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2020/APPUNTI DI MATEMATICASommario Minorani e maggiorani_____________________________________________________________________ Intervalli__________________________________________________________________________________ Teorema (Bolzano – Weierstuass___________________________________________________...

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APPUNTI DI MATEMATICA

2020/2021

x∅ ∈ ∉ ∋ ∝ ∩ ∪ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ � √π∞≤≥ ≠ α β{}±

Sommario Minoranti e maggioranti_____________________________________________________________________4 Intervalli__________________________________________________________________________________5 Teorema (Bolzano – Weierstuass_____________________________________________________________________7 Valore assoluto___________________________________________________________________________________7

Funzioni con una variabile reale_______________________________________________________________9 Funzioni elementari________________________________________________________________________13 Grafico del seno di x______________________________________________________________________________24 Grafico del coseno di x____________________________________________________________________________24

Limiti____________________________________________________________________________________25 Limiti asintotici (x---> ± ∞ ) di funzioni razionali________________________________________________________34

Continuità di una funzione__________________________________________________________________36 Teorema di Weierstrass:__________________________________________________________________________39

Derivabilità_______________________________________________________________________________40 Interpretazione del rapporto incrementale___________________________________________________________41 Regole di differenziazione_________________________________________________________________________43 Derivazione funzioni composte_____________________________________________________________________44

Formula di Taylor__________________________________________________________________________53 Teoremi fondamentali sulle funzioni derivabili__________________________________________________56 Teorema di Rolle_________________________________________________________________________________56 Teorema di Lagrange_____________________________________________________________________________57 Teorema di Cauchy_______________________________________________________________________________58

Forme indeterminate_______________________________________________________________________59 Studio del grafico di una funzione_____________________________________________________________61 Integrali_________________________________________________________________________________72 Partizioni e somme di Riemann_____________________________________________________________________74 Proprietà dell’integrale definito____________________________________________________________________77 Teorema del valore medio integrale_________________________________________________________________78 Teorema fondamentale del calcolo integrale__________________________________________________________78 Antiderivate____________________________________________________________________________________79 Integrazione per sostituzione______________________________________________________________________80 Area tra curve___________________________________________________________________________________81 Integrazione per parti____________________________________________________________________________81

x∅ ∈ ∉ ∋ ∝ ∩ ∪ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ � √π∞≤≥ ≠ α β{}± Integrali generalizzati_____________________________________________________________________________82

Algebra lineare___________________________________________________________________________84 Matrici e determinanti____________________________________________________________________________84 Rango di una matrice_____________________________________________________________________________89 Orlato_________________________________________________________________________________________91 Teorema di Kronecker____________________________________________________________________________91

Spazio vettoriale ℝn________________________________________________________________________93 Vettori fondamentali o versori di ℝn_________________________________________________________________94 Sottospazi vettoriali di ℝn_________________________________________________________________________95

Sistemi lineari_____________________________________________________________________________98 Teorema di Rouchè - Capelli_______________________________________________________________________98 Uso metodo di riduzione di Gauss__________________________________________________________________100 Sistemi di Cramer_______________________________________________________________________________101

Modelli di Leontiev_______________________________________________________________________102 Funzioni di più variabili____________________________________________________________________108 Curve di livello_________________________________________________________________________________113 Struttura metrica e topologica di ℝn________________________________________________________________115 Limiti_________________________________________________________________________________________120 Derivabilità____________________________________________________________________________________122 Differenziabilità in ℝ2____________________________________________________________________________128 Forme quadratiche______________________________________________________________________________131 i=1 j=1_______________________________________________________________________________________131 Ottimizzazione libera____________________________________________________________________________135 Ottimizzazione vincolata_________________________________________________________________________137

Problema del consumatore_________________________________________________________________141 Problema del produttore_________________________________________________________________________143

x∅ ∈ ∉ ∋ ∝ ∩ ∪ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ � √π∞≤≥ ≠ α β{}±

