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FACULTAT D’ECONOMIA I EMPRESA Matemàtiques II. Grup H2-ADE Curs 2018/2019 (Prof. Jesús Montes)

Tema 1: Optimización con restricciones de igualdad 1.1 Planteamiento formal del problema. Conceptos básicos 1.2 Métodos directo y gráfico 1.2.1 Método directo 1.2.2 Método gráfico

1.3 Método de Lagrange. Condiciones necesarias y suficientes 1.3.1 Función de Lagrange asociada a un problema lagrangiano 1.3.2 Condición necesaria de primer orden 1.3.3 Condición suficiente de segundo orden local 1.3.4 Condición suficiente de segundo orden global

1.4 Interpretación económica de los multiplicadores de Lagrange 1.5 Aplicaciones económicas de la optimización RESUMEN ANEXO: Signo de una forma cuadrática

2

1.1 Planteamiento formal del problema. Conceptos básicos Dados números enteros n, m con 1  m  n , un subconjunto abierto A  R n y los siguientes datos: -

f : A  R n  R función real con derivadas parciales continuas en A , g1, , gm : A  R n  R funciones reales con derivadas parciales continuas en A , b1 ,, bm  R ,

consideramos el problema lagrangiano (PL) siguiente:  Optimizar f ( x1 , , xn )  Optimizar f (x )   g1 (x1 , , x n)  b1 ,  g1( x)  b1,   PL  o PL     sujeta a   sujeta a  g (x , , x )  b ,  g (x)  b ,   m n m  m 1  m  

donde x : (x1, , xn )  A , que consiste en optimizar (es decir, hallar los máximos y los mínimos de) la función objetivo f ( x1, , xn ) en el conjunto factible (o admisible) F definido por los puntos x  A que cumplen las m restricciones:

F :  (x 1, ,x n ) A g 1(x 1, ,x n )  b 1, , g m (x 1, , x n )  b m  A . A continuación, introducimos los conceptos de óptimos globales y locales del PL. Para definir el concepto de óptimo local del PL necesitamos recordar el concepto de bola. Dados un punto a : (a1 ,, an )  Rn y un número real r  0 , se define la bola abierta de centro a y radio r , y se denota por Ba , r  , como el conjunto de los puntos de R n que distan de a menos que r :





Ba, r  : x  R n d a, x   r  R n , donde d a, x :

 x1  a1 2

2       xn  an  representa la distancia entre a y x .

 Un punto a : (a1,, an )  A es un máximo global del PL (o máximo condicionado o restringido)  a  F y f (a)  f ( x) para cada x : (x1 ,, xn )  F .  Un punto a : (a1,, an )  A es un mínimo global del PL (o mínimo condicionado o restringido)  a  F y f (a)  f ( x) para cada x : ( x1,, xn )  F .  Un punto a : (a1,, an )  A es un máximo local del PL  a  F y existe un número real r  0 tal que f ( a)  f ( x) para cada x : ( x1,, xn )  F  B( a, r) .  Un punto a : (a1,, an )  A es un mínimo local del PL  tal que f ( a)  f ( x) para cada x : ( x1,, xn )  F  B( a, r) .

a  F y existe un número real r  0

Observación: Durante este curso trabajaremos usualmente en los casos siguientes: n  2 y m  1, n  3 y m 1o 2 .

3

Ejemplos:

 Maximizar f (x , y ) : x y 1. ( n  2 y m  1 )  2x  y  100. sujeta a Optimizar f ( x, y) : 3 x  4 y 2. ( n  2 y m  1 )  x 2  y 2 1 . sujeta a Optimizar f ( x, y, z) : x 2  y 2  z 2  3. ( n  3 y m  2 )  x  2 y  z  1, sujeta a 2x  y  3z  4.  

 Optimizar f ( x, y, z) : x 2  y 2  z 2 4. ( n  3 y m  1 )  x  y  z  1. sujeta a Observación: Nuestro objetivo en este tema es dar a conocer las principales técnicas que permiten resolver un PL dado. Durante este tema veremos tres métodos de resolución de un PL: -

Método directo (se puede aplicar cuando podemos parametrizar el conjunto factible F ), Método gráfico (se puede aplicar cuando n  2 y m  1 ), Método de Lagrange (se puede aplicar siempre).

