Appunti, lezione 1 e 2 - reti due porte - elettronica e elettrotecnica - a.a. 2015/2016 PDF

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Appunti, lezione 1 e 2 - reti due porte - elettronica e elettrotecnica - a.a. 2015/2016...

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cap XI -1

CAPITOLO I RETI

DUE PORTE

1. Reti a più terminali Una rete con n punti di accesso è genericamente rappresentata come in fig. 1: 1 2 3 4 5

Fig. 1 - Rappresentazione a parametri concentrati di una rete elettrica a 5 poli Questa rappresentazione considera la rete come un n-polo che può avere scambi energetici con strutture esterne soltanto attraverso i suoi poli e tutti i fenomeni elettromagnetici prodotti sono confinati all'interno del rettangolo senza poter influenzare altre strutture; si considera una rete come un n-polo quando il punto di vista che interessa è il comportamento elettrico esterno alla rete. Esempi di n-poli sono le schede che formano numerose apparecchiature elettroniche; ciascuna scheda è in genere costituita da un numero elevato di connessioni tra bipoli e tra strutture a stato solido più complesse (chip) a più poli non identificabili con reti costituite da bipoli. Sono particolarmente interessanti alcune strutture che si presentano come blocchi a quattro poli, dette quadripoli o meno comunemente quadrupoli. Un caso particolare, molto diffuso in parecchi problemi tecnici, si ha quando è possibile associare i quattro poli in due coppie tali che la somma delle correnti in ciascuna coppia è nulla; per esempio un caso del genere si ha per un amplificatore audio collegato con una coppia di poli alla sorgente di ingresso (microfono, lettore nastri o compact disk, etc) e con un’altra coppia all’utenza di uscita (diffusori acustici, cuffia, etc). In questo caso ogni coppia di poli è detta porta e il quadripolo è detto più specificamente doppio bipolo o rete due porte; la condizione per cui la corrente entrante in un polo è eguale a quella uscente dall'altro è senz'altro verificata se le porte sono connesse a reti reciprocamente isolate; infatti è sufficiente applicare il primo principio di Kirchhoff (fig. 2) alle due reti per verificare che la somma delle correnti in ogni porta è nulla.

cap XI - 1

cap XI -2 i1

i2 rete due

rete 1

rete 2

porte i2'

i1' i1 − i1′ = 0

i 2 − i 2′ = 0

Fig. 2 – Rete due porte collegato a due strutture che non hanno collegamenti in comune In queste condizioni di funzionamento ciascuna porta si comporta come un bipolo, in quanto la corrente entrante in un polo è sempre eguale alla corrente uscente dall’altro. Un blocco a quattro poli si comporta come una rete 2-porte soltanto in particolari circostanze; in una situazione diversa da quella indicata in fig. 2, il comportamento come rete due porte del blocco a quattro poli inserito in una rete come in fig. 3, non può essere garantito né escluso da una semplice ispezione poiché è ancora possibile che la corrente entrante in una porta sia eguale a quella uscente dall’altra.

A +

e

Fig. 3 - Blocco a quattro poli inserito in rete

In questo caso si manifesta una situazione di incertezza che può essere risolta soltanto conoscendo la particolare costituzione del blocco a quattro poli in esame; ad esempio se nell’interno del blocco a quattro poli non esiste alcun collegamento fra le due porte, come è indicato in fig. 4, allora il blocco a quattro poli si comporta necessariamente come una rete due porte.

+

Fig. 4 - Doppio bipolo collegato a due strutture che hanno collegamenti in comune

Comunque è sempre possibile modificare la rete di fig. 3 in modo che il blocco a quattro poli, di cui si ignora la struttura interna, si comporta certamente come rete due porte; è sufficiente infatti inserire un trasformatore a rapporto unitario, come indicato in fig. 5, per imporre l’eguaglianza delle correnti in ciascuna coppia di poli.

cap XI - 2

cap XI -3

i2 1:1

i1

A +

e

i1’

i2’

