MICROECONOMIE A - LICENCE 1 PDF

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MICROECONOMIE A - LICENCE 1...

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Université Paris Nanterre - UFR SEGMI M ICROÉCONOMIE A - L ICENCE 1 - A NNÉE C ORRIGÉ

DU

UNIVERSITAIRE

2020-2021

C ONTRÔLE C ONTINU ( MARS 2021)

1. Soit un ensemble fini d’individus E={1,2,3,. . .}, et soit la relation de préférence “est au-moins aussi grand que". Parmi les 4 propositions suivantes, laquelle est correcte ? (a) La relation de préférence est complète, transitive, continue, et convexe. (b) La relation de préférence est complète et transitive. (c) La relation de préférence est complète et non transitive (d) La relation de préférence est transitive et non complète. Réponse (b). Pour répondre à cette question, il faut se demander si la relation “est au-moins aussi grand que" vérifie les différentes propriétés annoncées dans les réponses. Cette relation est complète car quel que soit le couple d’individu i et j de l’ensemble, il est toujours possible de dire que soit i est au-moins aussi grand que j soit j est au-moins aussi grand que i. Cette relation est transitive car pour tout individu i, j et l de l’ensemble, si i est au-moins aussi grand que j et si j est au-moins aussi grand que l alors nécessairement i est au-moins aussi grand que l. Les réponses (c) et (d) ne sont donc pas justes. De plus, notez que l’ensemble d’individus est fini, par conséquent la relation ne peut être continue. En effet, si les individus sont classés par taille (2 est au-moins aussi grand que 1, 3 est au-moins aussi grand que 2, etc.) et supposons que i+1 n’ait pas la même taille que i, alors il n’existe pas d’individu classé entre i et i+1 donc la relation n’est pas continue. Nous en déduisons que la réponse juste est la réponse (b). 2. Soit un ensemble fini d’individus E={1,2,3,. . .}, et soit la relation de préférence “strictement plus grand que". Parmi les 4 propositions suivantes, laquelle est correcte ? (a) La relation de préférence est complète, transitive, continue, et strictement convexe. (b) La relation de préférence est complète et transitive. (c) La relation de préférence est non complète et transitive. (d) La relation de préférence est complète, transitive, et monotone. Réponse (c). Le principe de résolution est similaire à celui adopté pour la question 1. Remarquons que la relation “strictement plus grand que" n’est pas une relation complète. En effet, supposons que deux individus i et j possèdent exactement la même taille, alors il n’est ni possible de dire que i est strictement plus grand que j ni possible de dire que j est strictement plus grand que i. Nous éliminons directement les réponses (a), (b) et (d). Remarquons tout de même que la relation est transitive car, pour tout individu i, j et l appartenant à l’ensemble, si i est strictement plus grand que j et si j est strictement plus grand que l alors nécessairement i est strictement plus grand que l. La réponse juste est donc la réponse (c).

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3. Soit un consommateur dont les préférences satisfont les hypothèses de complétude, de transitivité, de continuité, de monotonie et de stricte convexité. Parmi les 4 propositions suivantes, laquelle est correcte ? (a) Une courbe d’indifférence peut être croissante. (b) Une courbe d’indifférence peut être concave. (c) Une courbe d’indifférence peut se couper elle-même. (d) Aucune des trois propositions n’est vraie. Réponse (d). Pour répondre à cette question, il suffisait simplement d’appliquer deux résultats de cours. D’après les axiomes de complétude, de transitivité, de continuité et de monotonie, une courbe d’indifférence ne peut être croissante et ne peut se couper elle-même. En outre, la stricte convexité implique que la courbe d’indifférence est strictement convexe. Nous en déduisons que la réponse juste est la réponse (d). 4. Soit la fonction d’utilité suivante : u(x, y) = exp(x + y), où exp(.) désigne la fonction exponentielle. Parmi les 4 propositions suivantes, laquelle est correcte ? (a) La fonction d’utilité représente des préférences pour des biens parfaitement complémentaires. (b) La fonction d’utilité représente des préférences pour des biens imparfaitement complémentaires. (c) La fonction d’utilité représente des préférences pour des biens imparfaitement substituables. (d) La fonction d’utilité représente des préférences pour des biens parfaitement substituables. Réponse (d). Pour répondre à cette question, il faut commencer par se rappeler la définition des biens substituables et biens complémentaires. Pour rappel, deux biens sont perçus comme parfaitement substituables si le TMS entre les deux biens est constant, c’est-à-dire si les préférences sont linéaires. Il suffit donc de calculer le TMS associé à la fonction d’utilité u. Nous avons donc T M S = e(x+y) /e(x+y) = 1. Le TMS est constant et égal à 1 donc les biens sont perçus comme parfaitement substituables. La réponse juste est la réponse (d). Notez qu’il était possible de répondre également à cette question en remarquant que v(x, y) = x + y = ln(u(x, y)). En d’autres termes, la fonction u représente des préférences linéaires donc le TMS est constant. 5. Soit la fonction d’utilité suivante : u(x, y) = x2 y. Parmi les 4 propositions suivantes, laquelle est correcte ? (a) Aucune des autres propositions n’est correcte. (b) La fonction d’utilité v(x, y) = x2 + y représente les mêmes préférences que la fonction u(x, y). (c) La fonction d’utilité v(x, y) = 2ln(x) + ln(y) représente les mêmes préférences que la fonction u(x, y). (d) La fonction d’utilité v(x, y) = 1 − x2 y représente les mêmes préférences que la fonction u(x, y). Réponse (c). Les fonctions d’utilité sont ordinales, elles sont définies à une transformation croissante près. Remarquons que la fonction de la question (d) n’est pas une fonction d’utilité car elle ne vérifie pas l’axiome de monotonie (lorsque x ou y augmente, la fonction diminue) donc (d) ne 2