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1.2 Métodos directo y gráfico Consideramos el problema lagrangiano (PL) siguiente:  Optimizar f (x )   g 1 (x )  b1 ,  PL    sujeta a   g ( x)  b ,  m  m 

donde x : ( x1 ,, xn )  A . En este apartado veremos dos métodos de resolución de un problema lagrangiano: el método directo y el método gráfico.

1.2.1 Método directo Este método se puede aplicar en el caso en que podamos parametrizar el conjunto factible F :  (x 1 ,,xn ) A g 1(x 1, ,xn )  b 1, , gm (x 1, , xn )  bm  del PL; es decir, si en el sistema de m ecuaciones y n incógnitas dado por las m restricciones del PL podemos despejar (globalmente) m de las incógnitas, xi1 , , xim , en función de las n  m incógnitas restantes xim 1 ,, xin (que actúan entonces como parámetros): xi1  G1 (xi m1 , , xi n ),  (*)  x  G ( x , , x ). m i m 1 in  im En este caso, el PL es equivalente al problema de optimizar (de forma libre –ver la asignatura de Matemáticas I–) la función h( xim 1 , , xin ) obtenida al substituir en la función f (x1,, x n ) las incógnitas xi1 , , xim por las expresiones dadas en (*): h(xim 1 ,, xin )  f ( x1 ,, xn) |(*) .

Ejemplos. Resolver los PL siguientes utilizando el método directo:

 Maximizar f (x , y ) : x y 1.  2x  y  100 . sujeta a Dado que: 2 x  y  100  y  100  2 x ; entonces F  ( x,100  2 x) x  R  R2 y, por tanto, el PL es equivalente a hallar los óptimos de la función de una variable: h (x ) : f (x ,100  2 x)  x 100  2 x  2 x 2 100 x .

Como x  25 es el único máximo de h(x) (ya que h' ( x)  4 x  100 , h' ( x)  0  x  25 , h' ' ( x)  4  0 ), entonces el punto (25,100  2  25)  (25, 50) es el único máximo del PL dado, siendo el valor máximo del PL igual a f (25, 50)  25  50  1.250 .

 Optimizar f ( x, y) : x 2  y 2 2.  2 x  y 1. sujeta a 5

Dado que: 2x  y  1  y  1  2 x ; entonces F  ( x,1  2 x) x  R  R2 y, por tanto, el PL es equivalente a hallar los óptimos de la función de una variable: h (x ) : f (x ,1 2x )  x 2  1  2x   3x 2  4x  1 . 2

Como x  2 / 3 es el único óptimo de h(x) y es un máximo (ya que h' ( x)  6x  4 , h' ( x)  0  x  2 / 3 , h' ' ( x)  6  0), entonces el punto (2 / 3,1  2  2 / 3)  (2 / 3, 1/ 3) es el único óptimo del PL dado y es un máximo, siendo el valor máximo del PL igual a f (2 / 3, 1/ 3)    1/ 3 . Optimizar f ( x, y, z) : x 2  y 2  z 2  3.  x  2y  z  1,  sujeta a  2x  y  3z  4.  

Dado que:

x  2y  z  1,   x  z  9 / 5,  2 x  y  3z  4  y  z  2/5 entonces F  ( z  9 / 5,  z  2 / 5, z) z  R  R3 y, por tanto, el PL dado es equivalente a hallar los óptimos de la función de una variable: h (z ) : f (z  9 / 5, z  2 / 5, z )  z  9 / 5   z  2 / 5  z 2    3z 2  22 / 5z  17 / 5 . 2

2

Como z  11 /15 es el único óptimo de h(z ) y es un mínimo (ya que h' ( z)  6 z  22 / 5 , h' ( z)  0  z  11 /15 , h' ' ( z)  6  0 ), entonces el punto (16 /15,1/ 3, 11/15) es el único óptimo del PL dado en este ejemplo y es un mínimo, siendo el valor mínimo del PL igual a f (16 /15,1 / 3, 11 / 15)  h( 11 / 15)   134 / 75 .

