Apostila-calculo-4 - Apostila de cálculo 4 (séries e sequências) da professora Janete Simal (USP). PDF

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Apostila de cálculo 4 (séries e sequências) da professora Janete Simal (USP)....

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Notas de Aula de SMA 0356 C´alculo IV Janete Crema Simal 2019

˜ INTRODUC ¸ AO Estas notas destinam-se a apoiar os alunos que cursar˜ao a disciplina SMA0356 C´alculo IV e tamb´em os docentes que a ministrar˜ao. Foi planejada para uma disciplina de 60 horas e seu conte´udo foi dividido em trˆes cap´ıtulos num total de 26 aulas e n˜ao se¸c˜oes, j´a que n˜ao se trata de livro texto. O professor que for ministrar a disciplina pela primeira vez, poder´a consult´a-la para ter uma ideia do tempo que levar´a para desenvolver cada assunto. Propositalmente, o texto ´e dividido de forma que possam ser aplicadas trˆes avalia¸c˜oes, correspondentes a cada cap´ıtulo. O primeiro cap´ıtulo diz respeito a Sequˆencias e s´eries num´ericas. O segundo ´e sobre S´eries de potˆencias e aplica¸c˜oes em equa¸c˜oes diferenciais ordin´ arias. E o terceiro sobre S´ eries de Fourier e aplica¸c˜ oes nas Equa¸c˜ oes do Calor e da Onda. Em particular, destaco que o Teorema de Fourier para convergˆ encia de s´ eries ´e apresentado sem demonstra¸ca˜o j´ a que o p´ ublico alvo desta disciplina ´e composto por alunos dos cursos de engenharia e da f´ısica, e acreditamos ser importante que estes vejam as aplica¸c˜ oes das s´ eries de Fourier nos processos de difus˜ ao e de vibra¸ca˜o. Quanto aos alunos do curso de Matem´ atica, ter˜ao a oportunidade de aprofundar seus conhecimentos neste tipo de s´ erie, na disciplina Equa¸c˜ oes Diferenciais Parciais. Agrade¸co imensamente ao Professor Miguel Frasson, pelo aux´ılio inestim´ avel na elabora¸ca˜o das figuras contidas no texto.

S˜ ao Carlos, 31 de julho de 2018.

Janete Crema Simal

´ IV: PROGRAMA DA DISCIPLINA SMA0356 CALCULO Objetivos Familiarizar os alunos com os resultados fundamentais relativos ` a: sequˆ encias e s´ eries num´ ericas e de fun¸co˜es, s´ eries de Fourier e aplica¸c˜ oes. Programa • Sequˆencias num´ ericas. • S´eries num´ ericas. • S´eries de Potˆ encias. • S´eries de Fourier. • Aplica¸c˜ oes de Sequˆ encias e S´ eries na resolu¸c˜ ao de equa¸c˜ oes diferenciais. Bibliografia Livros Textos: - BOYCE, E.W., DIPRIMA, R.C. Equa¸c˜oes diferenciais elementares e problemas de valores de contorno, 7 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002.(Para ser usado em S´ eries de Fourier e aplica¸c˜ oes em EDP.) - GUIDORIZZI, H.L. Um Curso de C´ alculo, vol. 4, 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002. Complementares: - BUTKOV, E. F´ısica Matem´ atica, Rio de Janeiro: Guanabara 2, 1988. - CHURCHILL, R., BROWN, J., Fourier series and boundary value problems, 4 ed. New York: McGraw-Hill, 1987. - SIMMONS, G.F. C´ alculo com Geometria Anal´ıtica, vol. 2, Rio de Janeiro: Mc Graw-Hill, 1987. - STEWART, J. C´ alculo, vol. 1 e 2, 4 ed., S˜ ao Paulo: Pioneira, 2001. - SWOKOWSKI, E.W. C´ alculo com Geometria Anal´ıtica, vol. 2, 2 ed., Rio de Janeiro: Makron-Books, 1995. - TOLSTOV, G.P. Fourier Series, New York: Dover, 1976.