peut être la réponse juste. De plus, observons que ln(u(x, y)) = ln(x2 y) = ln(x2 ) + ln(y) = 2 ln(x) + ln(y) = v(x, y). La fonction de la réponse (c) est bien une transformation croissante de la fonction u donc la réponse juste est la réponse (c). Enfin, notez que, d’après un résultat de cours, deux utilités représentent les mêmes préférences si les TMS associés sont égaux. Il est donc possible également de répondre à cette question en calculant les TMS de chaque fonction. Nous remarquons alors que pour la réponse (c), nous avons T M S = 2y/x. 6. Soit la fonction d’utilité suivante : u(x, y) = min(2x, 3y). Parmi les 4 propositions suivantes, laquelle est correcte ? (a) La fonction d’utilité v(x, y) = 7 min(2x, 3y) représente les mêmes préférences que la fonction u(x, y). (b) La fonction d’utilité v(x, y) = 1 − min(2x, 3y) représente les mêmes préférences que la fonction u(x, y). (c) La fonction d’utilité v(x, y) = min(3x, 2y) représente les mêmes préférences que la fonction u(x, y). (d) Aucune des autres propositions n’est correcte. Réponse (a). S’il existe une fonction qui représente les préférences d’un consommateur, il en existe une infinité (toutes les transformations monotones croissantes de cette fonction). Parmi les fonctions v(x, y) dans (a), (b) et (c), seule la fonction v(x, y) = 7 min(2x, 3y), en (a), est une transformation croissante de u(x, y). 7. Soit la fonction d’utilité u(x, y) = 2xy 2 . Parmi les 4 propositions suivantes, laquelle est correcte ? (a) Le taux marginal de substitution est T M S(x, y) = −dy/dx = 2y/x. (b) Le taux marginal de substitution est T M S(x, y) = −dy/dx = y/(2x). (c) Le taux marginal de substitution est T M S(x, y) = −dy/dx = y/x. (d) Aucune des autres propositions n’est correcte. Réponse (b). Une courbe d’indifférence indique un niveau d’utilité donné u : l’utilité ne varie pas tout au long d’une même courbe d’indifférence, c-à-d du = 0. Or, ∂u ∂u dx + dy. du = ∂x ∂y Ainsi, tout au long d’une même courbe d’indifférence, du =

∂u ∂u dy = 0. dx + ∂y ∂x

Donc, T M S(x, y) = −

dy = dx

∂u ∂x ∂u ∂y

=

y U mx 2y2 = = 4xy 2x U my

8. Soit la fonction d’utilité u(x, y) = 2 ln x + 3 ln y. Parmi les 4 propositions suivantes, laquelle est correcte ? (a) Le taux marginal de substitution au panier (1/2,1/3) est T M S(1/2, 1/3) = −dy/dx = 2/3. 3

(b) Le taux marginal de substitution au panier (1/2,1/3) est T M S(1/2, 1/3) = −dy/dx = 9/4. (c) Le taux marginal de substitution au panier (1/2,1/3) est T M S(1/2, 1/3) = −dy/dx = 4/9. (d) Aucune des autres propositions n’est correcte. Réponse (c).