 Optimizar f ( x, y, z) : x 2  y 2  z 2 4.  x  y  z  1. sujeta a Dado que: x  y  z 1  z 1  x  y

entonces F  ( x, y,1  x  y) x, y  R R 3 y, por tanto, el PL dado es equivalente a hallar los óptimos de la función de dos variables: h (x ,y ) : f (x ,y ,1 x  y )  x 2  y 2  1 x  y    2x 2  2x y  2y 2  2x  2y  1. 2

Como ( x, y)  (1/ 3,1/ 3) es el único óptimo de h( x, y) y es un mínimo (ya que las derivadas parciales h h de la función son:  4 x  2 y  2,  2 x  4 y  2 ; el sistema x y

6

h   0,  x 2 x  y  1,    h x  2 y  1,   0,  y

x  1 / 3,  y  1 / 3,

  2h  2h    2    x x y    4 2 es definida positiva), entonces el punto  y la matriz hessiana H h( x, y )  2 2   h  h   2 4   2   y x y  (1/ 3,1/ 3,1/ 3) es el único óptimo del PL dado y es un mínimo, siendo el valor mínimo del PL igual a f (1 / 3,1/ 3, 1/ 3)    1/ 3 . Ejemplo económico: Un consumidor desea saber qué cantidad de su renta r va a gastar en adquirir x unidades de un determinado bien al precio unitario p , y qué cantidad y va a reservar para gastar en otros bienes. En este caso el consumidor se enfrenta a la restricción presupuestaria p x  y  r . Supongamos que la función de utilidad U ( x, y) representa sus preferencias. En términos matemáticos, el consumidor debe resolver el problema de hallar el punto ( x, y) que maximice U ( x, y) sujeta a la restricción p x  y  r . En este caso, bastará resolver el problema de maximizar la función de una variable h( x) : U( x, r  p x) .

1.2.2 Método gráfico Este método se puede aplicar cuando n  2 y m  1 :

Optimizar f (x , y ) PL   sujeta a g (x , y )  b , y nos permite determinar el número de óptimos del PL dado a partir de los dibujos del conjunto factible F : (x, y )  A g (x, y )  b y de las curvas de nivel k  R de la función objetivo f ( x, y) (es decir, de las curvas con ecuación f (x, y)  k , con k  R ). En los puntos de tangencia de una curva de nivel con el conjunto factible se encontrarán los óptimos del PL. Sin embargo, este método gráfico no nos da los óptimos del PL. Ejemplos: Determinar el número de óptimos de los PL siguientes utilizando el método gráfico:

Optimizar f (x, y) : 3x  4 y 1.  x 2  y 2  1. sujeta a





El conjunto factible F : ( x, y)  R2 x2  y 2  1  R2 es la circunferencia de centro (0, 0) y radio 1 , y las curvas de nivel k  R de la función objetivo f ( x, y) : 3 x  4 y son las rectas 3 x  4 y  k con pendiente  3 / 4 , cuyos dibujos se muestran en la Figura 1.1 siguiente.

7

2 2 Figura 1.1: Conjunto factible: x  y 1 ; curvas de nivel: 3 x  4 y  k ( k  6, , 1, 0,1, , 6 ).

Con la ayuda de la Figura 1.1 vemos que el PL tiene un único máximo y un único mínimo. No obstante, este método gráfico no nos da el máximo ni el mínimo del PL.





Sin embargo, en la Figura 1.1 se observa que en los óptimos x* , y * del PL el vector gradiente de la función objetivo f x* , y *  (3,4) es combinación lineal del vector gradiente del primer miembro de



 la restricción g x , y   2 x , 2 y  , con g ( x, y) : x  y (pues sabemos que dada una curva de ecuación g (x, y)  b y un punto x , y  que cumple g x , y   b , entonces el vector gradiente g x , y  siempre es normal a la recta tangente a esta curva en este punto). Así, si x , y  es un *

*

*

2

*

*

*

*

2

*

*

*

*

2

*

2

óptimo del PL, entonces ha de cumplirse que x*  y*  1 y ha de existir un número *  R de forma * * que (3,4)  *  2 x* , 2 y* ; es decir, 3 y  4 x  0 . Esta última relación, junto con la restricción, nos permite determinar los dos óptimos:





3 y  4 x  0,  y  4 x / 3,  y  4 x / 3,   y   4 / 5,       2 2 2 2 x  y  1  x  (4x / 3)  1 x 2  9 / 25 x  3 / 5.





Por tanto, el punto x* , y *  (3 / 5, 4 / 5) es el máximo del PL (con valor máximo f (3 / 5, 4 / 5)  5 ), y * * el punto x , y  (3 / 5,  4 / 5) es el mínimo del PL (con valor mínimo f (3 / 5,  4 / 5)  5).





