APLICAŢII REZOLVATE MICROECONOMIE CANTITATIVA PDF

Preview

Summary

APLICAŢII REZOLVATE Prof. dr. Stelian STANCU Capitolul 5. COSTUL DE OPORTUNITATE 5.1. Fie T = 100 ore, w = 10 u.m./h., p = 1, C 0 = 200 u.m. şi U(C,R) = CR. Pentru a afla numărul optim de ore de lucru, astfel încât utilitatea să fie maximă, trebuie îndeplinită condiţia: Rms a factorilor = Panta rest...

Description

APLICAŢII REZOLVATE Prof. dr. Stelian STANCU Capitolul 5. COSTUL DE OPORTUNITATE 5.1. Fie T = 100 ore, w = 10 u.m./h., p = 1, C 0 = 200 u.m. şi U(C,R) = CR. Pentru a afla numărul optim de ore de lucru, astfel încât utilitatea să fie maximă, trebuie îndeplinită condiţia: Rms a factorilor = Panta restricţiei de buget. U C Dar Rms(C , R)   R   , iar restricţia de buget este: U R C 1  C  10  R  10  100  200 , adică C  1200  10 R . 10 Panta dreptei bugetului este deci:   10 . 1 C Condiţia de optim de mai sus devine:  10 , de unde C  10  R . R Înlocuind în restricţia de buget, avem că C *  600 u.m., R *  60 ore, iar L*  40 ore (T *  L*  R* ). 5.2. La nivelul unei firme se dă următoarea funcţie de producţie, în condiţii de concurenţă perfectă: q  q (r1 , r2 )  2r12  4r22 unde r1 , r2 reprezintă cantităţile de inputuri utilizate în procesul de producţie, iar q este cantitatea de bun produs. Determinaţi funcţia de cost total şi funcţiile de cost mediu şi cost marginal pe termen lung. Dacă vectorul preţurilor factorilor de producţie este x  (3, 2) calculaţi costul total, costul mediu şi costul marginal pe termen lung. De asemenea, interpretaţi multiplicatorul lui Lagrange. Soluţie: Funcţia de cost total este: CT ( x1 , x 2 , q)  x1 r1*  x 2 r2* , unde x1 şi x2 reprezintă preţurile unitare factorilor de producţie r1 , respectiv r2 , iar r1* şi r1*

2

Microeconomie cantitativă

reprezintă cantităţile optime de factori consumaţi în procesul de producţie. Pentru a determina cantităţile optime din cei doi factori trebuie să optimizăm programul: min {x1 r1  x 2 r2 }  r ,r  2 2 q  2r1  4r2 r  0, r  0 2  1 ce presupune minimizarea costului cu factorii de producţie r1 şi r2 pe restricţia 1

2

q  2r12  4r22 . Vom găsi soluţiile optime ale acestui program cu ajutorul metodei multiplicatorilor lui Lagrange. Astfel: Funcţia lui Lagrange este: L(r1 , r2 ,  )  x1 r1  x 2 r2   (q  2r12  4r22 )

Condiţiile necesare pentru optimizare sunt: L ()  0  x1  r1  0  x1  4r1 r1 L()  0  x 2  8r2  0  x 2  8r2 r2

L()  0  q  2r12  4r22  0  x r 2x r de unde: 1  1  r1  1 2 x 2 2r2 x2

şi

 2x r 2 1 2  x2

 r2  2 x1

rezultă: r1  

2

 8 x 2 r 2  4r 2 x 2 qx 22   4r22  q  1 2 2 2 2  q  r22  x2 4(2 x12  x 22 ) 

x2 2

x2 2

q (2 x  x 22 ) 2 1

q (2 x  x22 ) 2 1

x2 2 x12  x22 CT ()  q 4

 x1

q (2 x  x22 ) 2 1

Capitol. Aplicaţii rezolvate

3

Cantităţile optime din fiecare factor sunt: r1* ( x1 , x 2 , q )  x1

q (2 x  x 22 )

x2 2

q ( 2 x  x22 )

r2* ( x1 , x2 , q ) 

