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Universidad Carlos III de Madrid Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras σz τzy τzx τyz τxz σy τxy τyx σx Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales Enrique Barbero Pozuelo Ramón Zaera Polo Carlos Navarro Ugena Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales C...

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Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras

Universidad Carlos III de Madrid

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Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales

Enrique Barbero Pozuelo Ramón Zaera Polo Carlos Navarro Ugena

Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales

Carlos Navarro Ugena Catedrático de Universidad

Ramón Zaera Polo Catedrático de Universidad Enrique Barbero Pozuelo Profesor Titular

Universidad Carlos III de Madrid 2008

TABLA DE CONTENIDOS TABLA DE CONTENIDOS .......................................................................................... 1 PRÓLOGO ...................................................................................................................... 7 INTRODUCCIÓN .......................................................................................................... 9 OBJETO DE LA INGENIERIA ESTRUCTURAL, DE LA ELASTICIDAD Y DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES ...................................................................... 9 CAPÍTULO 1 ................................................................................................................ 11 TENSIÓN ...................................................................................................................... 11 1.1.

CONCEPTO DE TENSION ............................................................................ 14

1.2.

COMPONENTES INTRINSECAS DEL VECTOR TENSION......................... 18

1.3.

TENSOR DE TENSIONES.............................................................................. 21

1.4. ECUACIONES DE EQUILIBRIO .................................................................. 25 1.4.1 ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO ...................................... 26 1.4.2 ECUACIONES DE EQUILIBRIO EN EL CONTORNO ..................... 28 1.5.

CAMBIO DEL SISTEMA DE REFERENCIA ................................................. 29

1.6.

TENSIONES Y DIRECCIONES PRINCIPALES ............................................ 31

1.7.

TENSION HIDROSTATICA Y TENSIONES DESVIADORAS ....................... 33

1.8.

TENSIONES OCTAEDRICAS ........................................................................ 34

1.9.

ELIPSOIDE DE TENSIONES ........................................................................ 36

1.10. EL CIRCULO DE MOHR: APLICACION A SITUACIONES BIDIMENSIONALES .................................................................................................. 40

1

1.10.1

PROPIEDADES CIRCULO DE MOHR................................................45

1.11. TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS ................................................48 1.11.1 CASO TRIDIMENSIONAL:..................................................................52 1.12.

NOTACION INDICIAL ...............................................................................52

CAPÍTULO 2.................................................................................................................57 DEFORMACIÓN..........................................................................................................57 2.1. CONCEPTO Y TIPOS DE DEFORMACIÓN .................................................59 2.1.1 DEFORMACION LONGITUDINAL ....................................................59 2.1.2 DEFORMACION ANGULAR, TANGENCIAL, DE CORTE O DE CIZALLADURA ....................................................................................................61 2.2. DESCRIPCION DEL CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS DENTRO DE UN SÓLIDO.......................................................................................................................63 2.2.1 INTERPRETACION FISICA DE LAS COMPONENTES DEL TENSOR DE DEFORMACIONES ........................................................................67 2.2.2 INTERPRETACION FISICA DE LAS COMPONENTES DEL TENSOR DE GIROS ..............................................................................................68 2.2.3 ESQUEMA DEL PROCESO DE DEFORMACION .............................69 2.3.

DEFORMACIONES EN UNA DIRECCION CUALQUIERA.........................69

2.4.

DIRECCIONES PRINCIPALES E INVARIANTES.........................................70

2.5.

DEFORMACION VOLUMETRICA Y DEFORMACION DESVIADORA ......73

2.6.

ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD ........................................................73

2.7.

CAMBIO DEL SISTEMA DE REFERENCIA .................................................75

2.8.

CIRCULO DE MOHR EN DEFORMACIONES.............................................76

2.9.

