Apuntes Álgebra Igualdad PDF

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Notas Álgebra Conjuntos, Igualdad...

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1.2. Igualdad de conjuntos y los subconjuntos de un conjunto dado

1.2.1.

Presentación:

En la sección anterior vimos que la de…nición de

conjunto nos permite considerar a una colección de ob jetos como un todo. En esta sección nos proponemos precisar aún más y dejar en claro que un conjunto está completamente determinado por los elementos que lo conforman. Esto se logra mediante la de…nición de la igualdad entre conjuntos.

1.2.2. De…nición: los mismos elementos.

Dos conjuntos son iguales exactamente cuando tienen La igualdad entre conjuntos se denota con el símbolo

usual:

=

1.2.3. Observación:

Una consecuencia de la de…nición

1.2.2

es que dos

conjuntos son distintos si di…eren en al menos un elemento, esto es, si existe algún ob jeto que es un elemento de uno de los dos conjuntos pero no lo es del otro. La desigualdad entre conjuntos se denota con el símbolo usual

6= 1.2.4. Ejemplos:

Consideramos a los siguientes conjuntos:

f1; 2; 3; 4; 5g f; ;  g f1; ;  ; g f2; 5; 4; 1; 3g f;  ; g y determinamos si son iguales o diferentes:

(a)

Tenemos que

f1; 2; 3; 4; 5g = 6 f; ;  g

pues hay al menos un elemento en alguno de los dos que no está en el otro, digamos:

1 2 f1 2 3 4 5g & 1 2 f ;

(b)

Tenemos que

;

;

;

=

;  ; 

g

f1; 2; 3; 4; 5g = 6 f1; ;  ; g

pues hay al menos un elemento en alguno de los dos que no está en el otro, digamos:

2 f1; 2; 3; 4; 5g &

 =

1



2 f1; ; ;  g

(c)

Tenemos que

f1; 2; 3; 4; 5g = f2; 5; 4; 1; 3g

pues ambos conjuntos tienen exactamente los mismos elementos. Esto nos deja ver que el orden en el cual enlistamos a los elementos de un conjunto no es importante.

(d)

Tenemos que

f; ;  g = f ;  ; g

pues tienen exactamente los mismos elementos.

(e)

Tenemos que

f; ;  g = 6 f1; ;  ;  g

pues no tienen exactamente los mismos elementos.

En este caso di…eren

únicamente en uno de ellos, a saber:

12f =

1.2.5. Observación:

; ; 

El ejemplo

g & 1 2 f1; ;  ;  g

1.2.4.e

nos muestra que los dos conjuntos

f; ;  g & f1; ;  ;  g son distintos pues

12f =

; ; 

g & 1 2 f1; ;  ;  g

Además, podemos observar que todos los elementos del conjunto

f; ;  g son a su vez elementos del conjunto

f1; ;  ; g Con base en esta última observación podríamos decir que, de algún modo, el conjunto

f; ;  g

es más pequeño que el conjunto

f1; ;  ; g pues es una parte de él.

Esta situación merece particular atención y queda

descrita dentro de la siguiente de…nición.

1.2.6. De…nición:

Dados dos conjuntos

A

& 2

B

diremos que el conjunto A es un

subconjunto del conjunto B si todo

elemento del conjunto A es a su vez un elemento del conjunto B. Esta situación la denotamos de la siguiente forma: A

B

y puede leerse dicendo que el conjunto A está contenido en el conjunto B, o bien, que el conjunto B contiene al conjunto A. Al símbolo

 se le conoce como símbolo de contención de conjuntos.

1.2.7. Observación: Una consecuencia de la de…nición 1.2.6 es que todo conjunto es un subconjunto de sí mismo, esto es, dado un conjunto arbitrario A, resulta que: A

A

Esto no debe extrañarnos, pues el símbolo

 imita al símbolo de desigualdad



que utilizamos para ordenar a los números, y con este último es correcto escribir n

n

para cualquier número n.

1.2.8.

Notación: Si A y B son dos conjuntos y el conjunto A no es un

subconjunto del conjunto B, describimos esta situación mediante la notación: A

*

B

que incluye a la negación del símbolo de contención de conjuntos:

* 1.2.9. Ejemplos: Consideramos a los siguientes conjuntos:

f1; 2; 3; 4; 5; 6g f1; 2; 3; 4; 5g f1; 3; 5g f2; 4; 6g f1g y observamos que:

3

(a)

El conjunto de los números naturales del uno al seis:

f1; 2; 3; 4; 5; 6g contiene a todos los conjuntos de la lista, esto es:

f1; 2; 3; 4; 5; 6g f1; 2; 3; 4; 5g f1; 3; 5g f2; 4; 6g f1g

    

f1; 2; 3; 4; 5; 6g f1; 2; 3; 4; 5; 6g f1; 2; 3; 4; 5; 6g f1; 2; 3; 4; 5; 6g f1; 2; 3; 4; 5; 6g

pues todos los conjuntos de la lista están conformados por dichos números

(b)

El conjunto

f1; 2; 3; 4; 5g

contiene a tres de los conjuntos de la lista, esto es:

f1; 2; 3; 4; 5g  f1; 2; 3; 4; 5g f1; 3; 5g  f1; 2; 3; 4; 5g f1g  f1; 2; 3; 4; 5g (c)

El conjunto de los pares positivos menores que seis:

f2; 4; 6g no está contenido en el conjunto de los números naturales del uno al cinco:

f1; 2; 3; 4; 5g pues

6 2 f2 4 6g & 6 2 f1 2 3 4 5g ;

Esto es,

(d)

;

=

;

;

;

;

f2; 4; 6g * f1; 2; 3; 4; 5g

El conjunto de los números naturales del uno al cinco:

f1; 2; 3; 4; 5g no está contenido en el conjunto de los pares positivos menores que seis:

f2; 4; 6g pues

1 2 f1 2 3 4 5g & 1 2 f2 4 6g ;

Esto es,

;

;

;

=

;

f1; 2; 3; 4; 5g * f2; 4; 6g 4

;

(e)

El conjunto de los números naturales del uno al seis:

f1; 2; 3; 4; 5; 6g no está contenido en ningún conjunto de la lista distinto de él.

