Análisis y síntesis de mecanismos con aplicaciones - (Capítulo 4) PDF

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Capítulo

4

Habilidades 1. Asimilar el conjunto de ecuaciones cinemáticas y vectoriales que definen la velocidad y la aceleración de un mecanismo. 2. Efectuar un análisis cinemático de velocidad y aceleración en un mecanismo articulado con el uso de herramientas gráficas y(o) analíticas. 3. Verificar el funcionamiento y(o) diseño con los valores de velocidad y aceleración en un mecanismo con el uso de la herramienta computacional Vir-Mech®.

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4. Comprobar las habilidades y los conocimientos adquiridos mediante la solución de un conjunto de actividades. 5. Proponer soluciones para problemas de posición, velocidad y aceleración. Conocimientos requeridos

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Análisis y síntesis de mecanismos con aplicaciones

4.1 Introducción El análisis de velocidad y aceleración en mecanismos articulados requiere un estudio detallado, muy diferente al que se hace con las partículas, debido a que los componentes de velocidad y aceleración en cada partícula de un cuerpo difieren entre sí; por este motivo, es necesario considerar al cuerpo como un sólido rígido donde existe una relación entre las velocidades y las aceleraciones tangenciales de las articulaciones y las velocidades y las aceleraciones angulares de los eslabones. Antes de iniciar el análisis de velocidad y aceleración en los elementos de un mecanismo es indispensable enfatizar lo siguiente: a) Las ecuaciones cinemáticas son ecuaciones vectoriales. Por esta razón requieren una solución vectorial gráfica y(o) analítica.

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b) Existen diferentes tipos de velocidades y aceleraciones. Por ejemplo, velocidades y aceleraciones angulares de los eslabones, velocidades y aceleraciones tangenciales en los nodos y(o) uniones y velocidades rectilíneas en las correderas, entre otras. Para establecer las ecuaciones cinemáticas y su solución se dispone de métodos gráficos y analíticos. Los métodos gráficos permiten solucionar ecuaciones de velocidad y aceleración mediante trazos vectoriales, en especial para el cálculo en un instante dado del mecanismo. No obstante, lo anterior no aplica para los métodos analíticos, en los que es posible establecer ecuaciones representativas de velocidad y aceleración en cualquier instante, obteniendo resultados más exactos en comparación con los métodos gráficos. Por tanto, este capítulo trata acerca de la solución al problema de velocidad y aceleración en mecanismos articulados. Así, en primera instancia se desarrolla la teoría general de velocidad y aceleración en mecanismos; después, se formula una ecuación cinemática, llamada ecuación de puntos de la misma barra, la cual constituye la esencia metodológica del análisis cinemático de mecanismos; por último, se presentan los métodos gráficos y analíticos para resolver la ecuación cinemática de puntos de la misma barra. Asimismo, para comprobar los resultados obtenidos por métodos gráficos o analíticos se sugiere el uso de la herramienta computacional Vir-Mech®.

4.2 Teoría general de velocidad y aceleración en mecanismos En los cursos introductorios de ingeniería, en especial en el programa analítico de física, se estudian los conceptos básicos de velocidad y aceleración, cuyas definiciones se citan a continuación, a manera de recordatorio. Velocidad se define como la magnitud del cambio de la posición con respecto al tiempo. Aceleración es el cambio en la magnitud de la velocidad respecto al tiempo.

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Capítulo 4. Mecanismos articulados: análisis de velocidad y aceleración

Sin embargo, para el estudio cinemático de mecanismos los conceptos de velocidad y aceleración deben definirse en términos vectoriales, ya que durante el cálculo de la velocidad pueden existir cambios tanto en la posición como en la magnitud de esta, y lo mismo sucede al calcular la aceleración. El análisis de velocidad en los elementos de un mecanismo radica principalmente en comprender la relación vectorial que existe entre la velocidad de rotación en un eslabón y la velocidad tangencial en cada uno de sus nodos de articulación.

Para dejar en claro lo anterior, considérese el mecanismo A manivela-corredera de la figura 4.1, el cual dispone de una 3 2 manivela 2, con un movimiento de rotación alrededor del nodo O2. Por su parte, el nodo A transmite el movimiento O2 B del eslabón 2 al eslabón 3 y tiene una trayectoria circular, mientras que el nodo B transmite el movimiento del esla- Figura 4.1 Mecanismo manivela-corredera. bón 3 al 4, al tiempo que, debido a que forma parte de la corredera 4, tiene una trayectoria rectilínea.

