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Estadística aplicada a los problemas de la ingeniería civil, explicación de temas y solucionario de los mismos de forma detallada y explicita....

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APUNTES DE ESTADÍSTICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL

Tercera Edición Porras & Sánchez

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APUNTES DE ESTADÍSTICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL Texto guía exclusivo para el estudiante de la asignatura de Estadística Aplicada A la Ingeniería - 24095 – Grupos: O1, D1, K1

Docentes: Ing. Hernán Porras Díaz, M.Sc, Ph.D. Ing. Omar Giovanny Sánchez Rivera

Universidad Industrial de Santander Escuela de Ingeniería Civil Grupo de Investigación de Geomática, Gestión y optimización de sistemas Asignatura de Estadística Aplicada a La Ingeniería Bucaramanga, septiembre de 2014

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Importancia de la Estadística en la Ingeniería Un ingeniero es alguien que cumple una importante función en la sociedad que consiste en la aplicación de los principios de la ciencia para la formulación de problemas y/o soluciones enfocados a la satisfacción de las necesidades del entorno al cual pertenece. Este proceso de formular y dar solución a un problema se encuentra ligado a un conjunto de pasos en los cuales se encuentra fundamentado el método científico o método de la ingeniería que puede resumirse como: 1. Observación: Mirar con atención y recato el comportamiento del fenómeno a estudiar. 2. Inducción: Obtener conclusiones generales, identificar las variables que pueden jugar un papel en la solución. 3. Hipótesis: Proponer un modelo apoyado en postulados científicos que apliquen a la situación de interés. 4. Prueba de la hipótesis: Con la utilización del modelo propuesto realizar un proceso de experimentación realizando los ajustes necesarios para mejorar su semejanza con la realidad. 5. Demostración o refutación de la hipótesis: Verificar que los resultados obtenidos son coherentes con la realidad estudiada. 6. Teoría científica o tesis: Generar conclusiones basadas en los resultados obtenidos de la simulación procurando la solución del problema. En el proceso de la aplicación del método científico el ingeniero deberá entonces realizar una toma de datos que luego deberá analizar para encontrar una relación con una teoría científica o tendencia y así poder formular un modelo el cual puede consistir en un conjunto de expresiones matemáticas que permiten describir la situación analizada finalmente realizar una simulación y obtener las respectivas conclusiones. Puede inferirse entonces que al momento de realizar las acciones descritas se deberá hacer uso de la matemática en sus diferentes áreas. La ciencia de las matemáticas puede considerarse como una caja de herramientas en la cual se encuentran disponibles gran variedad de herramientas con diferentes aplicaciones y complejidades, una de estas herramientas es la Estadística. La Estadística aparece de la necesidad de entender y describir la variabilidad que se presenta en la naturaleza de un parámetro de interés un claro ejemplo puede citarse en el estudio del caudal de un rio donde su variabilidad con respecto tiempo resulta de gran importancia al momento del diseño de una estructura para captación de agua La variables de interés para el ingeniero varían de acuerdo a su campo de acción un ejemplo de esta afirmación puede observarse en el campo de la Ingeniería Civil que tiene diferentes escenarios de actuación el Ingeniero Hidráulico estará interesado en el estudio del caudal de un rio con el objetivo del suministro del líquido a una red de acueducto, el Ingeniero Estructural se

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interesara por la resistencia a la compresión del concreto utilizado en la construcción de una columna, el Ingeniero de Transportes por la cantidad de vehículos en las horas pico en una zona alta congestión vehicular, El Ingeniero De Pavimentos por la cantidad de vehículos que transitan y carga que estos ejercen sobre la estructura de pavimento a analizar. Las necesidades del entorno pueden llegar a ser tan simples como estudiar la estatura de los estudiantes presentes en un aula de clase, pero no todas las situaciones analizadas son simples esto puede observarse en el estudio de los fenómenos climáticos donde a la actualidad existe serias complicaciones para lograr una predicción exacta de los potenciales desastres.