Sum´ ario I

ˆncias e s´ ´meros reais Seque eries de nu

1

I.1

ˆncias num´ericas . . . . . . . . . . . . . Aula 1: Introduc ¸˜ ao ` as seque

1

I.2

Aula 2: Sequˆencias Convergentes e Divergentes

. . . . . . . . . .

8

I.3

´rios para seque ˆncias convergentes. Aula 3: Propriedades e Crite

15

I.4

´todo da induc ˜ o finita . . . . . . . . . Aula 4: Subsequˆ encias e Me ¸a

20

I.5

˜ o e da raiz para sequencias. ˆ Aula 5 - Teste da raza

. . . . . . . .

24

I.6

Lista 1 de Exerc´ıcios - Sequˆ encias Num´ ericas.

. . . . . . . . . . . . .

27

I.7

´ricas Aula 6: S´ eries Nume

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

I.8

Aula 7 - Crit´erio da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

I.9

Aula 8 - Crit´erio da Se´rie Alternada

. . . . . . . . . . . . . . . . .

39

˜ o por Limite . . . . I.10 Aula 9 -Crit´ erio da Comparac ¸˜ ao e Comparac ¸a

42

I.11 Aula 10: S´eries absolutamente convergentes, ´rios da raza ˜ o e da raiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Crite I.12 Lista 2 de Exerc´ıcios - S´ eries Num´ ericas.

. . . . . . . . . . . . . . .

II Se´ries de Potˆ encias

45 49 53

ˆncia . . . . . . . II.1 Aula 11 - S´ eries de Potˆ encias e Raio de converge

53

II.2 Aula 12 - Determinando o raio de convergˆ encia de uma s´erie de ˆncias pote

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

˜ o e integrac ˜o de se ´ries de Potˆ encias. II.3 Aula 13 - Derivac ¸a ¸a

58

. . .

63

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

II.5 Aula 15 - Convergˆencia das Se´ries de Taylor. . . . . . . . . . . . .

76

erie de Taylor. II.4 Aula 14 - S´

i

´rias via Se´rie II.6 Aula 16 - Resolvendo Equac ¸ ˜oes Diferenciais Ordina ˆncias. de Pote

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II.7 Aula 17 - S´ eries Binomiais.

81

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

II.8 Lista 3 de Exerc´ıcios - S´ eries de Potˆ encias - S´ eries de Taylor. . . . .

92

III Se´ries de Fourier

97

`s S e ´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . III.1 Aula 18 - Introduc ¸ ˜ao a III.1.1 Periodicidade de fun¸c˜ oes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97 98

III.1.2 Fun¸c˜ oes pares - Fun¸c˜ oes ´ımpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 III.2 Aula 19 - Coeficientes de S´ eries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 104 III.3 Aula 20 - Teorema de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 III.4 Aula 21 - Erro Quadr´ atico - Identidade de Parseval - Forma ´rie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Complexa da Se III.4.1 Desigualdade de Bessel e Identidade de Parseval . . . . . . . . . . . . 119 ˆndice I- Um modelo de audic III.4.2 Ape ¸ ˜ao humana . . . . . . . . . . 121 ˆndice II: Significado geom´ III.4.3 Ape etrico

. . . . . . . . . . . . . . 123

ˆndice III: Formulac III.4.4 Ape ¸ ao complexa para a s´ erie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 ´ III.5 Aula 22 - Extens ˜oes periodicas, pares e ´ımpares . . . . . . . . . . . 127 III.6 Lista 4 de Exerc´ıcios - S´ eries de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 ´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 135 III.7 Aula 23 - Aplicac ¸ ˜oes de Se III.7.1 Problema de difus˜ ao de calor na barra . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 ´todo da Separac ˜o de Variaveis ´ ou de Fourier . . . . . . 138 III.7.2 Me ¸a III.8 Aula 24 - Soluc ¸ ˜ao do Problema de Valor Inicial e de Contorno