T M S(x, y) = − Au panier (1/2, 1/3),

dy = dx

∂u ∂x ∂u ∂y

=

U mx 2 × 1x = . U my 3 × y1

T M S (1/2, 1/3) =

2×2 4 = . 9 3×3

Ou Pour un niveau d’utilité donné u, nous pouvons écrire : u = 2 ln x + 3 ln y. 2 1 ln y = u − ln x 3 3 2 ∂ ln y =− ∂ ln x 3 Or, ∂ ln y = ∂ ln x Donc, T M S(x, y) = −

dy y dx x

=

dy x dx y

dy ∂ ln y y 2y 4 =− · = = . 9 3x dx ∂ ln x x

9. Soit la fonction d’utilité U (x, y) = (x + 2y)2 . Parmi les 4 propositions suivantes, laquelle est correcte ? (a) Le taux marginal de substitution sera croissant. (b) Le taux marginal de substitution sera décroissant. (c) Le taux marginal de substitution sera toujours constant. (d) Le taux marginal de substitution sera croissant si x > 2y et décroissant sinon. Réponse (c). Nous pouvons écrire U (x, y) = (V (x, y ))2 où V (x, y) = x + 2y. La fonction U (x, y) est une transformation croissante de la fonction V (x, y). Ainsi U (x, y) et V (x, y) indiquent les préférences du même consommateur (non-unicité de la fonction d’utilité). Or la fonction d’utilité V (x, y) est celle de biens parfaitement substituables. Il en est de même pour la fonction d’utilité U (x, y). Les courbes d’indifférence sont donc linéaires et le taux marginal de substitution est toujours constant et égal à 21 (la pente de la droite étant égale à − 21 ). En effet, pour un panier (x, y), T M S(x, y) =

2 × (x + 2y) U mx 1 = = . 2 U my 2 × 2 × (x + 2y)

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10. Soit la fonction d’utilité U (x, y) = min(ax, by), a, b > 0. Parmi les 4 propositions suivantes, laquelle est correcte ? (a) Si ax = by, alors le taux marginal de substitution au panier (1,1) est T M S(1, 1) = b/a. (b) Si ax = by, alors le taux marginal de substitution au panier (1,1) est T M S(1, 1) = a/b. (c) Si ax > by, alors le taux marginal de substitution au panier (1,1) est T M S(1, 1) = 0. (d) Aucune des autres propositions n’est correcte. Réponse (c). La fonction d’utilité est une fonction min. Les paramètres a et b indiquent les proportions dans lesquelles les biens sont consommés. Les courbes d’indifférence sont en coude et le choix optimal se situe sur le coude d’une courbe d’indifférence (pour ax = by). Le TMS n’est pas défini au niveau du coude. Donc les réponses (a) et (b) sont fausses. Pour ax > by, nous sommes sur la partie horizontale de la courbe d’indifférence où le TMS est nul. En particulier, au panier (1,1) et pour ax > by, T M S(1, 1) = 0. 11. Soit une contrainte budgétaire dont l’équation s’écrit : px + qy = R, où x et y sont les quantités consommées de bien X et Y , et p et q les prix unitaires de ces biens. On suppose que les prix des deux biens sont divisés par deux. Parmi les 4 propositions suivantes, laquelle est correcte ? (a) La pente de la droite de budget est inchangée et la droite de budget se déplace parallèlement vers le sud-ouest (vers le bas). (b) La pente de la droite de budget ne se modifie pas et la droite de budget se déplace parallèlement vers le nord-est (vers le haut). (c) La droite de budget ne se déplace pas et sa pente ne se modifie pas. (d) La pente de la droite de budget baisse en valeur absolue et la droite de budget se déplace parallèlement vers le nord-est (vers le haut). Réponse (b). y