Ecuaciones de velocidad Como primer paso del análisis cinemático de mecanismos se establecen las ecuaciones de velocidad aislando cada elemento, en las cuales el cambio de posición se expresa como un vector desplazamiento ∆r (véase figura 4.2). B1 B1

A2

DrA A1

V A1

( )

DrB

B1

A2

DrB

A

DrB

DrA

B2

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a)

b)

c)

Figura 4.2 Desplazamiento en función del movimiento.

Velocidad angular La velocidad angular, o de rotación, puede presentarse en los eslabones con movimiento de rotación alrededor de un punto (véase figura 4.2 a). La velocidad angular promedio e instantánea se define como: ωprom =

Dθ Dt

ω=

dθ  rad    dt  s 

(4.1)

donde ωprom es la velocidad angular promedio, y se obtiene al dividir los incrementos de posiciones angulares en radianes (∆θ) por cada lapso de tiempo (∆t ). Para un instante dado, la velocidad instantánea (ω) es la derivada del desplazamiento angular (dθ) con respecto a la derivada del tiempo (dt ).

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Análisis y síntesis de mecanismos con aplicaciones

Velocidad tangencial La velocidad tangencial se encuentra en los nodos de un eslabón y es tangente a la trayectoria generada por el nodo durante el movimiento. Cuando un eslabón tiene movimiento de rotación, como en el caso de la figura 4.2 a), cada nodo del eslabón experimenta un desplazamiento lineal, que se denota por ∆rA, el cual, después de ser dividido por el lapso de tiempo, proporciona la velocidad de desplazamiento, o velocidad tangencial (V T): VATprom =

Dr A Dt

T

VA =

drA  cm    dt  s 

(4.2)

Relación entre velocidad tangencial y angular En los eslabones que tienen movimiento de rotación existe una relación entre la velocidad angular del eslabón (ω) y la velocidad lineal de algún nodo del eslabón (V), conocida como velocidad tangencial. Si la longitud de arco en una circunferencia es s 5 r θ, entonces para pequeños desplazamientos del nodo A de la manivela se tiene ds 5 rAdθ; por tanto: VAT =

(4.3)

Así, se establece una relación entre la magnitud de la velocidad lineal de un nodo V TA con la velocidad de rotación (ω) y el radio de giro (rA), siempre y cuando no cambie la magnitud del radio de giro. Más adelante, en este capítulo, se demuestra que tanto la posición de un mecanismo como la velocidad tangencial de uno de sus nodos son cantidades vectoriales, y como vector la velocidad tangencial es perpendicular al radio de giro, cuyo sentido depende del movimiento del eslabón. Por ejemplo, en el caso de una manivela que gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj (cmr), la velocidad tangencial de un nodo en el extremo tiene la dirección que se muestra en la figura 4.3.

Dirección de la velocidad tangencial Movimiento del eslabón

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dr A rdθ = = wrA (rad/s)(cm) = (cm/s) dt dt

Figura 4.3 Dirección del vector: velocidad tangencial.

Velocidad rectilínea Considérese ahora el caso de un sólido rígido que tiene un movimiento de translación rectilínea, como el de la figura 4.2 b). Cada partícula de un sólido rígido tiene los mismos desplazamientos; además, debido a que las trayectorias entre dos nodos del mismo eslabón son siempre paralelas, la velocidad en cada partícula siempre es lineal e idéntica, la cual se conoce como velocidad rectilínea o lineal V L y se define como: V LB =

DrB Dt

VLB =

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drB  cm    dt  s 

(4.4)

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Capítulo 4. Mecanismos articulados: análisis de velocidad y aceleración

Vectorialmente, la dirección de la velocidad rectilínea V L es paralela al movimiento de la corredera en el sentido de esta, como se muestra en la figura 4.4. Movimiento de la corredera

Dirección de la velocidad rectilínea

Figura 4.4 Dirección del vector: velocidad rectilínea.

