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Appunti di Statistica Aziendale, parte Viviani####### Paragrafo 4.####### Controllo statistico della qualità: concetti generaliIniziamo definendo il concetto (astratto, riferito a un fenomeno collettivo) di qualità con lo scopo di misurare un fenomeno, come ad esempio definiamo il lavoratore per pot...

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1 Appunti di Statistica Aziendale, parte Viviani

Paragrafo 4.1 Controllo statistico della qualità: concetti generali Iniziamo definendo il concetto (astratto, riferito a un fenomeno collettivo) di qualità con lo scopo di misurare un fenomeno, come ad esempio definiamo il lavoratore per poter misurare l’occupazione. La qualità come adeguatezza all’uso: secondo l’ASQC (American Society for Quality Control) la qualità concerne la totalità degli aspetti e delle caratteristiche di un prodotto/servizio che influiscono sulla sua capacità di soddisfare determinate esigenze. L’ ASQC enfatizza il punto di vista del consumatore perchè infatti ad oggi l’obiettivo del mercato è quello di soddisfare la domanda migliorando sempre di più la qualità (attenzione rivolta al consumatore non alla produzione come in passato). In altre parole, La qualità è l’insieme di tutte le caratteristiche di un prodotto/servizio che permettono al pr/ser di raggiungere un determinano standard o soddisfano determinare esigenze. Esempio: se definiamo come standard la soddisfazione del cliente, un prodotto è di qualità se raggiunge quello standard. Introduciamo adesso due strumenti che permettono di garantire la qualità del prodotto/servizio che sono sequenziali: prima definisco le caratteristiche di progettazione e poi quelle di tolleranza; quest’ultime sono i limiti entro i quali le caratteristiche di progettazione devono stare per far si che il prod/serv sia di qualità. -caratteristiche di progettazione: Concernono i requisiti funzionali del prodotto e/o la sua capacità a rispettare proprietà tecnico-funzionali prestabilite. Le garanzie di progettazione rispondono alla domanda che funzione ha il prodotto ? Esempio: pallone da calcio. Deve essere utilizzato nel gioco del calcio ecc. -caratteristiche di tolleranza: Concernono i limiti entro i quali certe proprietà del prodotto possono variare senza pregiudicare la funzionalità dello stesso. Le garanzie di tolleranza rispondono alla domanda: il prodotto si conforma ai requisiti prestabiliti e/o dichiarati ? Esempio: peso del palloni da calcio. Risponde alle garanzie se pesa fra 420 g. e 445 g.

Aspetti della qualità (fenomeno multi-dimensionale) 1. Performance: il prodotto fa la funzione richiesta ? 2. Reliability (Affidabilità): quanto spesso il prodotto si rompe? 3. Durability: la vita utile del prodotto 4. Serviceability (manutenibilità): quanto è facile riparare il prodotto se si rompe? 5. Estetica: aspetto esteriore del prodotto 6. Funzionalità: cosa (e come) fa il prodotto? 7. Qualità percepita: reputazione e/o immagine del prodotto e/o della marca. Es: indagini sul gradimento del consumatore 8. Conformità a standard o specifiche: qualità misurata attraverso caratteristiche (anche fisiche) e loro conformità a standard predefiniti. Aspetto che analizzeremo in quanto necessita della statistica. Anna Montagnani

2 Conformità a standard o specifiche Parliamo ancora del prodotto, in particolare vediamo quando un prodotto è conforme o no a delle specifiche prestabilite. Siano: -X la misura della caratteristica della qualità -LSL: lower specification limit (limite di specificazione inferiore) -USL: upper specification limit (limite di specificazione superiore)

τ=

LSL + USL 2

è il punto centrale dell’intervallo di specifica, detto valore target

Se LSL ≤ X ≤ USL allora il prodotto è conforme, poiché X si trova all’interno dei limiti di specificazione prestabiliti Se X< LSL oppure X >USL allora il prodotto è non conforme alle specifiche

Qualità di prodotto e qualità di processo Ora la prospettiva si sposta dal prodotto al processo: il processo deve essere in grado di produrre prodotti conformi alle specifiche prestabilite. Ad esempio interverremo su un macchinario se produce palloni non conformi. Occorre quindi introdurre un modello distributivo per rappresentare la caratteristica di qualità X (es. il peso) della popolazione di prodotti che il processo è in grado di produrre. La caratteristica di qualità si distribuisce normalmente: X ∼ N(µ; σ2 ).

