Appunti - Matematica II - Teorema del differenziale totale - a.a. 2015/2016 PDF

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Teorema del Differenziale Totale La differenziabilit`a di una funzione implica la sua derivabilit`a in ogni direzione, mentre non `e vero il viceversa. Si ha per`o il seguente teorema, noto come il teorema del differenziale totale. Teorema. Supponiamo che la funzione f (x) abbia derivate parziali in un intorno di x0 e che queste siano continue in x0 . Allora f `e differenziabile in x0 . Dim. Per semplicit`a, consideriamo solo il caso di due variabili. Mostriamo che la quantit`a f (x, y) − f (x0 , y0 ) − fx (x0 , y0 )(x − x0 ) − fy (x0 , y0 )(y − y0 ) p (x − x0 )2 + (y − y0 )2 tende a zero qundo il punto (x, y) tende a (x0 , y0 ). Per questo, cominciamo col valutare la differenza f (x, y) − f (x0 , y0 ). Per il teorema di Lagrange esistono due numeri, ξ compreso tra x0 e x, e η compreso tra y0 e y, tali che f (x, y0 ) − f (x0 , y0 ) = fx (ξ, y0 )(x − x0 ) f (x, y) − f (x, y0 ) = fy (x, η )(y − y0 ) Sommando le due equazioni membro a membro i termini f (x, y0 ) si cancellano e si ottiene f (x, y) − f (x0 , y0 ) = fx (ξ, y0 )(x − x0 ) + fy (x, η)(y − y0 ) e dunque f (x, y ) − f (x0 , y0 ) − fx (ξ, y0 )(x − x0 ) + fy (x, η )(y − y0 ) p = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 x − x0 + (x − x0 )2 + (y − y0 )2 y − y0 +(fy (x, η) − fy (x0 , y0 ))p (x − x0 )2 + (y − y0 )2

= (fx (ξ, y0 ) − fx (x0 , y0 )) p

1

le due frazioni al secondo membro sono ambedue minori o uguali a 1 in valore assoluto e quindi il modulo della quantit`a al primo membro si maggiora con |fx (ξ, y0 ) − fx (x0 , y0 )| + |fy (x, η) − fy (x0 , y0 )| . Se ora facciamo tendere (x, y ) a (x0 , y0 ) anche i punti (ξ, y0 ) e (x, η) tenderanno a (x0 , y0 ). Per la continuit`a delle derivate fx e fy l’ultima qunatit`a tender`a anch’essa a 0. Una funzione derivabile in un insieme E e con derivate continue si dice di classe C 1 in E: f ∈ C 1 (E ). Per il teorema del differenziale totale una funzione di calsse C 1 `e differenziabile in ogni punto di E

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