2R q

R q

R p

x

2R p

On peut représenter dans le plan (x, y) cette contrainte : y=

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R p − x q q

avec qp la pente de la droite de budget. Cette droite coupe l’axe des ordonnées lorsque x = 0, soit en (0, R/q) et l’axe des abscisses lorsque y = 0 soit en (R/p, 0). Si les prix sont divisés par deux, à partir de l’équation de la droit de budget, on a y=

p/2 R − x q/2 q/2

soit y=

2R p − x q q

La pente de la droite ne change pas, elle coupe l’axe des ordonnées en (0, 2R/q) et l’axe des abscisses en (2R/p, 0). La réponse est la (a). 12. Soit px + qy = R, où x et y sont les quantités consommées de bien X et Y , et p et q les prix unitaires de ces biens. Le gouvernement décide d’imposer une taxe forfaitaire de f , une taxe unitaire sur le bien X d’un montant t et une subvention à l’unité sur le bien Y d’un montant s. Parmi les 4 propositions suivantes, laquelle est correcte ? (a) Aucune des autres propositions n’est correcte. (b) La nouvelle droite budgétaire se déplace parallèlement vers le nord-ouest (vers le bas). (c) La nouvelle droite budgétaire a une pente en valeur absolue plus élevée que celle de la contrainte initiale. (d) La nouvelle droite budgétaire se déplace parallèlement vers le sud-est (vers le bas). Réponse (c). y

R−f q−s R q

x

R−f R p+t p

p+t , le numérateur augmente alors que le dénominateur diminue. La pente de la droite devient − q−s p+t p On a donc − q−s < − q donc en valeur absolue, p+t > qp . Il n’y a donc pas de déplacement q−s parallèle.

13. Soit un consommateur dont les préférences sont représentées par la fonction d’utilité u(x, y) = x2 y2 . Sa contrainte budgétaire s’écrit px + qy = R. Parmi les 4 propositions suivantes, laquelle est correcte ? (a) Les deux fonctions de demande sont données par x = R/(2p) et y = R/(2q). (b) Les deux fonctions de demande sont données par x = R/p et y = R/q . (c) Les deux fonctions de demande sont données par x = R/(4p) et y = R/(4q). 6

(d) Aucune des autres propositions n’est correcte. Réponse (a). Déterminons les fonctions de demande, notées x(p, q, R) et y(p, q, R), qui sont solutions du programme suivant : max x2 y2 s.c. px + qy = R. (x,y)

— Étape 1 : Il faut vérifier que nous avons des solutions intérieures par l’étude des courbes d’indifférence. A partir de la fonction d’utilité, nous avons u ¯ = x2 y2 ⇔ y = f (x) = (

u ¯ 1/2 u ¯1/2 ) = 2 x x

Calculons la dérivée première et la dérivée seconde : f ′ (x) = −¯ u1/2 /x2

(1)

et

x2 + u ¯1/2 2x >0 x4 Les préférences sont strictement convexes. f ′′(x) =

(2)

— Étape 2 : A l’optimum (ici intérieur) : p y p px 2xy2 = ⇔ = ⇔y= 2 2x y q x q q px + qy = R.

T M S(x, y) =

— Étape 3 : On introduit y dans la contrainte de budget. px + q(px/q ) = R ⇔ 2px = R ⇔ x = R/2p et donc : y = p(R/2p)/q = R/2q

(3)

14. Soit un consommateur dont les préférences sont représentées par la fonction d’utilité u(x, y) = x2 y. Sa contrainte budgétaire s’écrit px + qy = R. On suppose p = 2, q = 1, et R = 2. Parmi les 4 propositions suivantes, laquelle est correcte ? (a) Le panier optimal est donné par (x, y) = (2/3, 1/3). (b) Le panier optimal est donné par (x, y) = (1/3, 2/3). (c) Le panier optimal est donné par (x, y) = (2/3, 2/3). (d) Aucune des autres propositions n’est correcte. Réponse (c). Déterminons les fonctions de demande, notées x(p, q, R) et y(p, q, R), qui sont solutions du programme suivant : max x2 y s.c. px + qy = R. (x,y)

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— Étape 1 : Il faut vérifier que nous avons des solutions intérieures par l’étude des courbes d’indifférence. À partir de la fonction d’utilité, nous avons u ¯ = x2 y ⇔ y = f (x) = (

u ¯ )=u ¯x−2 x2

Calculons la dérivée première et la dérivée seconde : f ′ (x) = −2¯ ux−3

(4)

f ′′(x) = 6¯ ux−4 > 0

(5)

et Les préférences sont strictement convexes. — Étape 2 : A l’optimum (ici intérieur) : 2xy p 2y p px = ⇔ = ⇔y= 2q x2 q x q px + qy = R.