La prima immagine raffigura un processo sotto controllo: le medie e le varianze delle distribuzioni non cambiano nel tempo, eventuali difformità hanno natura accidentale per cui non dipendono dal processo ma dalla variabilità del prodotto. X ∼ N(µ; σ2 ) processo sotto controllo La seconda immagine raffigura un processo fuori controllo; le medie, le varianze o entrambe cambiano nel tempo, infatti X ∼ N(µt; σ t2) poiché la media e la varianza dipendono da t: sono diverse per t diversi, invece devono essere costanti nel tempo. In particolare le prime due distribuzioni differiscono per la varianza ma Anna Montagnani

3 hanno ugual media, la seconda e la terza uguale varianza ma media diversa, la terza e la quarta diversa media e diversa varianza. Cause comuni Quando il processo rimane sotto controllo, le differenze che si osservano nella X (es. nel peso dei palloni prodotti) sono dovute soltanto a cause comuni di variazione che agiscono come fattori di disturbo assimilabili a variazioni accidentali (rumore). Sono fattori accidentale che non riesco a identificare e riconoscere, per cui non significativi. L’effetto cumulato di queste è espresso da σ 2 (variabilità naturale) Cause speciali (o sistematiche) Se il valore di uno (o di entrambi) i parametri varia (e cioè se il processo va fuori controllo), significa che sono in atto cause speciali o sistematiche di variazione. Il fattore che cause tali variazioni è identificabile e riconoscibile, ed è un fenomeno significativo NB: Se un processo rimane sotto controllo, la distribuzione della caratteristica di qualità X è stabile nel tempo e, di conseguenza, i risultati del processo sono prevedibili. Esempio Supponiamo che nello stato di sotto controllo si ha, per il peso dei palloni: X ∼ N(432.5; 16) Avremo: P(420 ≤ X ≤ 445)=0.9982 (99.82%) proporzione pezzi conformi= la probabilità che x sia compresa fra 420 e 445 (ovvero che il prodotto sia conforme alle specifiche) è del 99.82%. e quindi 0.0018 (0.18%) proporzione pezzi non conformi

MEDIA E VARIANZA: come influiscono? La media e a varianza hanno un ruolo fondamentale per la determinazione della qualità del processo, mostriamo come rispondenza alle specifiche sia sinonimo di bassa variabilità intorno al target.

E (X − τ )2 = E (X − µ ) 2 + (µ − τ ) 2 = σ 2 + (µ − τ ) 2 Per ottenere il risultato finale, tolgo e aggiungo µ all’interno del primo termine e sviluppo. Questa espressione esprime quanto si allontana la car di qualità X dal target (punto centrale dell’intervallo dei limiti di specificazione che devono essere rispettati). Per far si che il processo sia sotto controllo, X deve stare vicino al target e quindi questa espressione deve assumere un valore il più basso possibile (X e τ vicini). Ciò è possibile se: (guardo ultimo termine) -σ 2 è basso= varianza bassa (campana stretta e alta) -media μ il più possibile vicina al target τ NB: la E sta per valore atteso (ovvero la media di tutti gli X meno tau al quadrato): il primo termine è un altro modo per scrivere la varianza e la varianza mi dice quanto si allontana X dal target (variabilità di X intorno al target)

Anna Montagnani

4

In altre parole: Media e varianza influiscono sulla proporzione di pezzi non conformi. Occorre pertanto realizzare una distribuzione di X il più possibile addensata sul target τ.