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1. Estadística descriptiva Una parte importante de la estadística es la Estadística Descriptiva esta se ocupa de la recolectar, analizar y representar un conjunto de datos con la finalidad de realizar una descripción de las características de este. La estadística descriptiva consta de dos partes como se observa en el siguiente diagrama. Estadística Descriptiva

Grafica

Numérica

Por lo general las observaciones son una parte de un conjunto de datos correspondiente a la variable de interés, lo que se conoce como muestra que se considera como un subconjunto que se encuentra contenido en el conjunto correspondiente a la población en la siguiente imagen puede observarse tal situación.

Un ejemplo de un conjunto correspondiente a una población podría verse en los alumnos de un curso de estadística donde una muestra de tal conjunto será un grupo de estudiantes de tal curso. Estadística descriptiva numérica 1. Media o promedio aritmético También conocida como promedio aritmético es una medida de tendencia central que puede obtenerse mediante el cálculo de un promedio ponderado este valor no necesariamente coincide con el de la moda y mediana. La media de un conjunto de datos representa el valor esperado es decir el valor más probable a obtener en uno de los elementos del conjunto analizado. Definición

La media muestral para un conjunto “n” observaciones denotadas como 𝑥1 , 𝑥2 … … . 𝑥𝑛 se define como:

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6 𝑛 𝑖=1

∑ 𝑥𝑖 𝑛 … … . +𝑥𝑛 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ 𝑥= = 𝑛 Donde “n” representa el tamaño del conjunto correspondiente a la muestra.

2. Moda.

Valor que más se repite en la muestra analizada, la moda podría interpretarse como el dato con mayor frecuencia relativa absoluta presente en un conjunto de datos analizados, el conjunto de datos puede contar con una o más modas pero también puede suceder el caso en que ningún dato se repita entonces se dice que dicho conjunto no tiene moda. 3. Mediana. Es el valor que se encuentra en posición central de los datos ordenados de menor a mayor el cual su a su vez corresponde con el percentil 50 (P50) es decir el 50% de los datos tienen un valor inferior a la mediana y el 50% un valor superior. La mediana coincide con el valor del segundo cuartil (Q2) 4. Rango

𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = 𝐷𝑚𝑎𝑥 − 𝐷𝑚𝑖𝑛

5. Varianza

𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝑠2 = 6. Desviación Estándar

∑(𝑥𝑖 − 𝑥)2 (𝑛 − 1)

𝑠𝑥 = √𝑉𝑎𝑟(𝑥) = √𝑠 2 𝑠𝑥 = √

7. Coeficiente de variación

8. Coeficiente de asimetría

∑(𝑥𝑖 − 𝑥)2 (𝑛 − 1)

𝑉𝑥 =

𝑠𝑥 𝑥

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𝑔1 =

∑

𝑛 𝑖=1

𝑛 3 (𝑥 𝑠 3𝑖 − 𝑥)

Caracteriza el grado de asimetría con respecto a su media Valor positivo: Distribución unilateral que se extiende hacia valores más positivos Valor negativo: Distribución unilateral que se extiende hacia valores más negativos

9. Coeficiente de curtosis Es un coeficiente que permite caracterizar el grado de elevación o el achatamiento relativo de una distribución, comparada con la distribución normal Valor positivo: Es indicador de una distribución relativamente elevada Valor negativo: Es indicador de una distribución relativamente plana ∑𝑛𝑖=1 (𝑥𝑖 − 𝑥)4 𝑛 𝑔2 = 𝑠4

Ejemplo 1.1

Una clase de estadística consta de 56 alumnos, para explicar el tema de estadística descriptiva el docente elige a un grupo de 16 estudiantes los cuales pueden asumirse como una muestra representativa en el estudio de la estatura de los estudiantes del grupo, los valores obtenidos para la estatura en metros de estos 16 estudiantes son los siguientes: 1.79 1.60 1.82 1.61 1.72 1.76 1.74 1.65 1.61 1.68 1.66 1.74 1.81 1.74 1.76 1.83 Realizar un análisis de estadística descriptiva para la estatura de los estudiantes de estadística. 1. Media o promedio aritmético Aplicando la fórmula 1.1. se obtiene: 𝑥 =