NOTACION INDICIAL ...................................................................................80

CAPÍTULO 3.................................................................................................................83 COMPORTAMIENTO MECÁNICO DE MATERIALES ......................................83 3.1. ENSAYO DE TRACCIÓN ...............................................................................85 3.1.1 EFECTO POISSON ................................................................................90 3.2. ECUACION CONSTITUTIVA DE UN MATERIAL........................................91 3.2.1 LEYES DE HOOKE GENERALIZADAS.............................................93 3.2.2 DEFORMACIONES ANGULARES......................................................94 3.2.3 DEFORMACIONES VOLUMÉTRICAS ..............................................98 3.3.

DEFORMACIONES DE ORIGEN TÉRMICO................................................99

3.4.

NOTACIÓN INDICIAL .................................................................................101

2

CAPÍTULO 4 .............................................................................................................. 103 PLANTEAMIENTO GENERAL DEL PROBLEMA ELÁSTICO. SOLUCIÓN Y PRINCIPIOS. .............................................................................................................. 103 4.1. ECUACIONES DEL PROBLEMA ELÁSTICO............................................. 105 4.1.1 FORMULACION EN DESPLAZAMIENTOS: ECUACIONES DE NAVIER: .............................................................................................................. 107 4.1.2 FORMULACION EN TENSIONES: ECUACIONES DE MICHELL Y BELTRAMI. ......................................................................................................... 109 4.2.

ENERGÍA DE DEFORMACIÓN .................................................................. 110

4.3.

UNICIDAD DE LA SOLUCION: ................................................................. 113

4.4.

PRINCIPIO DE SUPERPOSICION ............................................................. 115

4.5.

PRINCIPIO DE SAINT-VENANT................................................................. 117

CAPÍTULO 5 .............................................................................................................. 119 ELASTICIDAD PLANA ............................................................................................ 119 5.1.

INTRODUCCIÓN ......................................................................................... 121

5.2.

ESTADO DE DEFORMACION PLANA....................................................... 121

5.3.

ESTADO DE TENSION PLANA................................................................... 124

5.4. FUNCION DE TENSIÓN O DE AIRY.......................................................... 127 5.4.1 SOLUCIONES POLINOMICAS PARA LA FUNCION DE AIRY ... 129 5.5. CURVAS CARACTERISTICAS EN ELASTICIDAD PLANA........................ 132 5.5.1 ISOSTÁTICAS ..................................................................................... 132 5.5.2 ISOCLINAS.......................................................................................... 134 5.5.3 CURVAS DE TENSION TANGENCIAL MAXIMA ......................... 135 5.5.4 ISOCROMÁTICAS.............................................................................. 136 5.5.5 ISOBARAS........................................................................................... 136 5.6. ELASTICIDAD PLANA EN COORDENADAS POLARES........................... 137 5.6.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ELASTICO EN TENSIÓN PLANA Y EN DEFORMACIÓN PLANA EN COORDENADAS POLARES .. 141 5.7. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE LA ELASTICIDAD PLANA EN COORDENADAS POLARES .................................................................................... 145 5.7.1 DISCO GIRATORIO............................................................................ 145 5.7.2 TUBO CIRCULAR SOMETIDO A PRESION ................................... 147 5.7.3 CUÑA CON CARGA EN LA PUNTA................................................ 151 5.7.4 MACIZO SEMIINDEFINIDO CON CARGAS DISTRIBUIDAS NORMALES A LA SUPERFICIE....................................................................... 153 5.7.5 MACIZO SEMIINDEFINIDO CON CARGAS PUNTUALES .......... 155

3

5.7.6 CILINDRO SOMETIDO A DOS CARGAS A LO LARGO DE GENERATRICES OPUESTAS (Rudolf Hertz, (1857-1894)) .............................157 5.7.7 PLACA PLANA INDEFINIDA CON UN TALADRO CIRCULAR..160 5.7.8 PLACA PLANA INDEFINIDA CON UN TALADRO ELÍPTICO ....168 CAPÍTULO 6...............................................................................................................171 TEOREMAS ENERGÉTICOS..................................................................................171 6.1.

COEFICIENTE DE INFLUENCIA...............................................................173

6.2.

FORMULAS DE CLAPEYRON ....................................................................174

6.3. PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES............................................175 6.3.1 Caso de una partícula puntual ...............................................................176 6.3.2 Caso de un sólido rígido........................................................................176 6.3.3 Caso de un sólido elástico .....................................................................179 6.4.