T M S(x, y) =

— Étape 3 : On introduit y dans la contrainte de budget. 3 px + q(px/2q) = R ⇔ px = R ⇔ x = 2R/3p = 4/6 = 2/3 2 et donc : y = 2 ∗ (2/3)/2 = 2/3

(6)

15. Soit un consommateur dont les préférences sont représentées par la fonction d’utilité u(x, y) = min(2x, y). Sa contrainte budgétaire s’écrit px + qy = R. Parmi les 4 propositions suivantes, laquelle est correcte ? (a) Les deux fonctions de demande sont données par x = R/2p et y = R/q . (b) Les deux fonctions de demande sont données par x = R/(p + 2q) et y = 2R/(p + 2q). (c) Les deux fonctions de demande sont données par x = R/(2p + q) et y = 2R/(2q + p). (d) Les deux fonctions de demande sont données par x = 2R/(2p + q) et y = R/(2q + p). Réponse (b). Le programme à résoudre est le suivant : max min(2x, y) s.c. px + qy = R. (x,y)

Nous avons ici des préférences dites en coude. La condition optimale n’est pas applicable, la fonction d’utilité n’est pas dérivable. Il faut raisonner autrement. Le consommateur est indifférent entre le panier (1, 2) et (8, 2) car min(2 ∗ 1, 2) = 2 et min(2 ∗ 8, 2) = 2. Pour augmenter son utilité, il pourrait consommer plus de bien 2 et moins de bien si sa contrainte de budget le permet. Le choix optimal du consommateur est donc d’avoir exactement 2x = y sinon il a intérêt à échanger le bien en surplus. En substituant dans la contrainte budgétaire, on a : R = px + q2x ⇔ x = et donc R = p(y/2) + qy =⇔ y =

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R p + 2q

2R R = p/2 + q p + 2q

16. Soit un consommateur dont les préférences sont représentées par la fonction d’utilité u(x, y) = x2 y. Sa contrainte budgétaire s’écrit px + qy = R. On suppose p = 2, q = 1. Parmi les 4 propositions suivantes, laquelle est correcte ? (a) Les deux courbes d’Engel ont pour équations x(R) = 2R/3 et y(R) = R/3. (b) Les deux courbes d’Engel ont pour équations x(R) = R/4 et y(R) = R/2. (c) Les deux courbes d’Engel ont pour équations x(R) = R/3 et y(R) = R/3. (d) Aucune des autres propositions n’est correcte. Réponse (c). Afin de déterminer les équations des courbes d’Engel, déterminons les fonctions de demande, notées x(p, q, R) et y(p, q, R), qui sont solutions du programme suivant : max x2 y s.c. px + qy = R. (x,y)

A l’optimum (ici intérieur) : 2y p = q x px + qy = R.

T M S(x, y) =

Les fonctions de demande sont :

x(p, q, R) = y(p, q, R) =

2R , 3p 1R . 3q

Les équations des deux courbes d’Engel pour p = 2 et q = 1 sont donc données par : R , 3 R . y(R) = 3

x(R) =

17. Soit un consommateur dont les préférences sont représentées par la fonction d’utilité u(x, y) = 2(a ln x + b ln y), a, b > 0, où ln(.) désigne la fonction logarithme népérien. Sa contrainte budgétaire s’écrit px + qy = R. On suppose p = 1, q = 1. Parmi les 4 propositions suivantes, laquelle est correcte ? (a) Les deux courbes d’Engel ont pour équations x(R) = R/a et y(R) = R/b. (b) Les deux courbes d’Engel ont pour équations x(R) = R/(2a) et y(R) = R/(2b). (c) Les deux courbes d’Engel ont pour équations x(R) = aR/(a + b) et y(R) = bR/(a + b). (d) Aucune des autres propositions n’est correcte. Réponse (c). Afin de déterminer les équations des courbes d’Engel, déterminons les fonctions de demande, solutions du programme suivant : max 2(a ln x + b ln y) s.c. px + qy = R. (x,y)

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On remarquera que le nombre 2 importe peu dans la maximisation de l’utilité. A l’optimum (ici intérieur) : ay p = bx q px + qy = R.

T M S(x, y) =

Les fonctions de demande sont :

x(p, q, R) = y(p, q, R) =

a R , a+b p b R . a+b q

Les équations des deux courbes d’Engel pour p = 1 et q = 1 sont donc données par :

x(R) = y(R) =

a R, a+b b R. a+b

18. Supposons que, suite à une hausse de prix, l’effet substitution sur un bien est négatif et que ce bien est normal. Parmi les 4 propositions suivantes, laquelle est correcte ? (a) La demande baissera puis augmentera. (b) La demande pour ce bien augmentera. (c) La demande pour ce bien diminuera. (d) La demande restera co...