142

˜ es de equil´ıbrio ou estaciona ´rias e o problema de III.8.1 Soluc ¸o ˜ o homoge ˆneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Dirichlet na III.9 Aula 25 - Barra termicamente isolada . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 ˜ es estaciona ´rias . . . . . . . 152 ˜ F´ısica das soluc ¸o III.9.1 Interpretac ¸ao ˆndice IV- Um modelo simplificado de reatores nucleares 154 III.9.2 Ape III.10Aula 26 - A corda vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

ii

˜o do problema de valor inicial . . . . . . . . . . . . . 159 III.10.1 Soluc ¸a ˆndice V - A corda dedilhada . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 III.10.2Ape III.11 Lista 5 de Exerc´ıcios - Equa¸ c˜ ao do Calor e Equa¸ c˜ ao da Onda . . . . 166

iii

Cap´ıtulo I ´meros reais Sequˆ encias e s´ eries de nu I.1

`s seque ˆncias num´ Aula 1: Introduc ¸˜ ao a ericas

Vamos iniciar o conte´ udo sobre sequˆencias num´ ericas atrav´ es de exemplos que trataremos de maneira bem informal. Na antiguidade, se conhecia o conceito de ´ area de retˆ angulos e posteriormente de triˆ angulos e por consequˆ encia de pol´ıgonos, j´ a que estes podiam ser decompostos em finitos triˆ angulos. Mas conhecer a ´ area de uma c´ırcunferˆ encia oferecia um grande desafio aos matem´ aticos j´ a que n˜ ao se podia decompor tal figura em finitos triˆ angulos. Da´ı aparece a ideia de se obter tal ´ area por aproxima¸c˜oes sucessivas. Percebeu-se que pol´ıgonos regulares podiam ser inscritos na circunferˆencia de tal modo que quanto maior o n´ umero de lados do pol´ıgono inscrito, mais pr´ oxima a ´ area do pol´ıgono estaria da circunferˆ encia.

1

Suponhamos ent˜ ao uma circunferˆ encia de raio R. Inscrevemos nela o pol´ıgono regular acima de n lados. Dividindo-o em n triˆ angulos idˆ enticos, com um dos v´ertices no centro da circunferˆencia e os demais sobre a circunferˆ encia, sabemos que a a´rea do pol´ıgono ser´ a n 2π vezes a a´rea do triˆ angulo. Seja αn = ,oˆ angulo do v´ ertice do triˆ angulo que est´ a sobre o n centro da circunferˆ encia. Como dois dos seus lados tem tamanho R determinamos, atrav´ es da Trigonometria, o tamanho do outro lado do triˆ angulo.

ln = 2Rsen

α  n

2

e consequentemente a ´ area do correspondente triˆ angulo ´e Tn = R2 sen

α  n

2

cos

α  n

2

=

R2 senαn . 2

Logo a ´ area do pol´ıgono regular de n lados, inscrito na circunferˆencia de raio R, ´e An = n ·

R2 senαn 2 senx = 1 o que x

Como n´ os j´ a passamos por C´ alculo I, conhecemos o limite fundamental lim

x→0

nos d´ a

sen 1x 1 lim xsen = lim 1 = 1 x→∞ x x→∞ x

o que nos faz acreditar facilmente que R2 ´ Area da circunferˆencia = lim An = lim n · sen n→∞ n→∞ 2



2π n



= lim πR2 n→∞

"

sen

 2π #

2π n

n

= πR2 .

´ claro que estamos usando uma linguagem moderna que apareceria cerca de 1800 anos E depois deste estudo primitivo de ´ area, o que torna o fato ainda mais incr´ıvel!!!! O processo usado pelos Gregos, para o c´ alculo da ´ area da circunferˆ encia, foi denominado mais tarde por M´ etodo da Exaust˜ ao.

