3 = 4. 0878 + 0. 020875 [0 − 2 (4. 0878) + 100] = 6. 0046 𝑇2,3 = 0 + 0. 020875 [0 − 2 (0) + 4. 0878] = 0. 08533 𝑇3,3 = 0 + 0. 020875 [2. 0439 − 2 (0) + 0] = 0. 04267 𝑇4,3 = 2. 0439 + 0. 020875 [50 − 2 (2. 0439) + 0] = 3. 0023 Continuamos iterando y obtenemos la siguiente gráfica para los primeros 4 segundos. El aumento general de la temperatura con el tiempo indica que el cálculo captura la difusión del calor de los extremos a la barra....