Nella prima immagine media e target sono uguali per cui la diversità sta nella varianza.. nel caso tratteggiato c’è più probabilità nelle code, per cui più probabilità che i pezzi siano non conformi perchè si spalmano su uno spazio maggiore allontanandosi da τ. Nell seconda immagine la varianza è la stessa, differiscono media e target. Come sintetizzare ciò che fa il processo: i limiti di tolleranza

naturale

Con riferimento al processo sotto controllo X ∼ N(µ; σ2 ), i limiti di tolleranza naturale sono centrati sulla media di processo e definiti come: dove:

LNTL = µ − 3σ

UNTL = µ + 3σ

LNTL: lower natural tolerance limit UNTL: upper natural tolerance limit L’intervallo (LNTL, UNTL) contiene il 99,73% della produzione, tale percentuale si ha per definizione (vedi immagine sopra) Esempio Supponiamo che nello stato di sotto controllo si ha, per il peso dei palloni: X ∼ N(432.5; 16) Quindi μ=432.5 σ=4 (radice di 16) I limiti di tolleranza naturale sono: LNTL=420.5 UNTL=444.5 Possiamo allora affermare che quasi tutti i palloni (il 99.73% della produzione !) avranno un peso compreso fra 420.5 g. e 444.5 g.

Indici di capacita di processo Grazie a questi indici, capiremo se il processo è sotto controllo o meno. Anna Montagnani

5 Essi mettono a confronto quello che è richiesto (v. limiti di specificazione) con quello che il processo sa fare (v. i limiti di tolleranza naturale). Cp : capacità effettiva di processo quando µ=τ Cpk: capacità effettiva di processo anche quando µ≠τ NOTA BENE: - C p ≥ Cpk SEMPRE!! - quando µ=τ allora C p = Cpk

Cp =

USL − LSL USL − LSL USL − LSL USL − LSL = = = UNTL − LNTL (µ + 3σ ) − (µ − 3σ ) (µ + 3σ − µ + 3σ ) 6σ

Numeratore: quello che è richiesto (intervallo di specifica) Denominatore: quello che il processo sa fare (intervallo di tolleranza naturale) I due intervalli sono centrati sulla media µ. Pertanto C p misura l’effettiva capacità di processo quando µ=τ.

Cp ≥1  processo capace (processo con almeno 99.73% di pezzi conformi), i limiti di specificazione sono maggiori di quelli di tolleranza: ciò che è richiesto è maggiore di ciò che il processo sa fare, per cui i prodotti saranno sicuramente conformi

Cp 1 allora la varianza within è trascurabile Se fFα)= α Il p-level è il piu basso livello di probabilità entro il quale posso decidere di accettare l’ipotesi nulla (regola di decisone più stringente di alfa)

1) Se F oss>Fα (oppure è equivalente dire p-level1 di ogni



con ij v.c. peso del pallone j (j=1,…,n; n>1) del campione i (cioè singolo elemento del campione), abbiamo che:

Xi =

1 n  X ij n i =1 è la media campionaria

Anna Montagnani

20

E ( X i | processo sotto controllo ) = µ0 Var (X i | processo sotto controllo ) =

σ 20 n

cioè: il valore atteso (la media) delle medie campionarie, sotto l’ipotesi di processo sotto controllo, coincide con la media generale. E la varianza della media campionaria, sotto ipotesi di processo sotto controllo, è la varianza generale diviso n. Per cui: Linea centrale: LC=µ0

UCL LCL

= LC ± 3

σ0 n

S-chart (monitoraggio di σσ): LC, LCL, UCL

S chart (monitoraggio di σσ Vediamo adesso come si costruisce il control chart per il monitoraggio della variabilità del processo.

X ~ N (µ ,σ 2 )

0 0 con Xij : peso del pallone j (j=1,…,n; n>1) Sempre sotto l’ipotesi di processo sotto controllo del campione i, abbiamo che la deviazione standard campionaria è: (NB: la varianza campionaria è la sommatoria degli scarti al quadrato fra elementi del campione e la propria media. È la varianza della media campionaria, ogni campione ha una media e una varianza che è più piccola di quella generale)

Si =

1 n  ( X − X i )2 n −1 j= 1 ij

E( S i | processo sotto controllo) = c4σ 0 il valore atteso della deviazione standard campionaria coincide con la varianza corretta con c 4 che è una costante che troviamo nelle tabelle il cui valore dipende dalla numerosità del campione (n) n

c4

2 3 4 5 6 7

0.798 0.886 0.921 0.940 0.952 0.959

Var( Si | processo sotto controllo) = (1− c24 )σ 02 coincide con la varianza generale corretta. campionaria, maggiore è meglio è.