Mas al´em do fato em si, chamamos a aten¸ca˜o para a ideia de

limite a´ı impressa, e mais, da ideia de limite de uma sequˆencia de n´ umeros. Neste caso a sequˆencia (infinita) fica determinada pelos n´ umeros (A3 , A4 , A5 , A6 , · · · , A10000 , · · · ). Outra ideia, que se apoia no estudo do comportamento de uma sequˆ encia infinita de n´ umeros ´ e o de reta tangente a uma curva, e que apareceu em meados do s´eculo XVIII. Nele, fixado um sistema de coordenadas e tendo uma curva plana suave(sem ”bicos”) dada 2

pelo gr´ afico de uma fun¸c˜ ao deriv´ avel f (x), buscamos o coeficiente angular da reta tangente ao gr´ afico no ponto (x0 , f (x0 )), num processo de aproxima¸c˜ ao. Inicialmente buscamos o 1 1 coeficiente da reta secante ao gr´ afico que passa pelos pontos (x0 , f (x0 )) e (x0 + , f(x0 + )) n n obtendo 1 f (x0 + ) − f (x0 ) n . an = 1 n

Novamente, para quem j´ a fez C´ alculo I, e como tomamos a curva suave, vamos obter que 1 oximo de x0 e consequentemente an vai para n cada vez maior, x0 + fica cada vez mais pr´ n tender a f ′ (x0 ). As ideias acima descritas s˜ ao, por assim dizer, as ideias primitivas que deram origem ao C´ alculo. Por incr´ıvel que pare¸ca, primeiro apareceu a ideia primitiva da integral(atrav´ es do c´ alculo de ´ area), depois da derivada. Mas por fim, o c´ alculo s´ o pode se concretizar depois de formalizada a ideia do limite. E o conceito de limite de fun¸c˜ oes, tamb´ em s´ o foi aparecer depois do de limite de sequˆencias num´ ericas. Assim o nosso primeiro objeto de estudo ser´a o das sequˆencias num´ ericas infinitas, (a1 , a2 , · · · , an , · · · ) e os padr˜ oes( alguns padr˜ oes ) que elas descrevem a medida que a observamos para n cada vez maior. De modo geral definimos: Defini¸ c˜ ao I.1.1. Uma sequˆ encia de n´ umeros reais ´e uma fun¸c˜ ao discreta s : N → R onde denotaremos s(n) = an para n ∈ N. Neste caso an ´e dito termo geral da sequˆ encia. ˜ I.1. Trabalhamos com n ∈ N mas muitas vezes ser´ a conveniente trabalhar Observac ¸ao por exemplo com n ∈ N tal que n > n0 onde n0 ´e um n´ umero natural fixado. Representaremos uma sequˆ encia tamb´ em por an

ou

(an )

( a1 , a2 , · · · , an , · · · ) .

ou

Exemplo I.1. • (2, 4, 6, · · · , 2n, · · · ), sequˆencia de n´ umeros pares positivos e portanto tem termo geral an = 2n para 0 < n ∈ N. • (0, 3, 6, · · · , 3n, · · · ) sequˆencia de inteiros n˜ ao negativos e m´ ultiplos de 3 cujo termo geral ´e an = 3n para n ∈ N. 3

  1 • 1, 21 , 13 , 14 · · · , n1 , · · · , cujo termo geral ´e an = e neste caso, n˜ ao faz sentido tomar n n = 0.   a2n = 2n + 1 para n = 0, 1, 2 · · · • (1, 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, · · · ) cujo termo geral ´e  a = 2n para n = 0, 1, 2 · · · 2n+1