1.2.10. Observación:

La contención es una relación entre conjuntos que

imita a la relación de orden en los números, pero no coinciden exactamente, pues la ley de la tricotomía que establece que para cualquier par de números

n

&

m

se veri…ca exactamente una de las tres condiciones

n n m

<

m

=

<

m n

no se cumple para los conjuntos como podemos observar a partir de los ejemplos

1.2.9.c, 1.2.9.d

y de la desigualdad

f1; 2; 3; 4; 5g = 6 f2; 4; 6g Aún así, las nociones de contención e igualdad para los conjuntos están vinculadas entre sí, como veremos a continuación.

1.2.11. Proposición:

Dados dos conjuntos A

&

B

si dichos conjuntos son iguales, esto es,

A

=

B

entonces ambos conjuntos se contienen mutuamente, esto es,

A

Demostración:

B

&

B

A

Para demostrar que la proposición anterior es verdadera

debemos suponer que los conjuntos A y B son iguales y a partir de esto demostrar que se veri…can las contenciones:

A

B

&

B

A

Para mostrar que se veri…ca la contención

A

B 5

nos basamos en la de…nición 1.2.6 y observamos que basta con veri…car que todo elemento del conjunto

A

es a su vez un elemento del conjunto

esto último, consideramos a un elemento arbitrario del conjunto

A

B

.

Para

:

x2A y observamos que de nuestra hipótesis

A=B y de la de…nición 1.2.2 es inmediato que

x2B pues los conjuntos

A B y

tienen exactamente los mismos elementos. Así, hemos

probado que todo elemento del conjunto

B

, es decir, hemos probado que

A

es a su vez un elemento del conjunto

AB

Para mostrar que se veri…ca la contención

BA basta con repetir el argumento anterior intercambiando los roles que juegan y

B

. Explícitamente, consideramos a un elemento arbitrario del conjunto

B

A

:

x2B y observamos que de nuestra hipótesis

A=B y de la de…nición 1.2.2 es inmediato que

x2A pues los conjuntos

A B y

tienen exactamente los mismos elementos. Así, hemos

probado que todo elemento del conjunto

A

, es decir, hemos probado que

B

es a su vez un elemento del conjunto

BA

Con esto hemos probado ambas contenciones y la veracidad de la proposición ha quedado demostrada.

1.2.12. Proposición: Dados dos conjuntos

A&B si dichos conjuntos se contienen mutuamente, esto es,

AB & BA 6

entonces ambos conjuntos son iguales, esto es,

A=B Demostración: Para demostrar que la proposición anterior es verdadera debemos suponer que los conjuntos

A B y

se contienen mutuamente y a partir de

esto demostrar que son iguales. Con base en la de…nición 1.2.2 observamos que para esto último basta con demostrar que ambos conjuntos tienen exactamente los mismos elementos. Para esto consideramos, en primer lugar, a un elemento arbitrario del conjunto

A

:

x2A

y observamos que parte de nuestra hipótesis nos garantiza que se veri…ca la contención:

AB

de lo cual podemos concluir, con base en la de…nición 1.2.6, que

x2B Análogamente, si tomamos un elemento arbitrario del conjunto

B

:

x2B y observamos que parte de nuestra hipótesis nos garantiza que se veri…ca la contención:

BA

de lo cual podemos concluir, con base en la de…nición 1.2.6, que

x2A De este modo, hemos visto que todo elemento del conjunto del conjunto

B

A

es un elemento

y viceversa, es decir, ambos conjuntos tienen exactamente los

mismo elementos. De esto se sigue que se veri…can las condiciones de la de…nición

1.2.2 y por lo tanto que ambos conjuntos son iguales:

A=B 1.2.13. Observación: Las dos poposiciones anteriores se pueden combinar en una sola para dar lugar al primer teorema del curso.

1.2.14. Teorema: Dados dos conjuntos

A&B las dos proposiciones siguientes son equivalentes:

7

(a)

Ambos conjuntos son iguales, esto es,

A=B (b)

Ambos conjuntos se contienen mutuamente, esto es,

AB & BA

Demostración:

Para probar que dos enunciados son equivalentes hace falta

probar que cada enunciado implica al otro, es decir, debemos probar que si se veri…ca

a

entonces se veri…ca

b

y viceversa.

Consideramos ambos casos por

separado:

)b)

(a

a es exactamente la hipótesis de la proposi1.2.11 y que la condición b es exactamente la conclusión de la proposición 1.2.11, por lo cual esta implicación es exactamente la proposición 1.2.11 que ya ha sido demostrada. Podemos ver que la condición

ción

(b

)a)

b es exactamente la hipótesis de la 1.2.12 y que la condición a es exactamente la conclusión de la proposición 1.2.12, por lo cual esta implicación es exactamente la proposición 1.2.12 que ya ha sido demostrada. Podemos ver que la condición

proposición

De todo esto podemos concluir que la veracidad de este teorema es una consecuencia directa de la veracidad de las dos proposiciones anteriores y con esto termina la demostración.

1.2.15. Notación:

se lee: si

p

entonces

q

La notación simbólica

, o bien,

p =) q p q implica

8

....