Insiemi numerici Tipologia  ℕ Insieme dei numeri naturali  interi e positivi  ℤ Insieme dei numeri interi  interi positivi o negativi  ℚ Insieme dei numeri razionali  numeri espressi come frazioni  Hanno una rappresentazione decimale: a) Finita es. 3/2 = 1,5 b) Infinita periodica es. 1/3 = 0,3  ℝ Insieme dei numeri reali  numeri di ℚ e numeri irrazionali  Hanno una rappresentazione decimale infinita non periodica es. √2 = 1,4142…, π =3,14…, e = 2,7182… Simbologia  ℝ*  ℝ / {0}. Escluso 0  ℝ+ ℝ ≥ 0  ℝ_  ℝ ≤ 0  ℝ*+ ℝ > 0  ℝ*_  ℝ < 0 Campi ordinati: ℝ e ℚ  Possibili operazioni: a) addizione b) moltiplicazione a cui si possono applicare le proprietà: 1. commutativa es. x + y = y + x, x * y = y * x 2. associativa es. (x + y = z) x + y + q = z + q, (x * y = z) x * y * q = z * q le quali hanno un elemento neutro: 1. Per l’addizione il numero 0 2. Per la moltiplicazione il numero 1 le quali hanno un elemento inverso: 1. Per l’addizione – x 2. Per la moltiplicazione 1 / x  Relazione d’ordine ≤ con proprietà: 1. Riflessiva  x ≤ x 2. Antisimmetrica  se x ≤ y e y ≥ x allora x = y 3. Transitiva  se x = y e y ≤ z allora x ≤ z  Proprietà di compatibilità, legano le relazioni d’ordine alle operazioni Addizione Se x ≥ 0 e y ≥ 0 allora x + y ≥ 0 Se x ≤ y allora x + z ≤ y + z

Moltiplicazione Se x ≥ 0 e y ≥ 0 allora x * y ≥ 0 Se x ≤ y allora x * z ≤ y * z con z ≥ 0

Ne deduco che ℝ+ è chiuso rispetto alla somma e alla moltiplicazione

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Minoranti e maggioranti 



Dato l’insieme A ⊆ ℝ diciamo che A è limitato inferiormente se esiste un numero α ∈ ℝ tale che α ≤ x dove x ∈ A. o α è detto minorante (minore o uguale a uno dei numeri) di A, se esiste un minorante vuol dire che ne esistono infiniti minori di esso. o Il minorante più grande è detto estremo inferiore  inf(A)∈ ℝ, se inf(A)∈ A è anche minimo dell’insieme A  min(A) Dato l’insieme A ⊆ ℝ diciamo che A è limitato superiormente se esiste un numero β ∈ ℝ tale che β ≥ x dove x ∈ A. o β è detto maggiorante (maggiore o uguale a uno dei numeri) di A, se esiste un maggiorante vuol dire che ne esistono infiniti maggiori di esso. o Il maggiorante più piccolo è detto estremo superiore  sup(A)∈ ℝ, se sup(A) ∈ A è anche massimo dell’insieme A  max(A)

Esempio Insieme A = {1/n |n = 1,2,3, …}  {1, 1/2, 1/3, 1/4, …} = fa parte dell’insieme

Minoranti α: 0, -3/2, -50 …  A è limitato inferiormente Maggioranti β: 1, 2, 3, 100 …  A è limitato superiormente Sup(A) = 1  1 ∈ A, dunque è max(A) Inf(A) = 0  0 ∉ A

A è limitato sia superiormente che inferiormente

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Intervalli Dati due punti a e b ∈ ℝ con a ℝ x∈ A ----> f(x) = y ∈ ℝ A è il dominio di f (oppure detto D) f(x) immagine di x=A (deve essere contenuto nella f. iniziale) f(A) insieme immagine che contiene tutte le immagini La funzione f associa un unico valore f(x) ad ogni punto del dominio

y = f(x)

