ANÁLISIS TRANSITORIO MEDIANTE TRANSFORMADA DE LAPLACE (Parte 2) PDF

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|ANÁLISIS TRANSITORIO MEDIANTE TRANSFORMADA DE LAPLACE (Parte 2) J.Mancera , A. Moreno, A. Galván Palabras clave— Voltaje, laplace, impedancia,condensar.

III. I.

INTRODUCCIÓN

P

ara realizar la respectiva contextualización del tema al

cual se le da el objeto de estudio, se debe examinar de manera específica algunos fenómenos que interactúan en el proceso y son vital es para lograr una clara compresión del mismo, por ello, en este artículo se describirán nociones básicas pero precisas de lo que significa describir un circuito transitorio mediante transformadas de Laplace, permitiendo comprender de manera teórica las simulaciones y cálculos que dan origen a las simulaciones realizadas por un software con respecto a las mediciones de tensión y corriente en el tiempo. Habiendo definido el tema de interés,se considera que es necesario plantear las preguntas a resolver, por eso en este informe se desarrolla las debidas características y procesos que responden a¿Cómo calcular tensión y corriente en un circuito transitorio por medio de transformada de Laplace? ¿Cuál es la respuesta de un circuito transitorio frente a las condiciones iniciales? A partir de estos interrogantes, se busca desarrollar de manera concisa el aprendizaje y el modelo conceptual de lo que implica el estudio y análisis de un circuito transitorio.

● ● ●

II. OBJETIVOS Aprender el manejo básico de la simulación en estado transitorio mediante software especializado. Comparar resultados teóricos con los observados con las simulaciones efectuadas. Aprender a obtener la respuesta completa de un circuito de segundo orden mediante software especializado.

MARCO TEÓRICO

La función de transferencia de un sistema se define como la transformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada, suponiendo condiciones iniciales cero. La función de transferencia. Solo es aplicable a sistemas descritos por ecuaciones diferencial es lineales invariantes en el tiempo. Es una descripción entrada salida del comportamiento del sistema. Depende de las características del sistema y no de la magnitud y tipo de entrada; No proporciona información acerca de la estructura interna del sistema.

F uncion de transferencia =

L[c(t)] L[r(t)]

(1)

c(t) = S alida. r(t) = E ntrada. La función de transferencia utilizando ley de voltajes de Kirchhoff, se tiene:

di V (t) = Ri(t) + L dt

(2)

Aplicando la transformada de Laplace con condiciones iniciales cero:

V (s) = RI (d) + LsI (s)

(3)

La relación corriente voltaje en Laplace, queda: ______________________________ A. Moreno, J.Mancera son estudiantes del Programa de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de La Salle, Bogotá D.C., Colombia

I(s) V (s)

=

1 R L R

S+1

(4)

Para la inductancia eléctrica la función de transferencia es de:

i = C * dv dt

Caída de voltaje a través del capacitor =

1 c

∫ idt =

q c

(5)

Fig.2 .definición de una bobina Fig.1.La intensidad asignadade entra por el polo asignado como el positivo La transformada de Laplace tiene un papel fundamental en los sistemas de ingeniería, ya que permite, entre otras cosas, resolver ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes. En la resolución de ecuaciones diferenciales que conforman circuitos RLC, dicha ecuación que está en un dominio del tiempo, mediante la transformada de Laplace pasa al dominio en campo s, dominio de Laplace. Una vez resuelto, efectuando las respectivas operaciones algebraicas, se aplica Transformada Inversa de Laplace para obtener la respuesta en el dominio del tiempo. La transformada de Laplace toma una función f (t) que utiliza al tiempo como variable t y la transforma en una función f (s) de otra variable s . Dicha transformada se define mediante la expresión. Donde s es una variable completa y e−st es llamado el núcleo de la transformación Un circuito es una red eléctrica que contiene al menos una trayectoria cerrada. Los circuitos eléctricos pasivos RLC son circuitos lineares construidos con tres elementos básicos: resistores (que tiene resistencia R, medida en ohms Ω), capacitores (que tiene capacitancia C, medida en farads F) e inductores (que tiene inductancia L, medida en henrys H), junto con las variables asociadas corriente i(t) (medida en amperes A) y voltaje v (t) (medido en voltios V), además, el flujo de corriente en el circuito está relacionado con la carga q (t) (medida en coulombs C) de la siguiente manera.