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Velocidad relativa Tanto la velocidad tangencial (4.2) como la velocidad rectilínea (4.4) se conocen como velocidades absolutas, ya que ambas se miden desde un marco de referencia fijo. Asimismo, existe otro tipo de velocidad, conocida como velocidad relativa, vector que se mide tomando como origen un nodo del sólido rígido que se encuentra en movimiento. Un ejemplo de estas velocidades lo constituyen las bielas, debido a que en este eslabón todos sus nodos están en movimiento. Para el análisis de velocidad relativa considérese un observador que está situado en el nodo A de un sólido rígido, el cual desea determinar la velocidad de otro nodo, al que se denomina nodo B. Con base en lo anterior, ¿cómo es el desplazamiento del nodo B visto desde A, es decir, (∆rB/A)? Entonces, para hallar la velocidad se fija el nodo A y se trazan ambas posiciones relativas (∆rB1/A 1 y ∆rB/A2 2), como se muestra en la figura 4.2c). De lo anterior puede deducirse que, en términos Dirección de la velocidad generales, las trayectorias de los nodos A y B son desangular conocidas, ya que dependen del eslabón al cual habrán de articularse. Sin embargo, independientemente de las trayectorias absolutas de A y B, la trayectoria relativa de B vista desde A es siempre conocida y circular, por lo que la velocidad relativa (VB/A) puede determinarse mediante la ecuación (4.3): VB /A = ωB /ArB / A

(rad/s)(cm) = (cm/s)

(4.5)

donde rB/A es el radio de giro de B visto desde A. Como la trayectoria relativa de dos puntos de una misma barra siempre es circular, entonces la dirección de la velocidad relativa es perpendicular al radio de giro como dirección, como se ilustra en la figura 4.5.

Dirección de la velocidad vista desde A

Figura 4.5 Dirección del vector velocidad relativa.

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Análisis y síntesis de mecanismos con aplicaciones

Ecuaciones de aceleración En la cinemática de mecanismos, el número de componentes vectoriales en una ecuación de aceleración se incrementa debido a que existen aceleraciones que no solo dependen del cambio en la magnitud del vector velocidad sino también del cambio en la dirección del vector velocidad. En un mecanismo articulado, la aceleración puede presentarse en las siguientes modalidades: aceleración angular, aceleración tangencial, aceleración normal y aceleración relativa.

Aceleración angular Considérese un nodo p de un sólido rígido con movimiento de rotación alrededor de un punto fijo O del mismo sólido rígido. La aceleración angular (α) del eslabón se puede obtener así: ∆ω dω , α= rad/s 2 αprom = (4.6) dt ∆t donde ∆ω es el desplazamiento angular, ∆t es el desplazamiento del tiempo, αprom es la aceleración promedio, dω/dt es la derivada de la velocidad angular con respecto al tiempo y α es la aceleración instantánea, respectivamente.

Aceleración tangencial Considérese un nodo p de un sólido rígido con movimiento de rotación alrededor de un punto fijo O del mismo sólido rígido. La aceleración tangencial, aT, del nodo p, el cual depende del cambio de la magnitud de la aceleración angular del sólido rígido, se define como: (4.7) apT = α × r (rad/s 2)(cm) = cm/s 2

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Aceleración normal Considérese un nodo p de un sólido rígido con movimiento de rotación alrededor de un punto fijo O del mismo sólido rígido. La aceleración normal, aN, del nodo p depende del cambio de la dirección de la velocidad angular y se define como: 2

(V T ) =

(4.8) = ω 2 ×r = (rad/s) 2(cm) = cm/s 2 r Al igual que la velocidad tangencial, las componentes de aceleración normal y tangencial son vectores, por lo que tienen dirección y sentido. Como se demuestra en el apartado de métodos analíticos, la aceleración normal depende solo del cambio de dirección de la velocidad tangencial y se encuentra a 180° en el sentido de la dirección de la velocidad angular, es decir, paralelo al radio de giro, con un sentido del punto de análisis al pivote. Asimismo, la aceleración tangencial depende de la aceleración angular y es perpendicular al radio de giro en el sentido de la aceleración angular; ambas aceleraciones se muestran en la figura 4.6. a

N p

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Capítulo 4. Mecanismos articulados: análisis de velocidad y aceleración

Dirección de la aceleración tangencial

Dirección de la aceleración angular

Dirección de la aceleración normal

Figura 4.6 Dirección de las aceleraciones angular, tangencial y normal.