2 1

2 1

Determinăm multplicatorul lui Lagrange: x1  4r1   

x1  4r1

x1 4 x1



q (2 x  x 22 )

1 (2 x12  x 22 ) 4 q

2 1

CT ( x1 , x2 , q)  Cm L(q) q şi arată cu cât creşte costul total de producţie la o creştere a nivelului de producţie dat. Determinăm funcţia de cost total:

Observaţie: Multplicatorul lui Lagrange este  

CT ( x 1 , x 2 , q)  x 1r1*  x 2 r2*  x 1r1* ( x 1 , x 2 , q)  x 2 r2* ( x 1 , x 2 , q)   x 12

x 22 q  ( 2 x 12  x 22 ) 2

 2 x 2  x 22   1 2 

q  (2 x  x 22 ) 2 1

 q 1   q (2 x12  x 22 ) 2 2 ( 2 x  x ) 2 1 2 

Costul total mediu pe termen lung este:

CML(q) 



CTL(q)  q

 2 x 12  x 22  2 

 q  2 2 ( 2 x  2 x 2  x 22  1  x2 )   1 q 2 

2 x 12  x 22 2 q

Costul marginal pe termen lung este:

 1    q( 2 x 12  x 22 )

4

Microeconomie cantitativă

C m L(q ) 

CTL( q) 1  2 x12  x 22   q 2 2

 1  2 2  q (2 x1  x 2 )

Cum vectorul preţurilor factorilor de producţie este x  (3, 2) , avem:  Costul mediu: CML(q) 

2 x12  x 22 2 q



11 22q

 Costul marginal:  2 x 2  x22  1 11  Cm L(q)   1  2   2 q (18  4) 2 22q 5.3. Costul variabil (CV) şi costul fix (CF) pe termen scurt suportate de firmă pentru producerea a q unităţi dintr-un bun sunt: CV (q )  ln q 2  q 5 / 2  10 q , respeciv CF  111 . Determinaţi funcţiile de: cost mediu, cost variabil mediu, cost fix mediu, cost marginal şi reprezentaţi-le grafic. Soluţie: Avem: CT (q )  CV (q )  CF (q )  ln q 2  q 5 / 2  10 q  111

Determinăm funcţiile de: cost mediu, cost variabil mediu, cost fix mediu şi cost marginal.  funcţia de cost mediu: CTM (q ) 

CT (q) 2 ln q 10 111   q3/ 2   q q q q

 funcţia de cost variabil mediu: CVM (q ) 

CV (q ) 2 ln q 10   q3 / 2  q q q

 funcţia de cost fix mediu:

Capitol. Aplicaţii rezolvate

CVM ( q) 

5

CF (q ) 111  q q

 funcţia de cost marginal: 3 Cm (q )  2q 1  q1 / 2  5q 1. / 2  111q  2 2

Reprezentarea grafică (figura 5.18.):

C m (q ) CTM (q) CVM (q)

CFM (q) q Figura 5.18 Reprezentarea curbelor aferente funcţiilor de cost din aplicaţia 5.4

Observaţie: În realizarea graficului s-a ţinut cont de determinarea asimptotelor orizontale şi verticale pentru ficare tip de cost. 5.4. Pentru o firmă, se dă următoarea funcţie de producţie: q  q (r1 , r2 )  ln r12  ln r22

unde r1 , r2 reprezintă cantităţile, variabile, de inputuri utilizate în procesul de producţie, iar q este cantitatea de bun produs. Preţurile unitare ale factorilor sunt egale cu unitatea. Presupunând că analiza se face pe termen lung, determinaţi: a) Costul total minim ce asigură realizarea producţiei optime.

6

Microeconomie cantitativă

b)

Elasticitatea costului total pe termen lung în raport cu outputul.