Optimizar f ( x, y) : x y 2.  x 2  y 2  1. sujeta a





2 2 2 2 El conjunto factible F : ( x, y)  R x  y  1  R es la circunferencia de centro (0, 0) y radio 1 ,

y las curvas de nivel k  R \0 de la función objetivo f (x, y) : x y son las hipérbolas x y  k (es k decir, y  ), cuyos dibujos se muestran en la Figura 1.2 siguiente. x 8

Figura 1.2: Conjunto factible: x 2  y 2  1 ; curvas de nivel: x y  k ( k  1,  1/ 2,  1/ 4, 1/ 8 ). Con la ayuda de la Figura 1.2 vemos que el PL tiene exactamente dos máximos (uno en el primer cuadrante y otro en el tercero) y dos mínimos (uno en el segundo cuadrante y otro en el cuarto). No obstante, este método gráfico no nos da los máximos ni los mínimos del PL.





Sin embargo, en la Figura 1.2 se observa que en los óptimos x* , y * del PL el vector gradiente de la función objetivo f x* , y*  y*, x* es combinación lineal del vector gradiente del primer miembro de



   la restricción g x , y   2 x , 2 y  , con g ( x, y) : x  y (pues sabemos que dada una curva de ecuación g ( x, y )  b y un punto x , y  que cumple g x , y   b , entonces el vector gradiente g x , y  siempre es normal a la recta tangente a esta curva en este punto). Así, si x , y  es un *

*

*

*

2

*

*

*

2

*

*

*

*

2

*

2

óptimo del PL, entonces ha de cumplirse que x*  y*  1 y ha de existir un número *  R de forma







   



2

2

que y* , x*  *  2 x* , 2 y * ; es decir, y *  x * . Esta última relación, junto con la restricción, nos permite determinar los dos óptimos:  y   x, y2  x2,    y  x, y  x ,    2     2 2 2 2 x  y  1 x  ( x )  1  2 x  1  x   2 / 2. 

 



Por tanto, los puntos x* , y*  PL (con valor máximo

 x , y    *



*

f

 



   

  2 / 2, 

2 / 2, 2 / 2 y x , y 

 

f  2 / 2, 2 / 2  f

*

 



2 / 2, 2 / 2 y x* , y *   2 / 2,  2 / 2 son los dos máximos del 2 / 2, 2 / 2  f  2 / 2,  2 / 2  1/ 2 ), mientras que los puntos *







2 / 2 son los dos mínimos del PL (con valor mínimo

2 / 2,  2 / 2  1/ 2 ).

9

1.3 Método de Lagrange. Condiciones necesarias y suficientes Consideramos el problema lagrangiano (PL) siguiente: Optimizar f ( x)   g 1 (x )  b1,  PL   sujeta a   g ( x)  b ,  m  m 

donde x : ( x1, , xn )  A . Denotamos por g : ( g1, , g m ) : A  R n  R m .

 Decimos que a : (a1, , an )  F : x  A g1 (x )  b1 ,, g m (x )  bm  es un punto regular del PL

 g1   g 1 (a )  (a)     x x n   1 cuando el rango de la matriz Jacobiana Jg ( a) :      es igual a m . g m   g m  x (a )   x (a) n   1 El matemático Lagrange (1736-1813) diseño un método general para resolver cualquier problema lagrangiano, llamado método de Lagrange, que exponemos en los subapartados siguientes.

1.3.1 Función de Lagrange asociada a un problema lagrangiano El método de Lagrange comienza asociando a nuestro problema lagrangiano una función de n  m variables: x1, , x n, 1, ,  m .

 Se llama función lagrangiana asociada al PL a la función L (x1, , x n , 1, , m) definida por:

L (x1 , , xn ,1 , , m ) : f (x1 , , xn )  1  (g1 (x1 , , xn )  b1 )     m  ( g m (x1 ,, xn ) b m )  f (x1 , ,x n )  1  (b1 g 1 (x1 , ,x n ))    m  (b m g m (x 1 , ,x n )) Observación: La función lagrangiana L (x1, , x n ,  1, ,  m) en los puntos (x1 , , x n , 1, , m) con (x1, , xn )  F coincide con la función objetivo f ( x1, , xn ) : L (x1, , xn , 1, ,  m)  f ( x1, , xn) para todo (x1, , xn )  F .

Ejemplos: Hallar la función lagrangiana de cada uno de los PL siguientes:

Optimizar f ( x, y) 1. ( n  2 y m  1 ) PL  sujeta a g ( x, y)  b. L (x, y, ) : f ( x, y)   ( g( x, y)  b)  f ( x, y)  ( b  g( x, y)) .