La funzione f è detta iniettiva se x ≠ x1 vengono trasformati in punti diversi  se prendiamo due punti f(x) = f(x1)  x = x1

NON INIETTIVA Esempio f. iniettiva f(x) = 2x+1. f:ℝ ---> ℝ x ----> 2x+1 f(1) = 3 f(4) = 2*4 + 1 = 9 f(x) = f(x1) 2x +1 = 2x1 +1  2x = 2x1  x = x1 Esempio f. non iniettiva f(x) = x2 f(2) = 4 = f(-2) f(x1) = f(x2)  x1 = ± √x22. f(x1) = f(x2)  x1 = x2  x1 = ± x2

Data una funzione f: A ⊆ ℝ ---> ℝ iniettiva, la funzione f-1 è la sua inversa

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f -1: f(A) ⊆ ℝ ---> ℝ definita come f -1(y) = x dove y=f(x)

Esempio f(x) = 2x-1 è iniettiva? Qual è la funzione inversa? f(x1) = f(x2)  2x1 -1 = 2x2 -1  2x1 = 2x2  x1 = x2 f(x) = 2x -1 = y 2x -1 = y  2x = y +1

INIETTIVA!

f-1(y) = (y+1)/2

x= y+1 2 (9+1) ÷ 2

(1+1) ÷ 2

Funzioni composte Si ha f: A ⊆ ℝ ---> ℝ e g : B ⊆ ℝ ----> ℝ tali che l’insieme immagine di f, ossia f(A) sia contenuto nel dominio di g, ossia B. La funzione composta è la g o f : f: A ⊆ ℝ ---> ℝ g o f (x) = g(f(x)) composto

Condizione: l’insieme immagine della prima deve stare all’interno della seconda che applico Esempio f(x) = √x

A = [0, +∞)

g(x) = x+1

B=ℝ

f(A) = [0, +∞)

immagine

g(B) = ℝ

Posso formare 4 composti  g o f (x) f(A) ⊆ B [0, +∞) ⊂ ℝ g o f (x) = g (f (x)) = g(√x) = √x+1 

f o f (x)

f(A) ⊆A [0, +∞) U [0, +∞)

x∅ ∈ ∉ ∋ ∝ ∩ ∪ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ � √π∞≤≥ ≠ α β{}±

f o f (x) = f (f(x)) = f(√x) = √√x = 4√x = x1/4 

g o g (x)

g(B) ⊆ B ℝ⊆ℝ

g o g (x) = g(g(x)) = g(x +1) = (x+ 1) +1 = x + 2 

f o g (x)

g(B) ⊆ A ℝ C [0, +∞) punti B1 [- 1, +∞)

NON si può fare almeno che non prenda solo i

Grafico di una funzione f: A ⊆ ℝ ---> ℝ è un sottoinsieme di ℝ2 Gf = {(x, y) ∈ ℝ2 | x ∈ a, y= f(x)}

f(x)

x

A

f(x) = f(-x)  f. pari

f(x) = - f(-x)  dispari

f: A ⊆ ℝ ---> ℝ  espressione analitica f(x) = … Dominio?  dominio naturale Dominio naturale  insieme dei punti di ℝ per i quali f(x) è definita come valore reale. Controllo:  Quozienti. f(x) = A(x) B(x) ≠ 0

x∅ ∈ ∉ ∋ ∝ ∩ ∪ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ � √π∞≤≥ ≠ α β{}±



B(x) Radici di indice pari f(x) = 2n√A(x) A(x) ≥ 0

 Logaritmi f(x) = In A (x)  A(x) > 0 Se non ci sono questi casi A = ℝ Esempio F(x) = In(x2 -4x +3) / √x+1 √x+1 ≠ 0 X +1 ≥ 0 x2 -4x + 3 >0

x+1 ≠ 0 x+1>0 2 x+1 ≥ 0 x -4x +3 > 0 x2 -4x +3 > 0

x2 -4x +3 = 0

x1,2= 4± V4 2

Dominio = (-1, 1) U (3, +∞)