El modo en el que interactúan los elementos individuales que forman dicho circuito está determinado por las siguientes leyes de Kirchhoff. Ley 1 La suma algebraica de todas las corrientes que entrar a cualquier unión de un circuito es cero. Ley 2 La suma algebraica de la caída de voltaje alrededor de cualquier curva cerrada en un circuito es cero. El uso de estas leyes nos lleva a las ecuaciones del circuito, las cuales pueden ser analizadas mediante las técnicas de la transformada de Laplace. IV.

METODOLOGÍA

PROBLEMA 1. a partir del modelo del circuito de un GFCI cuando interrumpe el corto circuito. Obtener la corriente que fluye a través de la persona, para t>0 cuando se inicia el corto en t=0. Suponer v=160 cos 400t [V]y que inicialmente el capacitor no tiene carga. Se resolverá el circuito teóricamente por medio de la transformada de Laplace y efectuar una comparación para varios valores de corriente (los observados con la simulación y los obtenidos con la ecuación de solución para la corriente).. Orcad

Fig.3.Montaje modelo del circuito de un GFCI

i=

dq dt

Las relaciones entre el flujo de corriente i(t) y la caída de voltaje v(t) a través de los elementos en el tiempo t son: Caída de voltaje a través de la resistencia = Ri

(5) Solución 0 < t < 1/40

ahora aplicamos fracciones parciales para hallar valor de A y B . A B I c(s) = (20) + (s+1010) (s2 +4002 )

Fig.5 .Medición del voltaje modelo del circuito de un GFCI análisis Laplace.

V c (s) =

160s s2 +4002

1000 * s+1010

(20)

A=138.44 B=-21888.31+8732.0i 1 I c(t) = 138.44e−1010t + 400 [8732.00cos400t

− 21888.31sen400t] V c (s) =

16000s (s 2+400 2)(s+1010)

(20)

ahora aplicamos fracciones parciales para hallar valor de A y B.

V c (s) =

A (s 2+4002 )

+

B (s+1010)

(20)

A=136.93 B=21693.07+54775.019i 1 V c(t) = 136.93e−1010t + 400 [54775.0.19cos400t

(20)

Nota: para el análisis de los valores de la tensión mayor que t=1/40 se tiene en cuenta la tensión de en el instante que se abre el interruptor. t > 1/40 V c (t = 25ms) = -114.404

(20)

V c (t > 25ms) = V o e−t/τ

(20)

V c (t > 25ms) = − 114.404 e−t/100* 0.001

(20)

+ 21693.07sen400t]

Fig.4 .Medición de la corriente modelo del circuito de un GFCI análisis Laplace. por el método de mallas decimos que :

V t = IR+I RReq

160s s2 +4002

I c(s) =

= I*( 1 +

2

1000 ) s+1010

160s +160s * 1000 2 2 (s +400 )(s+1010) s+1010

PROBLEMA 2. En el circuito no se tiene energía almacenada en t=0 y la señal de entrada es un impulso, como se muestra en la figura. Determinar la tensión en el condensador para un periodo de tiempo de 10 s.

(20)

(20)

(20)

Fig.9 .Simulación de la tensión en el condensador para un periodo de tiempo de 10 s.

por medio de ecuaciones diferenciales obtenemos la siguiente ecuación.

V.

ANÁLISIS DE RESULTADOS VI.