Fig. 5 - Blocco a quattro poli che si comporta necessariamente come rete 2-porte

In questo caso indicando con i1 la corrente entrante nel polo 1 e con notazione analoga le correnti degli altri poli, in base al I principio di Kirchhoff applicato alla superficie chiusa che contiene il blocco a quattro poli, dovrà essere: i 1 − i 1′ + i 2 − i 2′ = 0 e poiché il trasformatore impone i2 = i2 ′ , ne consegue che anche per la porta 1 dovrà essere i1 − i1′ = 0 , rispettando così la condizione che garantisce che il blocco a quattro porte si comporta come una rete due porte. L’avere inserito il trasformatore a rapporto unitario non comporta nessun effetto sulla rete se il blocco A, per la sua particolare costituzione interna, si comportava già come rete due porte, ma cambia le correnti in rete obbligando il blocco a comportarsi come rete due porte se, per la sua costituzione interna, nella situazione precedente non si comportava come tale. Il grafo associato ad una rete due porte (fig. 6) deve indicare in modo evidente la condizione che la somma delle correnti entranti in ciascuna porta è nulla. Il grafo è indicato in fig. 4 e si può orientare applicando a ciascuna porta la convenzione degli utilizzatori. 1

2

1 i1 v1

i2 v2

2'

1' GRAFO

1'

2'

Fig. 6 – Rete due porte: grafo orientato e versi di orientamento delle tensioni e delle correnti

Generalizzando si possono definire multibipoli quegli n-poli in cui è possibile associare i poli in coppie, in ciascuna delle quali la somma delle correnti è nulla; è possibile così avere tripli bipoli se i sei poli di accesso alla rete si possono accoppiare in tre coppie, individuando così tre porte, come è per il trasformatore a tre avvolgimenti che è un esempio di un triplo bipolo bilanciato.

cap XI - 3

cap XI -4 2. Reti due porte resistive

Nelle reti lineari e resistive, le grandezze incognite (correnti o tensioni) sono una combinazione lineare di tutte le eccitazioni della rete e pertanto hanno un’espressione generale del tipo: xk ( t ) = ∑ Aki ecci ( t ) Applicando questa relazione ad un bocco a quattro poli privo di eccitazioni nel suo interno e considerando come eccitazioni esterne le due correnti entranti nei poli, i1 e i2, allora le tensioni incognite delle due porte, v1 e v2, saranno date dalla combinazione lineare di queste due eccitazioni.

⎧v1 = r11 i1 + r12 i2 ⎨ = ⎩v 2 r21i1 + r22 i 2 Ove i coefficienti di proporzionalità Aki, avendo le dimensioni di una resistenza, sono stati indicati con r. Nel caso in cui il blocco a quattro poli si comporta come rete due porte, i coefficienti rij dipendono esclusivamente dagli elementi all’interno del blocco, per cui soltanto in questo caso, tali coefficienti possono considerarsi identificativi e caratteristici del blocco a quattro poli. Il sistema di equazioni delle tensioni di porta si può porre anche in forma matriciale: ⎡ v1 ⎤ ⎡r11 r12 ⎤ ⎡ i1 ⎤ ⎢ v ⎥ = ⎢ r r ⎥ ⋅ ⎢i ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 22 ⎦ ⎣ 2 ⎦ Più sinteticamente:

[ v ] = [R ] ⋅ [i]

Un doppio bipolo può essere anche costituito da una struttura a 3 poli, in cui un polo è in comune con le due porte (fig. 7) e in tal caso il doppio bipolo è detto sbilanciato, in contrapposizione al termine bilanciato che viene usato per definire le reti 2-porte costituite da strutture a quattro poli. 1 i1 v1

i2

2 v2

1'

2'

Fig. 7 - Rete 2-porte sbilanciata

Nella pratica le reti due porte sbilanciate si riferiscono prevalentemente ad un determinato dispositivo a tre terminali (transistor), mentre quelle bilanciate rappresentano generalmente strutture più complesse costitite da numerose interconnessioni di bipoli e anche di elementi a tre terminali. Il fatto sorprendente è che per le reti due porte sbilanciate i coefficienti rij che determinano le relazioni tra tensioni e correnti in ciascuna porta, dipendono