Optimizar f ( x, y, z) 2. ( n  3 y m  1 ) PL  sujeta a g (x, y , z )  b. 10

L( x, y, z , ) : f ( x, y, z)  ( g( x, y, z)  b)  f( x, y, z)  ( b  g( x, y, z)).

 Optimizar f (x , y , z )  3. ( n  3 y m  2 ) PL  g 1 (x , y , z )  b1, sujeta a  g (x, y, z)  b . 2  2 

L (x , y , z ,1 ,2 ) : f (x, y , z )  1  (g1 (x , y , z )  b1 )  2  ( g2 (x, y, z)  b2 )  f (x , y , z )  1  (b1  g1 (x , y, z))   2  (b2  g 2 (x, y, z)) .

1.3.2 Condición necesaria de primer orden (para óptimos restringidos) Para determinar los óptimos de nuestro PL, Lagrange relaciono el vector gradiente de la función objetivo en un óptimo con los vectores gradientes de los primeros miembros de las restricciones en dicho óptimo (ver los Ejemplos de 1.2.2). Concretamente, Lagrange vio que en cualquier óptimo (a1, , an )  F del PL el vector gradiente de la función objetivo f ( a1 , , an ) siempre es combinación lineal de los vectores gradientes de los primeros miembros de las restricciones: g1 ( a1 , , an ), , gm ( a1, , a n ) ; es decir: * * f (a1 , , an )  1  g1 (a1 , , an )    m  g m (a 1, , a n ) para ciertos números reales *1 , ,*m.

El resultado de Lagrange puede ser reformulado en términos de la función lagrangiana como sigue. Cualquier óptimo de nuestro PL puede ser completado hasta obtener un punto estacionario de la función lagrangiana asociada al PL. Teorema de Lagrange Con las hipótesis y notaciones anteriores. Si a : (a1, , an )  F es un punto regular (es decir, el rango de la matriz Jacobiana Jg (a) es m ) y un óptimo de nuestro PL, entonces existen m números reales 1* , , *m  R de forma que el punto (a1 , ,a n ,1*, ,m* ) es un punto estacionario de la función lagrangiana L (x1,, x n , 1, , m) (es decir,  L (a1 , ,an ,1*, ,m* )  (0, ,0,0, ,0) ). Además, los escalares *1 , ,*m son únicos, y son llamados multiplicadores de Lagrange asociados al óptimo a . Por tanto, para resolver nuestro PL en primer lugar necesitamos conocer las soluciones del sistema (no necesariamente lineal) de n  m ecuaciones y n  m incógnitas (x 1, ,x n , 1, , m) siguiente:

 gm   L   f   g1    0,  m 1  x  gm g 1  f  x1  x1  x1 1    m  1  ,   x1  x1  x1 ........ .......... .......... .......... .......... .......... ...    .......... .......... .......... .......... .......     L f g g m    1 1    m  0,    xn  xn  xn  xn   f    g1      g m ,  1 m   xn  xn   xn   L   (g ( x , , x )  b )  0 , 1 1 1 n g1 (x1 , ,x n ) b1 ,   1   ......... .......... .......... .......... .......... . .......... .......... ........   g m ( x1 , , xn ) b m .  L   ( g m ( x1 ,  , x n) b m)  0 .    m 11

Ejemplos: Obtener los puntos estacionarios de la función lagrangiana asociada a los PL siguientes:

 Maximizar f (x , y ) : x y 1.  2x  y  100 . sujeta a Paso 0. En primer lugar, escribimos la función de Lagrange de nuestro PL L (x , y , ) : f ( x, y)   ( g ( x, y)  b)  x y  ( 2 x  y 100) .

Paso 1. En segundo lugar, buscamos los puntos estacionarios de la función lagrangiana asociada al PL (entonces los pares formadas por las dos primeras coordenadas de estos puntos son los únicos candidatos a resolver nuestro problema lagrangiano, según la condición necesaria de primer orden anterior). Hemos de resolver, pues, el siguiente sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas:

 L    y  2  0 ,  x  y  2 ,  L   x   ,   x    0,   y 2 x  y  100 .   L   (2x  y  100)  0 .  

 y  2 ,  y  50,   x   , 2  2  100 .  x    25. 

Por tanto, hemos encontrado un único punto estacionario de la función lagrangiana: x *, y * , * 25, 50, 25 ; e...