• (1, −3, π,

√

2, 7, 10, 104 , · · · ). Esta sequˆencia n˜ ao tem termo geral expl´ıcito em fun¸ca˜o

de n pois tomamos valores arbitr´ arios para constru´ı- la. Podemos representar geometricamente uma sequˆ encia, plotando-a sobre uma reta horizontal orientada. a1

an

a3

a2 a4

r

r

r

r

r

✲

Ao estudar sequˆ encias, um dos nossos objetivos ser´ a verificar se elas apresentam padr˜ oes espec´ıficos. Por exemplo, h´ a 5000 anos os eg´ıpcios faziam medi¸c˜ oes anotando o n´ıvel d’´ agua do Rio Nilo em diversas ´ epocas do ano. Com esta cole¸c˜ ao de n´ umeros observaram ciclos de cheia num per´ıodo de 365 dias, que mais tarde foi chamado de ano. Com suas anota¸c˜oes dividiram este per´ıodo (o ano) em trˆes outros que denominaram de per´ıodos de cheia, semeadura e colheita. O conjunto de n´ umeros por eles coletados, apresentavam um padr˜ ao peri´ odico. Um exemplo num´erico simples de padr˜ ao peri´ odico ´e facilmente observado na sequˆencia (1 + (−1)n ) = (2, 0, 2, 0, 2, 0 · · · ) para n ∈ N. Mas existem outros padr˜ oes que ser˜ ao interessantes para n´ os, e que podem ser percebidos facilmente pelas sequˆencias dadas anteriormente. Por exemplo, observamos facilmente que os elementos das sequˆencias an = 2n ou an = 3n crescem arbitrariamente, `a medida que n fica arbitrariamente grande. J´ a para os elementos da sequˆ encia an =

1 n

observamos que ficam

arbitrariamente pr´ oximos de 0 a medida que n fica arbitrariamente grande. N˜ ao ´e poss´ıvel √ perceber um padr˜ ao em (1, −3, π, 2, 7, 10, 104 , · · · ). Podemos buscar in´ umeros exemplos de sequˆ encias, nos apoiando nas fun¸co˜es reais estudadas no C´ alculo I. Tomemos f : [0, ∞) → R. Por estar definida em [0, ∞), em particular 4

tamb´em est´ a definida em N e assim sua restri¸c˜ao a este conjunto fornecer´ a uma sequˆ encia real an = f (n). Exemplo I.2. • an = n para n ∈ N que vem de f (x) = x. • an = e−n para n ∈ N que vem de f (x) = e−x . • an =

n2

n x para n ∈ N neste caso f (x) = 2 x −x+1 −n+1

• an = (−1)n = cosnπ para n > 0 ou (−1, 1, −1, 1, · · · ).

Mas nem toda sequˆ encia ´ e restri¸c˜ ao de fun¸c˜ oes reais ao conjunto dos n´ umeros naturais. Exemplo I.3. • an = n! ou (1, 1, 2, 6, 24, · · · , n!, · · · ). (−3)n . n!   1 se n ´e par n • an =  n! se n ´e ´ımpar, • an =

isto ´e,

1 1 1 (an ) = (1, , 6, , 120, · · · ) 6 2 4

Algumas sequˆ encias s˜ ao obtidas de maneira iterativa que podem ou n˜ ao resultar numa

sequˆencia vinda de fun¸c˜ oes reais. Exemplo I.4. Suponha que p(n) seja uma dada popula¸c˜ ao de indiv´ıduos no per´ıodo de tempo n, ano n por exemplo. No modelo de dinˆ amica populacional de Malthus ´e admitido que a gera¸ca˜o seguinte ser´ a proporcional a popula¸c˜ ao atual. Assim se r > 0 ´e tal constante de proporcionalidade teremos que pn+1 = rpn . Note que se tomarmos p0 = 1, ao avaliarmos pn para alguns valores de n obtemos a sequˆ encia: (pn ) = (1, r, r 2 , r3 , · · · , r n , · · · ). Neste caso ´e relativamente f´ acil perceber que dependendo do valor de r a popula¸ca˜o ir´a crescer arbitrariamente, manter-se constante ou tender a zero e portanto se extinguir. Mas veremos isso formalmente adiante. 5