cap XI - 4

cap XI -5 esclusivamente dagli elementi all’interno del blocco senza alcuna restrizione, e cioè senza dover fare nessuna considerazione sulle correnti di porta. L’espressione matriciale [ v ] = [R ] ⋅ [i] è analoga alla legge di Ohm dei bipoli resistori e rappresenta la legge costitutiva del doppio bipolo controllato (o pilotato) in corrente; questa forma è particolarmente conveniente quando sono note le correnti impresse, come è nel caso in cui le eccitazioni sono costituite da generatori di corrente o quando una porta è lasciata aperta, nella quale la corrente è nota essendo i=0. Mentre la legge costitutiva dei bipoli può avere solo due forme, una controllata in corrente e l’altra controllata in tensione, quella dei doppi bipoli può avere sei forme poiché vi sono due grandezze controllate da altre due, e si ottengono raggruppando a due a due le grandezze v1, v2, i1, i2. Nella tabella seguente sono indicate le sei forme possibili, poste sia in forma scalare (sistema di equazioni) che vettoriale (forme matriciali), ove gli elementi del vettore sono posti in modo che il primo elemento si riferisce alla porta 1; nel caso in cui si hanno grandezze non distinguibili in base alle porte di accesso (matrici di trasmissione) si pone prima la tensione e poi la corrente.

Sei rappresentazioni del doppio bipolo Rappresentazione

controllata in corrente

Forma scalare ⎧v 1 = r11i 1 + r12i 2 ⎨ ⎩v 2 = r21i 1 + r22i 2

Forma vettoriale

[ v] = [ R] ⋅ [i]

⎧i 1 = g 11v 1 + g 12v 2 ⎨ ⎩i 2 = g 21v 1 + g 22 v 2

i = G ⋅ v

⎧v 1 = h 11i 1 + h 12v 2 ⎨ = ⎩i 2 h21i1 + h22v 2

⎡ i1 ⎤ ⎡v 1 ⎤ ⎢ i ⎥ = H ⋅ ⎢v ⎥ ⎣ 2⎦ ⎣ 2⎦

ibrida inversa

′ v 1 + h12 ′ i2 ⎧i 1 = h11 ⎨ ′ v 1 + h 22 ′ i2 ⎩v 2 = h 21

⎡v1 ⎤ ⎡ i1 ⎤ ⎢v ⎥ = H ′ ⋅ ⎢i ⎥ ⎣2⎦ ⎣ 2⎦

trasmissione diretta

⎧ v2 = A′ v1 + B′ i1 ⎨ ⎩ −i 2 = C ′v1 + D ′ i1

trasmissione inversa

⎪⎧v 1 = Av 2 + B (−i 2 ) ⎨ ⎪⎩i 1 = C v 2 + D (−i 2 )

⎡v 1⎤ ⎡v2 ⎤ ⎢−i ⎥ = T ′ ⋅ ⎢i ⎥ ⎣ 2⎦ ⎣1⎦ ⎡ v2 ⎤ ⎡v 1 ⎤ ⎢ i ⎥ = T ⋅ ⎢− i ⎥ ⎣ 2⎦ ⎣ 1⎦

controllata in tensione ibrida

[ ]

[ ]

[ ]

[]

cap XI - 5

cap XI -6 Il segno meno assegnato alla corrente i2 nelle matrici di trasmissione si giustifica in quanto in questa configurazione, per motivi di convenienza che saranno evidenti più oltre, i coefficienti della matrice sono riferiti ad una corrente uscente dalla porta 2. La rappresentazione delle reti due porte resistive, prive di eccitazioni interne, si può estendere alle reti non resistive trasferendosi nel dominio della pulsazione ω, se ci si limita ad un’analisi nel regime permanente sinusoidale, o nel dominio della pulsazione complessa s, per un’analisi più generale; se la rete è priva di eccitazioni interne e quindi i condensatori e gli induttori sono inizialmente scarichi, le grandezze incognite sono ancora una combinazione lineare delle eccitazioni esterne e la rete due-porte si comporterà analogamente alle reti resistive; in particolare nella rappresentazione controllata in corrente, i coefficienti rij della matrice delle resistenze [R ] sono sostituiti da quattro funzioni di rete zij di una matrice delle impedenze [Z ] , funzione di j ω o di s a seconda della trasformazione effettuata, o, nella rappresentazione controllata in tensione i coefficienti gij della matrice delle conduttanze [ G] sono sostituiti da quattro funzioni di rete yij di una matrice delle ammettenze [ Y] e così via.