(1-c 42)

la varianza della deviazione standard campionaria fattore di correzione che si riferisce alla dimensione

UCL

=c σ Linea centrale LC 4 0

LCL

= LC ± 3σ 0 (1− c 24 )

Esempio: Produzione palloni da calcio. Misura di qualità X: peso del pallone (in g.). Processo sotto controllo X∼ N(430,12.25) da cui σ0 =3.5. Dimensione campione n=5. n 2 3 4 5 6 7

c

4

0.798 0.886 0.921 0.940 0.952 0.959

Anna Montagnani

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LC = 3 .5 × 0 .94 = 3 .29

UCL LCL

= 3.29 ± 3 × 3.5 (1 − 0.94 2 ) =

6 .87 − 0 .29  0

Notiamo che LCL è minore di zero ma poiché la varianza campionaria (e quindi anche la deviazione standard campionaria che è la sua radice) è elevata al quadrato non può assumere valori negativi, arrotondiamo a zero LCL. Da questo esempio deduco che Nel caso dell’ S-chart (la distribuzione della deviazione standard campionaria è asimmetrica) tali limiti hanno una probabilità di falso allarme che dipende da n e che non è equiripartita esternamente a LCL e UCL (la linea centrale non sta sempre in mezzo ai due limiti). Tutto dipende dal coefficiente c 4 il quale dipende da n. Mentre Nel caso dell’x-bar chart (la distribuzione della media campionaria è simmetrica) tali limiti hanno sempre la probabilità di falso allarme uguale a 0.0027 equiripartita esternamente a LCL e UCL. Impostazione e utilizzo del control chart: fasi

1. Si sceglie la dimensione campionaria n 2. Si impostano i due control chart (x-bar e S) calcolando LC, UCL, LCL in funzione dei parametri di processo e di n. 3. Si procede all’estrazione del campione mentre il processo lavora. 4. Man mano che si estrae un campione, si calcolano su questo media e deviazione standard e si riportano i valori sui rispettivi control chart

5. Si interpretano i grafici guardando prima all’S-chart e poi all’x-bar chart!! I limiti di controllo che calcolo per l’x-bar dipendono dalla varianza, per questo devo prima controllare se ci sono stati degli shift nel s-chart, se così fosse molto probabilmente lo shift nel x-bar dipende da quello. (vedi imm sotto) 6. Se ci sono punti fuori limite si interrompe il processo e si va a cercare la causa del malfunzionamento. Altrimenti si procede nell’estrazione del successivo campione … e così via.

E’ necessario prima accertarsi che non è cambiato il valore σ0 che entra nel calcolo dei limiti di controllo dell’x-bar chart. Se è cambiato il valore di σ 0, allora i limiti di controllo dell’x-bar chart non sono più validi. Anna Montagnani

22 Lettura di un control chart Il control chart è in pratica un test delle ipotesi. Se il punto cade fuori dai limiti di controllo si conclude che il processo è andato fuori controllo (per la media, per la varianza o per tutti e due i parametri). TUTTAVIA, nella lettura del control chart, si deve tener conto anche dell’andamento della spezzata dei punti rispetto al tempo (rispetto alla successione temporale dei campioni). Certi andamenti possono indurre sospetti di presenza di malfunzionamenti. Vediamo alcuni andamenti sospetti: -

Quando il punto va fuori dai limiti di controllo e abbiamo un andamento oscillatorio Si rifiuta l’ipotesi nulla e si conclude che il valore del parametro è cambiato. È l’impiego del control chart come test delle ipotesi (già visto)

-

Sequenza di valori sopra o sotto la linea centrale. Una sequenza di 7 o più punti consecutivi deve ritenersi sospetta. Sequenza di valori in diminuzione o in aumento. Una sequenza di 7 o più punti consecutivi deve ritenersi sospetta.