TEOREMA DE RECIPROCIDAD DE MAXWELL-BETTI...........................181

6.5.

TEOREMA DE CASTIGLIANO ....................................................................185

6.6.

TEOREMA DE MENABREA (O DEL TRABAJO MÍNIMO) ........................185

CAPÍTULO 7...............................................................................................................187 CRITERIOS DE PLASTIFICACION ......................................................................187 7.1.

INTRODUCCIÓN .........................................................................................189

7.2.

CRITERIO DE PLASTIFICACIÓN PARA UN MATERIAL ISÓTROPO .....192

7.3. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LA PLASTIFICACIÓN ...............193 7.3.1 SUPERFICIE Y LUGAR DE PLASTIFICACION ..............................195 7.4.

CRITERIO DE PLASTIFICACION DE TRESCA .........................................197

7.5.

CRITERIO DE PLASTIFICACION DE VON MISES ...................................197

CAPÍTULO 8...............................................................................................................199 INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES..............................199 8.1.

CONCEPTO DE PIEZA PRISMÁTICA ........................................................201

8.2. CONCEPTO DE ESFUERZO.......................................................................202 8.2.1 CASO DE UN CASO DE CARGAS PLANO .....................................205 CAPÍTULO 9...............................................................................................................207 ESFUERZO AXIL. TRACCIÓN O COMPRESIÓN PURA..................................207 9.1.

CAMPO DE TENSIONES Y DEFORMACIONES ........................................209

4

CAPÍTULO 10 ............................................................................................................ 213 MOMENTO FLECTOR. ........................................................................................... 213 FLEXIÓN PURA Y FLEXIÓN COMPUESTA....................................................... 213 10.1.

FLEXIÓN PURA. CAMPO DE TENSIONES Y DEFORMACIONES ...... 215

10.2.

FLEXIÓN COMPUESTA. CAMPO DE TENSIONES Y DEFORMACIONES 219 10.2.1 NUCLEO CENTRAL DE LA SECCION ............................................ 220

CAPÍTULO 11 ............................................................................................................ 223 FLEXIÓN SIMPLE .................................................................................................... 223 11.1.

FLEXIÓN SIMPLE EN SECCIONES MACIZAS...................................... 225

11.2.

FLEXIÓN SIMPLE EN SECCIONES DELGADAS Y ABIERTAS............ 230

CAPÍTULO 12 ............................................................................................................ 237 TORSIÓN .................................................................................................................... 237 12.1. TORSION EN PIEZAS DE SECCIÓN MACIZA....................................... 239 12.1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ............................................. 239 12.1.2 PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN DE TORSION ........................... 240 12.1.3 TORSIÓN EN PIEZAS DE SECCIÓN CIRCULAR........................... 245 12.1.4 ANALOGIA DE LA MEMBRANA .................................................... 247 12.2. TORSION EN PIEZAS DE SECCION DE PARED DELGADA............... 251 12.2.1 PERFILES ABIERTOS SIN RAMIFICAR ......................................... 252 12.2.2 PERFILES ABIERTOS REMIFICADOS............................................ 256 12.2.3 PERFIL CERRADO DE UNA SOLA CELULA................................. 257 12.2.4 PERFIL CERRADO DE VARIAS CELULAS.................................... 261 CAPÍTULO 13 ............................................................................................................ 267 DEFORMACION DE PIEZAS PRISMÁTICAS .................................................... 267 13.1. DEFORMACIÓN DE UNA REBANADA ................................................. 269 13.1.1 DEFORMACIÓN DE UNA REBANADA POR ESFUERZO AXIL . 270 13.1.2 DEFORMACIÓN DE UNA REBANADA POR ESFUERZO CORTANTE ......................................................................................................... 271 13.1.3 DEFORMACIÓN DE UNA REBANADA POR MOMENTO TORSOR 273 13.1.4 DEFORMACIÓN DE UNA REBANADA POR MOMENTO FLECTOR............................................................................................................. 273 13.2.