3. Determinazione dei coefficienti delle reti due porte resistive Per quanto riguarda le sei matrici definite in base alle tensioni e alle correnti, considerando le reti resistive lineari, il significato dei coefficienti delle matrici è immediato se si pone una delle eccitazioni uguale a zero e si alimenta il bipolo da una sola porta; così ad esempio per la determinazione dei coefficienti della matrice R se si eccita soltanto la porta 1 con un generatore di corrente i1 e si lascia aperta l'altra porta (i2 = 0 ) , nella forma scalare si ha:

⎧ v1 = r11i1 ⎨ ⎩ v2 = r21 i1 Da cui il significato dei coefficienti r11 e r21 a cui si possono dare le seguenti interpretazioni: v v e r11 = 1 r21 = 2 i1 i =0 i1 i =0 2

2

Per cui r11 è la resistenza di ingresso a circuito aperto alla porta 1, essendo il rapporto fra la tensione e la corrente alla porta 1, quando la corrente della porta 2 è nulla; r21 è la resistenza di trasferimento diretta a circuito aperto, ed è il rapporto fra la tensione alla porta 2 e la corrente alla porta 1, quando la porta 2 è aperta. Alimentando il bipolo soltanto dalla porta 2, lasciando aperta la porta 1 (i1 = 0) si

determinano gli altri due coefficienti: ⎧v 1 = r12 i 2 e quindi: ⎨ = ⎩v 2 r22 i 2

r12 =

v1 i2 i = 0 1

e r22 =

v2 i2 i = 0 1

da cui analogamente si hanno le definizioni di r12, resistenza di trasferimento inversa a circuito aperto, e di r22, resistenza di ingresso a circuito aperto alla porta 2. La matrice R cap XI - 6

cap XI -7 sarà chiamata matrice di resistenza a circuito aperto e i quattro parametri r11, r12, r21, e r 22 parametri di resistenza a circuito aperto. In modo duale si possono definire i quattro parametri g11, g12, g21, e g22 , detti parametri di conduttanza in corto circuito, della matrice di conduttanza G, detta matrice delle conduttanze in corto circuito. Si può notare che mentre la matrice G è l’inversa della matrice R nessuno dei coefficienti ghk è il reciproco dei coefficienti rhk. Analogamente si possono determinare i coefficienti della matrice H a parametri ibridi in base alle espressioni delle forme scalari, per cui si ha: i v i v h22 = 2 h12 = 1 h21 = 2 h11 = 1 v 2 i =0 v 2 i =0 i1 v = 0 i1 v = 0 2

2

1

1

Quindi h11, che ha le dimensioni di una resistenza, è la resistenza di ingresso in corto circuito alla porta 1 ed è, per definizione, il reciproco del coefficiente g11; h21 è un numero puro ed è noto come il rapporto di trasferimento di corrente diretto; anche h 12 è un numero puro ed è noto come il rapporto di trasferimento di tensione inverso, mentre h22 , detto conduttanza di ingresso a circuito aperto, reciproco di r22, ha le dimensioni di una conduttanza. La matrice H è detta infatti matrice ibrida (hybrid) proprio perché i suoi coefficienti non hanno dimensioni omogenee. In modo analogo è possibile dare significato e definizione ai parametri di tutte le altre matrici. Poiché in generale in un sistema di equazioni è possibile scambiare i termini noti con le incognite e rappresentare arbitrariamente due grandezze in funzione delle altre due, si può dedurre che da una qualunque forma di rappresentazione è possibile ricavare tutte le altre; è comunque bene porre in evidenza che in alcuni casi particolari, come si ha quando qualche coefficiente ha valore nullo, non sono sempre possibili tutte le rappresentazioni. Nella tabella seguente sono riportate le formule di passaggio da una rappresentazione all’altra per ottenere rapidamente i coefficienti di una qualsiasi matrice.

cap XI - 7

cap XI -8

Formule di passaggio da una rappresentazione all’altra per le reti 2-porte ( Δ A indica il determinante della matrice A ) R

G g22

R

r11

r12

r21

r22

r22

ΔR

G −

H

H’

T

4.

r21

−

ΔG −

−

ΔR

h12

ΔG

h22 h − 21 h22

h22 1 h22

g 21

g 11

ΔG

ΔG

r22 r22 r 1 − 21 r22 r22 r 1 − 12 r11 r11 r21 Δ R r11 r11

ΔR r21 r22 r21

1 h − 12 h11 h11 h21 Δ H

g 11 g 12

r11

H’