Soluţie: a) Funcţia de cost total este: CTL( x1 , x2 , q )  x1r1*  x2 r2* , unde x1 şi x2 reprezintă preturile unitare factorilor de producţie r1 , respectiv r2 , iar r1* şi r1* reprezintă cantităţile optime de factori (variabili) consumaţi în procesul de producţie. Determinarea cantităţilor optime din cei doi factori presupune optimizarea programului: min {x1 r1  x 2 r2 }  r ,r  2 2 q  ln r1  ln r2 r  0, r  0 2  1 ce presupune minimizarea costului cu factorii de producţie r1 şi r2 pe restricţia 1

2

q  ln r12  ln r22 . Fiind o problemă clasică de extreme cu legături, vom găsi soluţiile optime ale acestui program cu ajutorul metodei multiplicatorilor lui Lagrange. Construim funcţia lui Lagrange: L(r1 , r2 ,  )  x1 r1  x 2 r2   (q  ln r12  ln r22 )

Condiţiile necesare pentru optimizare sunt: L() 2 2  0  x1   0  x1  r1 r1 r1 L() 2 2  0  x2   0  x2  r2 r2 r2 L()  0  q  ln r12  ln r22  0  2

xr  x r xr Avem: 1  2  r2  1 1 , de unde: ln 1 1   ln r12  q . x 2 r1 x2  x2 

Dar

q  2(ln x1r1  ln x 2 )  2 ln r1  2(ln x1  ln r1  ln x 2 )  2 ln r1   2 ln r1  2 ln r1  4 ln r1

de unde rezultă că:

Capitol. Aplicaţii rezolvate

7

ln r14  q  ln r14  ln e q  r14  e q  r1  4 e q  r2 

x1 4 e q 4 q  e x2

Cantităţile optime din fiecare factor sunt: r1* ( x 1 , x 2 , q )  r1* (1,1, q ) 

4

eq

r2* ( x1 , x 2 , q)  r2* (1, 1, q)  4 e q

Determinăm funcţia de cost total pe termen lung: q

CTL( x1 , x 2 , q)  x1r1*  x 2 r2*  r1* (1, 1, q)  r2* (1, 1, q)  24 e q  2e 4

b) Elasticitatea costului total pe termen lung în raport cu outputul este: q

c

CTL ( x, q ) CTL ( x, q ) e 4 q q  :   q  q q 2 4 2e 4

Trebuie să analizăm elasticitatea costului total pe termen lung în raport cu outputul în funcţie de valoarea acestuia din urmă. Avem:  dacă 0  q  4 , atunci  c  1, ceea ce înseamnă că avem curba CML decrescătoare şi situată deasupra CmL, deci o economie la scală;  dacă q  4 , atunci  c  1, ceea ce înseamnă că avem CmL=CML;  dacă q  4 , atunci  c  1, ceea ce înseamnă că avem curba CML crescătoare şi situată sub CmL, deci o risipă la scală. 5.5. Se dă funcţia de producţie: q  q ( K , L)  10 KL

unde L şi K reprezintă forţa de muncă, respectiv capitalul. Rata salarială este notată cu w, iar rata dobânzii cu r. În cazul în care firma prezintă un comportament concurenţial pe piaţa factorilor de producţie arătaţi că norma tehnică de substituire a forţei de muncă cu capitalul (K este factorul ce substituie, iar L este factorul substituit) este egală cu w/r, ştiind că producătorul doreşte să minimizeze costul de producţie.