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Funzioni elementari Funzione polinomiale Un polinomio di grado n ∈ ℕ* è una funzione p: A ⊆ ℝ ---> ℝ p(x) = an xn + an -1 xn-1 + … + a1 x + a0 con a0, a1, … an ∈ ℝ an ≠ 0 detti coefficienti del polinomio I numeri reali x ∈ ℝ tali che p(x) = 0 sono dette radici del polinomio. Esempio p(x) = 5x3 – 3x2 +7  a3= 5

a2=-3

a1=0

a0=7 coefficienti del polinomio

f(x) = x2 + 1/(x -3) NON è un polinomio perché 1/x ∉ ℕ f(x) = 5x3 - √x + x2 NON è un polinomio perché √x ∉ ℕ

Teorema fondamentale dell’algebra Si dice che un polinomio p di grado n dove n ∈ ℕ* possiede al più n radici reali distinte. (es polinomio di grado 5 trovo 5 radici). Se x0 ∈ ℝ è una delle radici del polinomio p, allora p(x) (x-x0)  polinomio di grado (n-1)  Utilizzo il metodo di Ruffini per trovare le radici

Funzione razionale f(x) = p(x) q(x)

dove p e q sono polinomi di grado n e m rispettivamente

Dominio  A = ℝ escluso B, B è l’insieme delle radici di q B= {x ∈ ℝ| q(x) = 0} Considerando n√x con x > 0 x Per x > 0 e n, m ∈ ℕ* x0= 1  e0=1 x1= x xn= x*x*x…*x (N volte) x-1= 1/x x-n= 1/nX x1/m= m√x x-1/n= 1 m √x n/m m 8. x = √xn 9. x-n/m= 1 m √xn

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

n ∈ ℕ* è l’unico numero reale positivo tale che (n√x)n =

x∅ ∈ ∉ ∋ ∝ ∩ ∪ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ � √π∞≤≥ ≠ α β{}± Alcune di queste definizioni possono essere estese anche al caso x=0 1. No 2. x1= x 3. No 4. x-1= 1/x 5. No 6. x1/m= m√x 7. No 8. xn/m= m √xn 9. No Alcune possono essere estese al caso x ℝ f(x) =ax con a>0, a ∈ ℝ Dominio A= ℝ*+ Con esponente x ∈ ℝ Proprietà delle potenze: 1. x-a = 1/xa 2. xa * xa= xa+b 3. xa : xb = xa-b 4. xa * ya = (xy)a 5. xa : ya = (x / y)a Grafico della funzione potenza f(x)= xa con x>0, a ∈ ℝ Caso a≤-1

1

x∅ ∈ ∉ ∋ ∝ ∩ ∪ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ � √π∞≤≥ ≠ α β{}± 1

2 f(x) = x-1= 1/x

a=-1

a=-2 f(x) = x-2= 1/x2 se x>1 x2>x  1/x2 < 1/x se x1 √x>x  1/√x < 1/x se x0 x ∈ ℝ Dominio  A = ℝ Proprietà

Grafico della funzione esponenziale f(x) = ax. 

x∈ ℝ a>0

caso 0 < a < 1

1

a=½ a=¼ x=1 x = -1



f(x) = (½)x f(x) = (¼)x (½)1 = ½ (¼)1= ¼ (½)-1 = 2 (¼)-1= 4

caso a > 1

x∅ ∈ ∉ ∋ ∝ ∩ ∪ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ � √π∞≤≥ ≠ α β{}±