ΔH

r12 g 21 g 22

ΔR Δ R Δ R r12

r11 r21 1 r21

H g12

h11 h11

g 1 − 12 g 11 g 11 g 21 Δ G g 11 g 11

h11 h12

ΔG

h22

g12 g 22 1 g 22

g 22 g − 21 g 22 g 1 − 22 − g 21 g21 Δ g − G − 11 g 21 g21

1 ′ h11 h21 ′ ′ h11

ΔH′ h22 ′ h21 ′ − h22 ′ h22 ′

h21 h22 ΔH −

h21

−

−

′ h22

ΔH′ ′ h11

h11

h11 h21 1 − h 21

D B 1 − B

h′ − 12

B D 1 D

ΔH ′

′ h21

′ h11

Δ H′

Δ H′

h11 ′ h12′ h21 ′ h22 ′ 1 h′21 h′11 h′21

A C 1 C

h12 ′ h22 ′ 1 h22 ′′

h12

ΔH

ΔH ΔH

Δ − H h 21 h − 22 h 21

ΔH ′

−

T h12 ′

h′ − 22 ′ h21

ΔH ′

h′21

ΔT C D C

−

ΔT B A B

ΔT D C D

Δ C − T A A B 1 A A A

B

C D

Teorema di reciprocità

Le reti elettriche costituite da interconnessioni di bipoli elementari possiedono una particolare proprietà; nel caso in cui agisce una sola eccitazione (causa) e si consideri soltanto una corrente (effetto), è possibile scambiare la posizione dell’effetto con quella della causa (legge di reciprocità di Lorenz); ad esempio nella rete in fig. 8A si consideri soltanto la corrente i ( i = 0,35 A ) prodotta dal generatore E ( E = 100 V ); spostando il generatore nel lato ove è stata considerata la corrente (fig. 8B), e orientandolo secondo il verso della corrente, si troverà che la stessa corrente i ( i = 0,35 A ), orientata secondo il verso del generatore, percorrerà il lato ove era il generatore.

cap XI - 8

cap XI -9 50 50

48

30 48

30

+

i1=0,35 E=100

i=0,35

60

E=100

60

+

40

40

100

100

B

A

Fig 8 - Rete elettrica a cui è stata scambiata la posizione dell’effetto con quella della causa (i valori delle grandezze elettriche sono posti accanto ai simboli, senza le dimensioni) Questa proprietà è un caso particolare del teorema di reciprocità e si può dimostrare applicando il teorema di Tellegen; infatti, siano date due reti appartenenti allo stesso grafo, con le stesse resistenze di lato ed eccitate da un solo generatore posto in due lati diversi; le due reti possono essere rappresentate schematicamente come in fig. 9 ove due diversi generatori di tensione sono posti nei due lati diversi indicati con h e k. ih

ik′

Rh eh

Rk +

+

ek′

Fig 9 - Reti appartenenti allo stesso grafo, costituite dalle stesse resistenze ed eccitate con due generatori di tensione diversi posti nei lati h e k Si indichino con un apice tutte le grandezze elettriche della rete a destra in fig. 6 e si applichi il teorema di Tellegen due volte: una prima volta considerando i prodotti delle tensioni di ciascun lato della prima per le corrispondenti correnti della seconda, ed un’altra volta considerando le correnti della prima e le tensioni della seconda; applicando la convenzione degli utilizzatori per tutti i lati della rete, si ha:

∑ vi′′ = 0 ∑ v′i = 0

I applicazione II applicazione

cioè:

( −e h + R hih) ⋅i h′ + ∑ R ii i ⋅ i′i = 0 i

cioè: (− e′k + R k i′k ) ⋅ i k + ∑ Rii′i ⋅ i i = 0 i

Essendo entrambe le espressioni eguali a zero, sussiste l’eguaglianza: ( − eh + Rh ih ) ⋅ ih′ + ∑ Ri ii ⋅ ii′ = ( − ek′ + Rk ik′ ) ⋅ ik + ∑ Ri ii′ ⋅ ii Si osserva che i termini

∑ R i ⋅ i′ i i

i

i

i

e

∑ R i′ ⋅ i i i

i

i

non sono eguali in quanto nella prima somma

i

ma...