8

Microeconomie cantitativă

Soluţie: Deoarece producătorul doreşte să-şi minimizeze costul de producţie trebuie să optimizăm programul: min {wL  rK }  L,K  q  10 KL  K  0, L  0  

Construim funcţia lui Lagrange: L(r1 , r2 ,  )  wL  rK   (q  10 KL )

Condiţiile necesare pentru optimizare sunt: L() K K  0  w  5  0  w  5 L L L L () L L  0  r  5  0  r  5 K K K

L()  0  q  10 KL  0 

w Astfel, avem:  r

K L  L K

K K K   L L L

Norma tehnică de substituire este: K F ( K , L) 5 dK L K w L Rms ( K , L)       q.e.d. dL F ( K , L) L r L 5 K K

5.6. Pentru funcţia de CTL(q1 , q2 )  e q  q2 : 1

cost

total

multioutput

pe

termen

lung:

Capitol. Aplicaţii rezolvate

9

a) Determinaţi costul mediu şi marginal pe termen lung în raport cu fiecare output rezultat; b) Verificaţi convexitatea/concavitatea funcţiei cost în raport cu q1 şi q2 . Soluţie: a) Costul marginal pe termen lung:  în raport cu q1 : C m L(q1 ) 



CTL ( x, q1 , q 2 )  eq q1

1

în raport cu q2 : Cm L( q2 ) 

CTL ( x, q1 , q2 ) 1  q2 2 q2

Costul mediu pe termen lung:  în raport cu q1 : q CTL( x, q1 , q2 ) e  q2  q1 q1 1

CTML(q1 ) 

 în raport cu q2 : q CTL( x, q1 , q2 ) e  q2  q2 q2 1

CTML(q2 ) 

b) Verificăm convexitatea sau concavitatea funcţiei de cost total în q, cu ajutorul matricei hessian, compusă din derivatele parţiale de ordinul 2 al funcţiei de cost în raport cu q1 şi q2 : Matricea hessian este:

10

Microeconomie cantitativă

  2 CTL( q)  q 2 x H  2 1   CTL( q)   q2 q1 Calculăm derivatele parţiale:

 2 CTL( q)   q1q2   2 CTL( q)   q22 

 2 CTL (q )  2 CTL (q ) 0 q1 q 2 q 2 q1  2 CTL (q )  eq 2 q1

1

 2 CTL (q ) 1   3/2 2 q 2 4q 2

De unde rezultă că matricea hessian este: 1

 eq  x H   0 

0  1   3 / 2  4 q2 

cu minorii: 1  e q  0 1

1

eq 2 

0

0 eq 1   3/ 2  0  3/ 2 4 q2 4q 2 1

Concluzie: matricea hessian este nedefinită  funcţia de cost CT ( x, q ) nu este nici convexă, nici concavă în raport cu q1 şi q2 . 5.7. Se cunosc, pentru o firmă, preţurile unitare ale factorilor de producţie, x1 şi x2 şi sunt date de vectorul x  (11 , 9) şi resricţia r1 r2  22 , unde r1 şi r2 sunt cantităţile din cei doi factori necesari pentru producerea a 22 unităţi dintr-un bun. Determinaţi funcţia de cost minim de producţie.

Capitol. Aplicaţii rezolvate

11

Soluţie: Pentru determinarea costului minim de producţie trebuie să optimizăm programul: min {11r1  9r2 }  r ,r  r1 r2  22 r  0, r  0 2 1  1

2

Fiind o problemă clasică de extreme cu legături, vom aplica metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Construim funcţia lui Lagrange: L(r1 , r2 ,  )  11r1  9r2   (22  r1 r2 )

Condiţiile necesare pentru optimizare sunt: L ()  0  11   r2  0  11   r2 r1

r r L () 09 1 09 1 r2 r2 r2 L ()  0  22  r1 r2  0  11 11 ,  r1 r2  r1  9 9r2 11 11 11 1 1 de unde: r2  22   22  r2    r2  9r2 9  22 18 324 9 r2

Dar

11 324  11   396 . 1 9 9 324 Cantităţile optime de factori sunt:

şi deci: r1 

r1* ( x 1 , x 2 , q )  r1* (11 , 9 , 22 )  396

12

Microeconomie cantitativă

r2* ( x 1 , x 2 , q )  r2* (11, 9 , 22 ) 

