Appunti di geometria analitica - 7 PDF

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appunti presi a lezione utili per sostenere l'esame in maniera adeguata...

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Appunti di geometria analitica Rette e piani nello spazio Parallelismo fra una retta ed un piano nello spazio ricordando che è immediato determinare un vettore r parallelo alla retta ed un vettore n ortogonale al piano, e che retta e piano sono paralleli se e solo se tali due vettori sono ortogonali, si ricava direttamente da quest’ultima osservazione la condizione di parallelismo. Ortogonalità fra una retta ed un piano nello spazio un piano ed una retta si dicono ortogonali se la retta è parallela ad un vettore ortogonale al piano, cioè se r è parallelo ad n : si ricava allora immediatamente la relativa condizione Angolo fra una retta ed un piano nello spazio si definisce come angolo tra una retta r ed un piano a nello spazio il complementare dell’angolo fra la retta r ed una (qualsiasi) retta ortogonale al piano, cioè il complementare dell’angolo tra un vettore r parallelo alla retta ed un vettore n ortogonale al piano; dato che per quanto riguarda l’angolo fra vettori abbiamo la formula per calcolare il coseno, ne consegue che per l’angolo di una retta ed un piano ricaviamo una formula che individua il seno, dato che risulta sen ra = cos rn . (Oss.: l’angolo tra una retta ed un piano può anche essere definito come il più piccolo degli angoli che la retta forma con le rette del piano, o ancora come l’angolo che la retta forma con la sua proiezione ortogonale sul piano, cioè con la retta del piano ottenuta intersecando quest’ultimo con il piano contenente la retta assegnata ed ortogonale al piano assegnato. Queste definizioni, che con procedimenti di geometria sintetica si dimostra essere equivalenti alla prima da noi data, sono però dal punto di vista applicativo molto più scomode) Intersezioni fra rette e piani nello spazio se la retta è data in equazioni cartesiane generali, le intersezioni si ottengono risolvendo il sistema dei tre piani, il piano dato ed i due piani che individuano la retta; se la retta è data in equazioni parametriche, cioè di essa si conosce il punto generico in funzione di un parametro t , si determinano i valori di t per i quali il punto generico appartiene al piano (nel senso che le sue coordinate, sostituite al posto delle variabili nell’equazione del piano, la soddisfano: si ottiene in tale modo un’equazione lineare nel parametro t, le cui soluzioni — una, nessuna o ogni valore - sono i valori del parametro che determinano i punti appartenenti alla retta ed al piano)

Posizione reciproca di una retta ed un piano nello spazio dalle considerazioni precedenti risulta immediatamente che sono possibili tre casi; ogni punto della retta appartiene al piano, cioè la retta giace sul piano, oppure nessun punto della retta appartiene al piano (e in entrambi questi casi piano e retta sono paralleli) oppure retta e piano hanno uno ed un solo punto in comune. Distanze concetto generale di distanza di due insiemi di punti come minima distanza di un punto del primo insieme e di uno del secondo insieme; ci si riconduce quindi alla distanza di due punti Distanza punto retta nel piano significato geometrico e determinazione della formula relativa Distanza di due rette nel piano è significativa solo se le due rette sono parallele ; sua determinazione riconducendosi al caso precedente Distanza punto piano nello spazio significato geometrico e determinazione della formula relativa Distanza di due piani nello spazio significativa solo nel caso di parallelismo; sua determinazione riconducendosi al caso precedente Distanza di una retta ed un piano nello spazio significativa solo nel caso di parallelismo; sua determinazione riconducendosi al caso precedente Distanza di un punto da una retta nello spazio significato geometrico e sua determinazione (eventuale formula tramite i vettori) Distanza di due rette nello spazio significativa solo nel caso di rette parallele o sghembe; nel caso di rette parallele ci si riconduce al caso precedente; nel caso di rette sghembe si tratta di ricercare il "segmento di minima distanza", cioè quel segmento, che si dimostra esistere ed essere unico, avente un estremo sulla prima retta, l’altro estremo sulla seconda, ed ortogonale ad entrambe: in più modi, ma anche con sole considerazioni di geometria sintetica, si dimostra che tale segmento è il più piccolo tra quelli aventi un estremo su una retta e l’altro sull’altra, da cui il suo nome Rette bisettrici Vettore che ha la direzione della bisettrice dell’angolo formato da due vettori se due vettori u e v hanno lo stesso modulo, in particolare quindi se sono due versori, un vettore che ha la direzione della bisettrice è

u+v , se i due vettori non hanno lo stesso modulo si possono considerare i relativi versori u/1/2 u1/2 e v/1/2 v1/2 , e si ottiene quindi il vettore u/1/2 u1/2 + v/1/2 v1/2 (il risultato può essere dimostrato tramite le proprietà dei vettori, o sipuò far derivare dalle proprietà geometriche del rombo) Rette bisettrici di due rette nello spazio (si suppone, in generale, che le rette siano incidenti, altrimenti non si può parlare di rette bisettrici, ma eventualmente solo di direzioni bisettrici) Detto P il punto intersezioine delle due rette r ed s , ed individuati due vettori aventi lo stesso modulo (per esempio due versori) r ed s paralleli rispettivamente alle due rette, le bisettrici sono le rette per P parallele ai due vettori r+s e r-s Rette bisettrici di due rette nel piano possono essere individuate con il metodo generale visto nello spazio, o, dato che nel piano c’è una comoda formula per esprimere la distanza punto retta, le due bisettrici possono essere individuate (nel loro complesso) come il luogo dei punti equidistanti dalle due rette date (tenuto conto che nella geometria sintetica si dimostra che le bisettrici coincidono appunto con tale luogo) Equazioni di luoghi geometrici, nel piano e nello spazio Riprendiamo degli argomenti di cui si è già parzialmente trattato in precedenza, per esporli in maniera un po’ più organica e completa. Un luogo geometrico è, come noto, l’insieme di tutti e soli i punti che soddisfano ad una o più determinate proprietà espresse, in generale, in termini geometrici. Un’equazione, o equazioni di tale luogo si ottengono traducendo in formule le proprietà geometriche che caratterizzano i luogo considerato. A seconda dei casi potrà essere più agevole o più comodo trovare equazioni di tipo cartesiano generale [ nel piano: f(x,y)=0 o piu equazioni di questo tipo, e nello spazio: f(x,y,z)=0 o più equazioni di questo tipo; rientrano ovviamente in questo caso le equazioni di una retta nel piano e le equazioni di un piano e di una retta nello spazio] o piuttosto equazioni di tipo parametrico, quelle che danno il "generico punto" del luogo [ x=x(t) , y=y(t) nel piano, o x=x(t) , y=y(t) , z=z(t) nello spazio, nel caso di funzioni di un parametro, o eventualmente funzioni di più parametri; rientrano nel caso di un parametro le equazioni parametriche di una retta, sia nel piano che nello spazio, nel caso di due parametri le equazioni parametriche di un piano nello spazio] . Per ovvia estensione si considerano poi come luoghi geometrici gli insiemi di tutti e soli i punti le cui coordinate soddisfano una determinata

equazione, o un sistema di equazioni cartesiane (cioè nelle incognite x , y nel piano o x , y , z nello spazio) o le cui coordinate si ottengono in funzione di uno o più parametri (equazioni parametriche). In tali casi la "proprietà" che caratterizza tali luoghi non è espressa in termini geometrici bensì in termini analitici (il fatto di soddisfare a quelle determinate equazioni). Luoghi di questo tipo sono ad esempio i grafici di funzioni in una o due variabili....