1

a= 2 a= 4 x=1 x= -1

f(x) = 2x f(x) = 4x (2)1 = 2 (4)1 = 4 -1 (2) =1/2 (4)-1 = 1/4

Limiti asintotici 

0 ℝ f(x) = loga x a>0, a ≠ 1, x> 0 Dominio  A = ℝ*+

logb x = logax logab

Proprietà 1. loga (ax) = x aloga di x = x  la funzione logaritmica è inversa della funzione esponenziale 2. loga 1 = 0 3. loga xz = z loga x 4. loga (x * y) = loga x + loga y 5. loga (x : y) = loga x - loga y 6. loga 1/x = - loga x - loga y Grafico funzione logaritmica f(x) = loga x a>0 a ≠ 1 x> 0

x∅ ∈ ∉ ∋ ∝ ∩ ∪ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ � √π∞≤≥ ≠ α β{}± 

caso 0 < a < 1

1 a= ½ f(x) = log1/2 x a= ¼ f(x) = log1/4 x x = ¼ log1/2 ( ¼ ) = log1/2 ( ½ )2 = 2 ( uso formula sopra riportata) log1/4 ( ¼ ) = log1/4 ( ½ )1 = 1 x=4



log1/2 4 = log1/2= ( ½ )-2 = -2 log1/4 4 = log1/4= ( ½ )-1 = -1

caso a > 1

1 a= 2 f(x) = log2 x a= 4 f(x) = log4 x x = ¼ log2 ( ¼ ) = log2 (2)-2 = -2 (uso formula sopra riportata) log4 ( ¼ ) = log4 (4)-1 = -1 x=4

log2 4 = log2= ( 2 )2 = 2 log4 4 = log4= ( 4)1 = 1

Esponenziale naturale f(x) = ex

x∅ ∈ ∉ ∋ ∝ ∩ ∪ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ � √π∞≤≥ ≠ α β{}± Sempre positiva e crescente, passa per (0,1)

Logaritmica naturale f(x) = loge x = In x Dominio  ℝ*+

In x = logax / logae x

In a di x

x Ina

Funzioni lineari f : A ⊆ ℝ ---> ℝ f(x) = ax + b a,b ∈ ℝ

Il grafico è una retta  

se a > 0 la f. è crescente se a < 0 la f. è decrescente

a>0 a 0 sopra l’asse x f(x) < 0 sotto l’asse x

Funzioni quadratiche

x= -b/a

x∅ ∈ ∉ ∋ ∝ ∩ ∪ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ � √π∞≤≥ ≠ α β{}± f : A ⊆ ℝ ---> ℝ f(x) = ax2 + bx + c Il grafico è una parabola

a>0 V = ( -b , - 4ac – b2) 2a 4a 

f(x) = 0 ZERI DELLA PARABOLA x1,2= -b ± √b2 – 4ac 2a o b2-4ac >0  due soluzioni distinte, due punti o b2-4ac = 0  due soluzioni coincidenti

o b2-4ac < 0  nessun punto

 

f(x) >0 f(x) < 0

Esempio Studio segno di f(x) = x2 -3x +2

a0 x< 1 x>2 f(x) 0  Iδ (x0) = (x0 – δ, x0 + δ)

Varianti 

Iδ* (x0) = Iδ(x0) / {x0}



Iδ (x0) = (x0 – δ, x0)



Iδ+ (x0) = (x0 , x0 + +δ)

-

Intorno bucato

Intorno sinistro

Intorno destro

Vale che -

Iδ (x0) U Iδ+ (x0) = Iδ* (x0) Intorno  punti di accumulazione Intorno destro  punto di accumulazione destro Introno sinistro  punto di accumulazione sinistro Formulazione attraverso valore assoluto x ∈ Iδ (x0) --> |x – x0| < δ x ∈ I*δ (x0) --> x ≠ x0 ⋀ |x – x0| < δ -

x ∈ Iδ (x0) --> x < x0 ⋀ |x – x0| < δ x ∈ Iδ+ (x0) --> x > x0 ⋀ |x – x0| < δ

Definizione di limite 

Sia f : A ⊆ ℝ ---> ℝ e x0 ∈ ℝ punto di accumulazione di A Se f è una funzione regolare ci aspettiamo che quando x è vicino a x0 x --> x0 (tende a) il valore di f(x) sia vicino (tenda a) un valore l ∈ ℝ.