1 324

5.8. O firmă produce două tipuri de bunuri, în cantităţile q1  0 şi q 2  2 , prin utilizarea a trei factori de producţie r1 , r 2 , r3 după următoarele combinaţii: q1  r12  2r32 q2 

r2 r32

Se ştie că preţurile celor trei factori sunt egale cu unitatea. Să se determine funcţia de cost minim de producţie la nivelul firmei. Soluţie: Pentru a afla funcţia de cost la nivelul firmei, avem de rezolvat problema de optim: min {r1  r2  r3 }  r ,r ,r q  r 2  2 r 2 3  1 1  r q 2  22 r3  r , r , r  0 1 2 3 1

2

3

Vom rezolva prgramul cu ajutorul multiplicatorilor lui Lagrange (fiind o problemă clasică de extrem cu legături): L(r1 , r2 ,  )  r1  r2  r3  1 (q1  r12  2r32 )   2 (q 2 

Condiţiile necesare pentru optimizare sunt: L ()  0  1  21 r1  0  1  21 r1 r1

  L ()  0  1  2 22  0  1  2 22 r2 r3 r3 L ()  0  1  41 r3   2 r2  0 r3

r2 ) r32

Capitol. Aplicaţii rezolvate

13

L () L()  0  q1  r12  2r32  0  q1  r12  2r32 1 1 r L ()  0  q2  22 1 r3

Însă, pentru uşurarea calculelor, putem face ca funcţia obiectiv să fie de o singură variabilă. Astfel vom exprima variabilele r1 , r 2 în funcţie de r3 şi avem: r1  q1  2r32 r2 

q2 r3

iar funcţia ce trebuie minimizată este:

min q r

1

 2r32  q 2 r32  r3 

După efectuarea calculelor obţinem: CTL(q1 , q 2 ) 

q 24 2 8q1  4q1 q 2  1  1

14

Microeconomie cantitativă

Capitolul 6. PIEŢE COMPETITIVE: CEREREA ŞI OFERTA 6. Aplicaţii rezolvate 6.1. Ce este pragul de rentabilitate al unei firme aflată în competiţie perfectă? Dar pragul de închidere? 6.2. Se ştie că există o industrie competitivă formată din 70 firme identice. Costul pe termen lung, pentru fiecare firmă, este: C ( q )  5 q 2  9 , C ( 0)  0

Determinaţi: a) Funcţia de ofertă aferentă fiecărei firme; b) Oferta la nivelul industriei; Soluţie: a) Cum fiecare firmă urmăreşte să minimizeze costul, trebuie să punem condiţiile:  p  C m (q )  p  [min] CVM (q )  q de unde avem:  p  2 5q    9 2 5 q    p  [min] q q   Pentru că funcţia ce se minimizează este dependentă de o singură variabilă şi anume, nivelul outputului, putem afla outputul optim prin anularea primei derivate. Avem: 9 3  51 / 4 CVM (q )  2 5  2  0  q *  q 10 De aici rezultă:  p  2 5q   3  51 / 4 p   10  Funcţia de ofertă la nivelul fiecărei firme este:

Capitol. Aplicaţii rezolvate

p 5   10 q 0  

15

, pentru p 

3  51 / 4

, pentru p 

10 3  51 / 4 10

b) Oferta la nivelul industriei este:  7 p 5  S ( p ) : Q  70q   0 

, pentru p  , pentru p 

3  51 / 4 10 3  51 / 4 10

6.3. Ştiind că la nivelul fiecărei firme, 50 fiind în total într-o industrie şi fiind identice, costul pe termen lung este: C(q)  ln q  10 , C (0)  0

Determinaţi: a) Funcţia de ofertă aferentă fiecărei firme; b) Oferta la nivelul industriei; c) Preţul de echilibru al pieţei, cantitatea la echilibru desfăcută pe piaţă, pe total industrie şi pe fiecare firmă în parte presupunând cererea la 25 nivelul industriei ca fiind: D ( p )   p  10 . p Soluţie: a) Condiţiile care se impun, în vederea minimizării costului la nivelul fiecărei întreprinderi, sunt:  p  C m (q )  p  [min] CVM (q )  q

de unde avem: 1  p  q    p  [min] ln x  10     q q  q 

Anulăm prima derivată:

