Appunti - Statistica - Indici di posizione - a.a. 2014/2015 PDF

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in questo capitolo:

2.1 Definizione e proprietà generali degli indici di posizione 2.2 Moda

INDICI DI POSIZIONE

2.3 Percentili e Mediana 2.4 Medie Potenziate

Statistica I - a.a.2014/2015

2.5 Proprietà della media aritmetica R. Paroli - a.a. 2013/2014

2.1 Definizione e proprietà generali degli indici di posizione

Definizione generale

GLI INDICI DI POSIZIONE sono indici sintetici che evidenziano le caratteristiche essenziali della distribuzione del carattere

Date n osservazioni v1,v2,…,vn o la variabile statistica X (modalità+frequenze)

un indice di posizione (o statistica o media) è una funzione dei dati

Qual è il voto medio riportato nella prova intermedia di Statistica dagli studenti del II anno????

= (v1,v2,…,vn) =(X)

Attraverso gli indici di posizione è possibile confrontare statistiche che rappresentano ilivelli/valori tipici di due diverse distribuzioni

che gode delle seguenti proprietà: Hanno riportato voti più alti le femmine o i maschi ???? R. Paroli - a.a. 2013/2014

R. Paroli - a.a. 2013/2014

PROPRIETA’ GENERALI 1) internalità (condizione di Cauchy) l’indice di posizione deve essere compreso tra il minimo ed il massimo dei dati osservati

osservazioni: - 1) 2) e 3) indice di posizione (media) in senso stretto

xmin  (X)  xmax 2) monotonicità se due v.s. hanno modalità minori o uguali una dell’altra allora la stessa relazione vale per i rispettivi indici di posizione se X  Y  (X)  (Y) 3) moltiplicatività (cambiamento di u.m.)

- la proprietà di Cauchy è irrinunciabile - se non valgono 2) o 3) indice di posizione (media) in senso lato

se le modalità di una v.s. sono moltiplicate per una costante allora anche il valore dell’indice di posizione viene moltiplicato per la stessa costante (cX) = c (X) R. Paroli - a.a. 2013/2014

R. Paroli - a.a. 2013/2014

2.2 ALCUNI INDICI TIPICI - moda - percentili di ordine p

non analitici

- mediana

MODA

modalità/valore di massima frequenza

Modi di calcolo differenti a seconda della tipologia del carattere.

- medie potenziate aritmetica armonica geometrica quadratica…….

R. Paroli - a.a. 2013/2014



caratteri qualitativi/ quantitativi discreti

analitici x* = Mo(X) = {xj : nj = max ni}

R. Paroli - a.a. 2013/2014

esempio 1: carattere qualitativo

idoneo II scelta difettoso scarto

max ni =19



esempio 2: carattere quantitativo discreto punti vendita 5 6 7 10

ni 19 11 4 2 36

moda=Mo(X)=idoneo

R. Paroli - a.a. 2013/2014

 caratteri quantitativi continui  classe modale

max n i =249

R. Paroli - a.a. 2013/2014

moda=Mo(X)=7

esempio 3: carattere quantitativo continuo xi 7 9 9 11 11 13 13 15

(valore centrale classe di max frequenza)

2° passo: moda= valore centrale della classe modale

141 200 249 115 695

R. Paroli - a.a. 2013/2014

x* = Mo(X) = {xc : nj = max ni}

1° passo: individuare la classe modale (con massima frequenza)



ni

Classe modale

11 13

Mo(X)=(11+13)/2=12

R. Paroli - a.a. 2013/2014

ni 4 5 15 14 38

(punto centrale)

max ni

esempio 4: carattere quantitativo continuo



caratteri quantitativi continui con diversa ampiezza x*

= Mo(X) = {xc : nj/aj = max ni/ai}

(valore centrale classe di max densità di frequenza)

1° passo: individuare la classe modale (con massima densità)

R. Paroli - a.a. 2013/2014

Mo(X)=(11.5+15.5)/2=13.5

Osservazione 2 la moda può non essere unica (la distribuzione si dice plurimodale)

la moda è media solo in senso lato cadendo la monotonicità

esempio: carattere qualitativo colore dei capelli di 3 gruppi

X={1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4} Y={1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4} 1 2

2 4

3 5

Mo(X)=3

4 1

yi ni

1 2

2 4

3 3

Mo(Y)=2

nel ns. caso: anche se xi=yi abbiamo Mo(X)  Mo(Y) !! R. Paroli - a.a. 2013/2014

(punto centrale)

R. Paroli - a.a. 2013/2014

Osservazione 1

xi ni

ai n i/ai 2 20.00 2 12.50 4 30.00 6 24.17

ATTENZIONE: guardando la colonna delle frequenze assolute si sarebbe individuata in modo errato la classe modale !!!!!

2° passo: moda= valore centrale della classe modale

esempio:

ni xi 7.5 9.5 40 9.5 11.5 25 11.5 15.5 120 15.5 21.5 145 330

Nero Castano Biondo Altro

4 3

G1 0.10 0.25 0.60 0.05 1

G2 0.30 0.30 0.30 0.10 1

G3 0.70 0.20 0.05 0.05 1

N.B. frequenze relative

G1: Mo(X)=Biondo G2: Mo(X)=Nero/Castano/Biondo (è plurimodale) G3: Mo(X)=Nero R. Paroli - a.a. 2013/2014

2.3 PERCENTILI e MEDIANA

Attenzione …….

la moda è la modalità cui è associata la frequenza massima e non il valore massimo!!!

modalità/valori che dividono la distribuzione di frequenza ordinata in più parti

Data la seguente distribuzione della variabile X

{8,1,1,2,4} la moda non è 8 (la modalità con valore massimo) ma è 1 (cioè la modalità cui è associata la frequenza massima) in questo caso la modalità 1 ha frequenza 2 al contrario di 2,4,8 che hanno frequenza 1.

R. Paroli - a.a. 2013/2014

• • •

qual’è il reddito familiare che divide il 25% dei più poveri dal resto 75% ? qual’è la soglia di reddito oltre cui sta la fascia dei più abbienti ? quanti bambini di 6 anni pesano più di 25 kg?

R. Paroli - a.a. 2013/2014

Per i QUARTILI

Alcuni esempi sono quartili

permettono di rispondere ad es. alle seguenti domande:

x0.25 = Q1 = 1° quartile

 dividono in 4 parti la distribuzione xmin

(lascia alla sua sinistra il 25% e alla sua destra il 75%)

xmax

x0.50 = Q2 = 2° quartile (lascia alla sua sinistra il 50% e alla sua destra il 50%)

decili

 dividono in 10 parti la distribuzione

x0.75 = Q3 = 3° quartile percentili

 dividono in 100 parti la distribuzione

(lascia alla sua sinistra il 75% e alla sua destra il 25% ) Q1

xmin R. Paroli - a.a. 2013/2014

R. Paroli - a.a. 2013/2014

Q2

Q3

xmax

PERCENTILE DI ORDINE p In generale: il percentile xp di ordine p (0...