Aceleración relativa Puesto que todas las trayectorias relativas de dos puntos de la misma barra siempre son circulares, la aceleración relativa de dos puntos p y q de la misma barra ap/q siempre tendrá componentes de aceleración normal y tangencial.

Existencia y significado de las componentes de aceleración La existencia y el significado de las componentes de aceleración normal y tangencial pueden demostrarse de manera gráfica mediante trazos vectoriales. Para ejemplificar lo anterior, considérese un nodo en el extremo de un elemento en rotación, cuya velocidad tangencial inicial es Vi y cambia en magnitud y dirección a V,f como se aprecia en la figura 4.7 a). Si los vectores Vi y Vf se agrupan sobre un mismo origen, como se muestra en la figura 4.7 b), puede apreciarse un cambio de velocidad en dirección ∆V 1 dirigido de a hasta b, así como un cambio de velocidad en magnitud ∆V 2, que se muestra desde el origen hasta c.

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Vf

Vi

a Vf c r

θ

b

Vi

DV1 a

b)

DV2 c)

S a)

Figura 4.7 Dirección de los vectores de aceleración normal y tangencial.

Al aplicar la ecuación de longitud de cuerda s 5 r θ para el caso de ∆V1 se tiene que: D Dθ lím V = V × lím , a N = V × ω = ( ω× r )× ω = ω 2r DV = V × D θ, Dt → 0 Dt Dt → 0 D t 1

1

Por tanto, el cambio en dirección de la velocidad ∆V 1 produce la componente de aceleración normal aN, depende por tanto de la velocidad angular y del radio de giro. Guerra, Torres, César. Análisis y síntesis de mecanismos con aplicaciones, Grupo Editorial Patria, 2015. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/bual-ebooks/detail.action?docID=4569651. Created from bual-ebooks on 2019-07-02 04:36:02.

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Análisis y síntesis de mecanismos con aplicaciones

Asimismo, otra componente de cambio de velocidad DV2 es: DV2 = Vf −V i ,

lím

Dt→ 0

V − Vi DV2 , = lím f → t 0 D Dt Dt

aT = lím

Dt→ 0

( ωf − ωi ) r Dt

= αr

por lo que el cambio en la magnitud de la velocidad ∆V2 produce una componente de aceleración tangencial aT, que depende solo de la aceleración angular y del radio de giro.

4.3 Ecuaciones cinemáticas de puntos de la misma barra El cálculo de las componentes de velocidad y aceleración en un mecanismo articulado se basa en la solución de un conjunto de ecuaciones llamadas ecuaciones cinemáticas de la misma barra. Para explicar el significado de este conjunto de ecuaciones, considérese un sólido rígido cualquiera con dos nodos de análisis en un plano cartesiano pq, cuya ecuación de posición es: → → → z p = z q + z p/ q Al derivar la ecuación con respecto al tiempo se obtiene la ecuación vectorial de velocidad de dos puntos de la misma barra que se expresa por: →

→

→

V p = V q +V p / q

(4.9)

Al derivar de nuevo la ecuación (4.9) con respecto al tiempo se obtiene la ecuación vectorial de aceleración de puntos de la misma barra: →

→

→

a p = aq + a p /qq  " " → a p = aqN +  a Np /qq + a Tp /qq   

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→

(4.10)

" " Para el caso de aceleración, es posible que cada componente vectorial ap , aq y " a p/q tenga componentes de aceleración normal y tangencial; sin embargo, la única componente de aceleración que con certeza tiene normal y tangencial es la aceleración relativa de p vista desde q(ap/q), ya que siempre tendrá trayectoria circular. Para saber si las componentes absolutas ap y aq tienen componentes normal y tangencial, se debe analizar cuál eslabón se encuentra articulado, de modo que si le transmite una trayectoria curva entonces tendrá aceleración normal y tangencial. Una vez que se tiene una ecuación de puntos de la misma barra, se procede a la solución de esta, a fin de determinar los parámetros mediante diversos métodos gráficos y analíticos, que a continuación se describen.

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Capítulo 4. Mecanismos articulados: análisis de velocidad y aceleración

4.4 Métodos gráficos Método del polígono de velocidad Al considerar dos puntos p y q de cualquier eslabón rígido en un mecanismo, la ecuación de velocidad entre dichos puntos quedará determinada de la...