V R (t) =Ri(t) di(t) dt

V l (t) =L V c (t) = 1c

c

∫ i(t)dt

0

I(t) =C dVdt(t) V i (t) = R I(t) + L didt(t) +

1 c

∫ i(t)dt

︿ ︿

(20)

V i (s) = LC[ s2V c (s) -s V c (0)- V c(0)]+RC[s V c(s) - V c(0) + V c (s) ]

(20)

V i (s) = LC s2V (s) + RCsV c(s) + V c (s)

(20)

después de realizar el proceso de la transformada de laplace se obtienen lo siguiente:

V c (s) = 50s(s2 + 4s + 10)

Fig.7 .Simulación de la corriente modelo del circuito de un GFCI análisis Laplace Problema 1.

Tabla 1 Comparación de datos obtenidos de la corriente por el software y cálculos Problema 1.

(21)

Por lo tanto V c (t) = 1 0 + e − t 2(− 2 0cos(2t) − 10sin(2t)) − 10 − e − ( t − 2 )2(− 20cos(2(t − 2 )) − 1 0sin(2(t − 2 ))) Y de esta forma decimos que: V c (t) = e − t 2(− 2 0cos(2t) − 1 0sin(2t)) − e − (t − 2)2(− 20cos(2(t − 2)) − 10sin(2(t − 2)))

Fig.8 .Simulación el voltaje modelo del circuito de un GFCI análisis Laplace Problema 1.

En la gráfica simulada se puede determinar el voltaje que está cayendo en el circuito después del instante en que se abre el interruptor a causa del tiempo(falla al corto del

circuito de una toma GFCI), en el que se determina que presenta una tensión después de que el circuito es abierto y los valores que se presenta en la onda con respecto al tiempo y que al mismo tiempo en el que transcurre se acerca a valores cercanos al cero determinando de qué manera un apersona puede sentir o estar afectada en un determinado tiempo al presentarse con una reacción del circuito a una falla con respecto a una GFCI que es el caso de esta.

Tabla 2 Comparación de datos obtenidos de la tensión en t > 1/40 por el software y cálculos Problema 1.

VII.

La Transformada de Laplace es una herramienta muy importante porque ayuda a la resolución de problemas de ecuaciones diferenciales que modelan situaciones reales de circuitos transitorios. Se aprendió el manejo básico de simulaciones en estado transitorio mediante OrCAD. Se comprobó, mediante la transformada de Laplace, cada uno de los valores medidos en las gráficas obtenidas en simulación. VIII. [1]

Tabla 3 Comparación de datos obtenidos de la tensión en 0 < t < 1/40 por el software y cálculos Problema 1.

Tabla 3 Comparación de datos obtenidos de la tensión por el software y cálculos Problema 2. ME Flta Fig.10 .Simulación de la tensión de modelo del circuito de un GFCI análisis Laplace Problema 2. Es importante que en los circuito eléctricos se deben de tener presente posibles causas o efectos en los que terceros(personas externas al conocimiento), pueden llegar a a ser afectadas como lo es en el análisis del circuito problema 1 en el que por medio del circuito que se busca simular una falla en tomas GFCI se pretende analizar como reacciona y qué efectos posibles le alcanza a causar a la persona externa, en el que se valoriza por medio del condensador que efecto tiene representando a la persona y en ese caso el determinar qué tensión a través del tiempo le llega a la persona hasta su punto (0), determinando los valores con la simulación y el modelo matemático empleado en el que se pretende analizar ambos resultados para comprobar un análisis más cercano y al mismo tiempo tener un margen de errores diferenciales pequeños que permiten determinar el análisis detallado.

CONCLUSIONES

REFERENCIAS

Facultad Ingenieria de Sistemas. , 2015, Temario 2 , Universidad de Córdoba. [2] PASCO .LTDA , 1965, prodCatalog, tomado de: https://www.pasco.com/prodGroups/coils-and-cores/index.cfm....