x∅ ∈ ∉ ∋ ∝ ∩ ∪ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ � √π∞≤≥ ≠ α β{}± x --> x0  f(x) --> l cioè se x è vicino (ma non uguale) a x0, allora f(x) è vicino ad l. Questo valore l non necessariamente coincide con f(x0), anche se esiste. 

Sia f : A ⊆ ℝ ---> ℝ e x0 ∈ ℝ punto di accumulazione di A Se il valore f(x) è vicino quanto si vuole ad un valore l ∈ ℝ, prendendo x sufficientemente vicino (ma non uguale) a x0, sia a destra (>) che a sinistra ( x f(x) = l 0



Sia f : A ⊆ ℝ ---> ℝ e x0 ∈ ℝ punto di accumulazione di A Se per ogni tolleranza E >0 della differenza |f(x) – l|< Ε possiamo trovare un margine o un corrispondente margine δ>0 della distanza |x – x0|< δ allora x ≠ x0 ⋀ |x-x0| < δ ---> |f(x) – l | < E Allora diciamo che

Limx --> x f(x) = l 0

Esempio f(x) = x2 0

x ≠ -1, 0 x = -1

x∅ ∈ ∉ ∋ ∝ ∩ ∪ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ � √π∞≤≥ ≠ α β{}± 1

x=0 Limx --> -1 f(x) = 1 f(-1) = 0 Limx --> 0 f(x) = 0 f(0) = 1 (vedere sistema) Limx --> 1 f(x) = 1 f(1) = 1

Definizione di limite destro (sinistro) 

Sia f : A ⊆ ℝ ---> ℝ e x0 ∈ ℝ punto di accumulazione di A destro (sinistro) Se per ogni tolleranza E >0 della differenza |f(x) – l| possiamo trovare un corrispondente margine δ>0 della distanza |x – x0|tale che x> x0 1 |x – x0| < δ ---> |f(x) – l| < E SX Allora

Limx --> x f(x) = l 0

+

(Limx --> x - f(x) = l) 0

Esempio

Limx --> 0+ f(x) = 0 Limx --> 1 f(x) = 1

x∅ ∈ ∉ ∋ ∝ ∩ ∪ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ � √π∞≤≥ ≠ α β{}± Limx --> 1+ f(x) = 0 Limx --> 2- f(x) = 1 = Limx --> 2+ f(x) Limx --> 3- f(x) = 0

Teorema Sia f : A ⊆ ℝ ---> ℝ e x0 ∈ ℝ punto di accumulazione di A Il limite

Limx --> x f(x) = l 0

esiste se e solo se esistono e coincidono il limite destro e il limite sinistro

Limx --> x f(x) = Limx --> x - f(x) 0

+

0

Esempio precedente Limx --> 2- f(x) = 1. ESISTE Limx --> 1 f(x) = 1 NON ESITE perché i limiti dx e sx sono diversi. Limx --> 3- f(x) = 0. NON ESITE perché i limiti dx e sx ne esiste solo 1 (sx) Esempio 1 Limx --> 1 2x2 -x +7. = x-3 Esempio 2

8 = -4 -2

Limx --> 1 x2 + x -2. = 0 x2 - 4x ∓3 0

Indeterminata

= Limx --> 1 (x-1)(x+2). = 3 = - 3 (x-1)(x-3) -2 2 Esempio 3 Limx --> 1 √x-1 = x2-1

0 0

A2 – B2 = (A -B)(A+B) Limx --> 1 √x-1

=

Limx --> 1

x-1

=

x∅ ∈ ∉ ∋ ∝ ∩ ∪ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ � √π∞≤...