16

Microeconomie cantitativă

CVM (q )  

ln x 1 10 1  2  2   2 ln q  11  0  ln q  11  q *  e 11 2 q q q q

1  p  q   p  e 11 

Funcţia de ofertă la nivelul fiecărei firme este: 1  q  p  0

b)

, pentru p  e11 , pentru p  e11

Oferta la nivelul industriei este:

 50 , pentru p  e11 p S ( p) : Q  50q    , pentru p  e11 0 c) Aflăm preţul în condiţii de echilibru egalând funcţiile cererii şi ofertei la nivelul industriei: 50 25 S ( p)  D( p)    p  10  p *  5 p p Cantitatea la echilibru desfăcută pe piaţă, pe total industrie este: 50 50 Q*  *   10 p 5 Cantitatea de output la echilibru pe fiecare firmă în parte este: Q * 10 1 * q    50 50 5  p*  5  Starea de echilibru este descrisă astfel: Q *  10 q *  0,2 

6.4. Se ştie că la nivelul unei întreprinderi funcţia costului total pe termen scurt este C (q )  5q 2  10q  15 . Cerinţe:

Capitol. Aplicaţii rezolvate

17

a) Să se determine principalele tipuri de costuri; b) Calculaţi pragul de rentabilitate şi pragul de închidere; c) Reprezentaţi grafic funcţiile de cost determinate la punctul a) . Soluţie: a) Vom determina funcţiile principalelor tipuri de costuri: Costul variabil mediu: CV (q ) 5q 2 15 CVM (q )    10  q q q Costul total mediu: CTM (q ) 

C (q) 5q 2  15 15   5q   10 q q q

Costul fix mediu: CFM ( q) 

CF (q ) 15  q q

Costul marginal:

b)

C m (q )  C (q )  10q  10 Pragul de rentabilitate este dat de punctul în care curba costului marginal intersectează curba costului total mediu. Avem: 15 C m (q )  CTM (q )  10q  10  5q   10  5q 2  15 q

de unde avem că: q PR  3 iar CTM (q PR )  CTM

 3   15 315  303  10

3.

Pragul de închidere este dat de punctul în care curba costului marginal intersectează curba costului variabil mediu, adică în punctul de minim al costului variabil mediu. Astfel, avem: C m (q)  CVM (q )  10q  10  5q  10  5q  0  q PR  0 adică CVM (q PR )  10 Pragul de închidere poate coincide cu pragul de rentabilitate. c) Grafic avem:

18

Microeconomie cantitativă

C m (q ) CTM ( q), CVM ( q) PO

PR

q Figura 6.16 Reprezentarea grafică a funcţiilor de cost

6.5. La nivelul unei industrii, aflată în competiţie perfectă, se cunosc:  funcţia cererii: q D ( p )  15  2 p;  funcţia ofertei: q S ( p)  6  3 p; Să se determine echilibrul pentru bunul produs, la nivelul industriei şi caracterizaţi tipul acestui bun. Soluţie: Pentru a determina preţul şi cantitatea de echilibru trebuie să ţinem cont că oferta este egală cu cererea, adică: q D ( p )  q S ( p )  15  2 p  6  3 p

de unde: -

preţul de echilibru este: p *  9 ;

- cantitatea la echilibru este: q *  33 . Atunci când preţul creşte atât oferta, cât şi cererea din bunul existent cresc. Deci putem spune că bunul produs este un bun de strictă necesitate.

Capitol. Aplicaţii rezolvate

19

Capitolul 7. UTILITATEA: CEREREA ŞI COMPORTAMENTUL CONSUMATORULUI 7. Aplicaţii rezolvate 7.1. La nivelul unui consumator coşul de bunuri este format din două tipu...