. Exemplo I.5. Um modelo populacional mais real´ıstico ´ e dado pela equa¸c˜ao log´ıstica: pn+1 = α(1 − pn )pn , onde α > 0. Neste modelo ´e levado em conta que se a popula¸c˜ ao for ”muito grande”’, mecanismos naturais dever˜ ao fazer com que menos indiv´ıduos nas¸cam, mas se for ”pequena”’, alimento e espa¸co em abundˆ ancia dever˜ ao fazer com que a popula¸c˜ ao cres¸ca mais rapidamente. Exerc´ıcio I.1. Se α =

1 e p0 = 10−1 escreva os primeiros 6 termos desta sequˆencia. 2

Atrav´ es das fun¸c˜ oes reais de uma vari´ avel que buscaremos inspira¸ca˜o para v´ arios dos padr˜ oes procurados em sequˆ encias. Defini¸ c˜ ao I.1.2. a) Uma sequˆencia de n´ umeros reais an ser´ a limitada superiormente se existe N ∈ R tais que an ≤ N para todo n. Neste caso N ´e dito uma cota superior para an . b) Se existe M tal que an ≥ M para todo n ent˜ ao dizemos que ela ´e limitada inferiormente. Neste caso M ´e dito uma cota inferior para an . c) Se an for limitada inferiormente e superiormente ent˜ ao dizemos que ela e´ limitada. Exemplo I.6. • an = (−1)n ´e limitada pois |(−1)n | = 1 e portanto −1 ≤ (−1)n ≤ 1 para todo n. Neste caso −1 e 1 s˜ ao respectivamente cotas inferior e superior para (−1)n .

• an =

1 1 ´e limitada pois 0 ≤ 2 ≤ 1 para todo n > 0. 2 n n

• an = n! ´e limitada inferiormente j´ a que ´ e sequˆ encia de n´ umeros positivos. Mas n˜ ao ´e limitada pois para todo M existe n0 > M logo, qualquer que seja n > n0 temos an = n! > n > M. Logo an n˜ ao tem cota superior. • an = (−2)n n˜ ao ´e limitada inferiormente nem superiormente. Veja que se uma sequˆ encia possui uma cota superior N , qualquer n´ umero maior que N tamb´em o ser´ a. Assim faz sentido procurarmos a menor das cotas superiores de uma 6

sequˆencia o que denotaremos por Supremo de uma sequˆencia. N˜ ao mostraremos, mas todo sequˆencia (an ) limitada superiormente possui supremo, o que denotaremos por sup{an }. Analogamente, toda sequˆ encia limitada inferiormente possui a maior das cotas inferiores o que denominaremos por ´ınfimo de (an ) e denotaremos por inf{an }. Destacamos os seguintes resultados relativos aos supremo e ´ınfimo de sequˆ encias: Se an ´e limitada superiormente e α = sup{an } ent˜ ao para cada n´ umero ε > 0 existe ´ındice n0 e correspondente elemento an0 tal que

an0 > α − ε. an r



an0 r

r

✲

α = sup{an }

α−ε

De modo inteiramente an´ alogo, se an ´e limitada inferiormente e β = inf{an } ent˜ ao para cada n´ umero ε > 0 existe ´ındice n1 e correspondente elemento an1 tal que

an1 < β + ε. an1 r



r

β = inf {an }

β+ε

7

an r

✲

I.2

encias Convergentes e Divergentes Aula 2: Sequˆ

Podemos classificar uma sequˆ encia quanto ` a monotonicidade. Defini¸ c˜ ao I.2.1. Uma sequˆ encia (an ) ser´ a dita mon´ otona crescente se existir ´ındice n0 tal que para n > n0 tem-se an ≤ an+1 . Diremos que ser´ a estritamente mon´ otona crescente se existir ´ındice n0 tal que para n > n0 tem-se an < an+1 . Analogamente, uma sequˆ encia (an ) ser´ a dita mon´ otona decrescente se existir ´ındice n0 tal que para n > n0 tem-se an ≥ an+1 . Diremos que ser´ a estritamente...