-

Negli ultimi due casi le aree sopra e sotto la spezzata sono diverse

La dimensione temporale nei control chart È importante ricordare che i dati riportati su un control chart provengono da un processo produttivo che lavora nel tempo I dati riportati sul control chart seguono la sequenza cronologica dei campioni estratti dalla produzione che via via esce dal processo.

I dati riportati sul control chart formano una serie storica e i dati di un processo sotto controllo riportati su un control chart assumono la forma di una serie storica di livello costante (v. Capitolo 7). (consiglio di guardare esempio slides 28,29,30)

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Sotto controllo e sotto controllo statistico Processo sotto controllo (in senso proprio): è stato definito come quel processo che mantiene stabili nel

tempo i valori dei parametri. Processo sotto controllo statistico: il processo per il quale il control chart non evidenzia segnali di fuori controllo, dove i limiti di controllo sono fissati da noi. Di fatto noi non sapremo mai se il processo è sotto controllo ma solo se lo è nel senso statistico. Il control-chart ha, come qualunque test delle ipotesi, dei margini di errore: la probabilità di non osservare un segnale quando c’è stato lo shift è la probabilità dell’errore di II tipo.

Il campionamento: il concetto di sottogruppo razionale I campioni dovrebbero essere scelti in modo tale che ogni singolo campione comprenda unità prodotte nelle stesse condizioni. Per tale motivo, si parla di rational soubgroups (sottogruppi razionali). L’elemento di razionalità sta nel fatto che la strategia di campionamento deve minimizzare la probabilità che lo shift intervenga fra unità dentro il campione e massimizzare la probabilità che lo shift intervenga fra successivi campioni. In base a questo criterio, è opportuno che i sottogruppi razionali siano formati da unità prodotte in tempi vicini altrimenti sir ischia di avere differenze che dipendono da capacità dei soggetti, da elementi ambientali…

La dimensione campionaria: aspetti statistici E’ preferibile una dimensione adeguata perché: - una ridotta numerosità campionaria determina un valore negativo per LCL nell’ S chart che poi deve essere approssimato a zero; - grazie al teorema del limite centrale, la numerosità campionaria influisce sulla forma della distribuzione della statistica test qualora la variabile X non sia distribuita in modo normale. Se la numerosità del campione è elevata (n>30) la forma della distribuzione della statistica test tende ad una distribuzione normale, anche se la variabile non è distribuita in modo normale. - la dimensione campionaria influisce sulla sensibilità del control chart a individuare shift nei parametri (potenza del test)= maggiore è la numerosità del campione, maggiore è la potenza del test ovvero maggiore è la possibilità di avere info vicine a quelle desiderate.

Dimensione campionaria e frequenza di campionamento La scelta di n è connessa anche alla frequenza con cui si fanno i controlli. In teoria sarebbe preferibile esaminare di frequente grandi campioni ma questa è una situazione poco accettabile dal punto di vista economico. In generale si tende a campioni di piccole dimensioni con controlli frequenti (se il flusso della produzione lo consente). I principali fattori da tener conto sono per la scelta di n, sono: Anna Montagnani

24 -

il costo di campionamento legato alle procedure di scelta e misura delle grandezza di qualità (talvolta la misurazione comporta la distruzione dell’unità)

-

la perdita economica dovuta al caso in cui il processo continui a funzionare per un certo arco di tempo in condizioni di fuori controllo (aumenta la quota di pezzi non conformi)

L’ipotesi di normalità L’ipotesi di normalità guida nella determinazione dei limiti di controllo del control chart ma talvolta la normalità non c’è. Dal punto di vista operativo tuttavia il control chart nella sua forma originale di Shewhart come qui è stata introdotta, rimane un efficace strumento per il controllo on-line. Il control chart va considerato essenzialmente come un metodo euristico basato anche sull’esperienza e la conoscenza del funzionamento del processo produttivo.

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So che l’errore l’errore si distribuisce normalmente con media 0 e varianza sigma quadro (omoschedsticità) e so che gli errori sono uno indipendente dall’altro. vedi prima ipotesi sopra So che la variabile dipendente Y ha s...