FORMULAS DE NAVIER-BRESSE.......................................................... 276

5

13.2.1 13.2.2 13.3.

Pieza plana con cargas en su plano .......................................................277 PIEZA RECTA CON CARGAS EN SU PLANO ................................277 APLICACIÓN A PROBLEMAS HIPERESTATICOS................................283

13.4. TEOREMAS DE MOHR............................................................................285 13.4.1 PRIMER TEOREMA DE MOHR ........................................................285 13.4.2 SEGUNDO TEOREMA DE MOHR ....................................................286 13.4.3 TERCER TEOREMA DE MOHR (TEOREMA DE LA VIGA CONJUGADA) .....................................................................................................288 13.5.

ECUACIÓN DE LA ELASTICA ................................................................290

CAPÍTULO 14.............................................................................................................293 ESTRUCTURAS INTRASLACIONALES ..............................................................293 14.1.

INTRODUCCIÓN .....................................................................................295

14.2.

CONCEPTO DE ESTRUCTURA INTRASLACIONAL .............................295

14.3. CALCULO DE ESTRUCTURAS INTRASLACIONALES .........................299 14.3.1 CALCULO DE VIGAS CONTINUAS ................................................299 14.3.2 CALCULO DE SEMIPÓRTICOS........................................................302 14.3.3 CALCULO DE PÓRTICOS .................................................................304 CAPÍTULO 15.............................................................................................................307 INESTABILIDAD ELÁSTICA. PANDEO ..............................................................307 15.1.

INESTABILIDAD ELÁSTICA ...................................................................309

15.2.

PANDEO EN BARRAS..............................................................................311

15.3. LIMITE DE APLICACIÓN DE LA FORMULA DE EULER. FORMULA DE ENGESSER .........................................................................................................314 BIBLIOGRAFÍA ELASTICIDAD ............................................................................317 BIBLIOGRAFÍA RESISTENCIA DE MATERIALES ..........................................322

6

PRÓLOGO Son, por su naturaleza e importancia, la Elasticidad y la Resistencia de Materiales materias eminentemente ingenieriles y comunes en la inmensa mayoría de los estudios que se imparten en las Escuelas de Ingenieros, no solo de España sino también del mundo. Esto hace que resulten ser un nexo común de todos los ingenieros, pues todos conocen sus fundamentos y aplicaciones. La Teoría de Elasticidad tiene mayor contenido y rigor matemático que la Resistencia de Materiales y, a veces, su estudio resulta complicado pues es difícil prever sus aplicaciones y el alumno se impresiona cuando oye hablar de tensores y de ecuaciones en derivadas parciales. Pero la Teoría de la Elasticidad contiene las bases fundamentales que, una vez comprendidas y asimiladas, resultan extremadamente fáciles y lógicas, y que, más adelante, llevarán al ingeniero a poder diseñar y proyectar estructuras y componentes mecánicos que cumplan con su misión en servicio. Se trata de dos campos extremadamente relacionados entre sí, y compendio de estudios realizados por matemáticos, físicos e ingenieros, principalmente, en los siglos XVIII y XIX (basta ver, cuando nos referimos a un nombre particular, su año de nacimiento). El alumno podría pensar (sobre todo cuando vea las fechas que aparecen en el texto), que se trata de una asignatura “antigua”, sobre todo si se la compara con otras que versan sobre otros campos del saber que han aparecido, o se han desarrollado, en el siglo XX. Pero se equivocaría si así lo hiciera: no por antiguas, las teorías de Isaac Newton (Philosophiae Naturalis Principia Matemática se publicó en julio de 1687) son menos importantes(basta ser conscientes de su trascendencia para el desarrollo de la Humanidad). Presentamos aquí unas materias, cuyo estudio ya inició Galileo Galilei (1564-1642) quien, además de observar los cuerpos celestes con sus telescopios, realizaba experimentos de Resistencia de Materiales, que tienen, y tendrán, importancia siempre para los ingenieros, pues son la

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base del diseño estructural (diseñar componentes que presten un determinado servicio “sin ...