1.79 + 1.60 + 1.82 + 1.61 + 1.72 + ⋯ … … … … … . +1.74 + 1.76 + 1.83 16 Apuntes de Estadística Aplicada A La Ingeniería Civil - Porras & Sánchez

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𝑥 = 1.72 [𝑚] Como puede observarse el valor promedio es un valor al que todos los valores se encuentran relativamente cerca, en el caso de preguntar el valor de la estatura a un estudiante de este grupo el valor esperado será de 1.72 [m]. El concepto de valor esperado se desarrollara en la sección de probabilidad. 2. Moda Es el dato que más se repite dentro del conjunto de datos de la muestra 𝑀𝑜 = 1.74 [𝑚]

3. Mediana

Ordenando los datos del menor valor al mayor valor se tiene: 1.59 1.60 1.61 1.65 1.66 1.68 1.72 1.74 1.74 1.74 1.76 1.76 1.79 1.81 1.82 1.83 Se tiene el caso de un tamaño de la muestra par n=16, el promedio aritmético de los datos de la mitad es: 𝑀𝑒 =

4. Rango

1.74 + 1.74 = 1.74 [𝑚] 2 𝐷𝑚𝑎𝑥 = 1,83 [𝑚] 𝐷𝑚𝑖𝑛 = 1.59 [𝑚]

5. Varianza 𝑉𝑎𝑟(𝑥) =

𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = 1.83 − 1.59 = 0.24 [𝑚] (1.79 − 1.72)2 + (1.60 − 1.72)2 + ⋯ … … … + (1.76 − 1.72)2 + (1.83 − 1.72)2 16 − 1 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 0.0059

6. Desviación Estándar

7. Coeficiente de variación

𝑠 = √𝑉𝑎𝑟(𝑥) = √0.0059 = 0.0767 [𝑚]

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8. Coeficiente de asimetría

𝑉𝑥 =

𝑠𝑥 𝑥

0.0767= 0.0446 = 1.72

(1.79 − 1.72)3 + (1.60 − 1.72)3 … … . +(1.76 − 1.72)3 + (1.83 − 1.72)3 16 𝑔1 = 0.07673

9. Coeficiente de curtosis

0.001322 16 𝑔1 = = 0.1831 0.07673

(1.79 − 1.72)4 + (1.60 − 1.72)4 … … . +(1.76 − 1.72)4 + (1.83 − 1.72)4 16 𝑔2 = 0.07674 0.000501 16 𝑔2 = = 0.9048 0.07674

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2. Análisis de frecuencias Un análisis de frecuencias resulta importante en el momento de realizar una descripción de la distribución de los valores numéricos de los datos de una muestra en intervalos de clase definidos según la necesidad del estudio realizado Para el cálculo del número de intervalos de clase se tienen en cuenta las siguientes expresiones. -

Para muestras de gran cantidad de datos

-

Para muestras de cantidad de datos moderada (Formula de Sturges)

𝑁𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 = √𝑛;

𝑛: 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎

𝑁𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 = 1 + 3.3 ∗ 𝐿𝑜𝑔(𝑛);

𝑛: 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎

Se debe recordar que el número de intervalos será una valor entero por tanto este deberá aproximarse según reglas de aproximación. Este número de intervalos puede ser asumido aleatoriamente según la necesidad del análisis Ejemplo: Se estudia la respuesta dinámica en la dirección paralela al viento de construcciones con formas angulosas durante el paso del Huracán Sandy edificaciones ubicadas en regiones costeras de Carolina Del Norte en las que pueden suponerse el primer modo o modo fundamental de vibración como dominante, para esto se realizan mediciones del factor de ráfaga del viento el cual es función de varios parámetros de entre los cuales el más significativo es la velocidad del viento. Una muestra representativa de los datos obtenidos es la siguiente: 2.08 1.73 1.26 1.1 2.28

1.81 2.35 2.17 1.65 2.04

2.14 2.28 1.58 2.33 2.45

2.09 1.26 2.45 1.56 2.17

2.14 1.42 2.29 1.24 1.87

1.67 2.39 1.45 1.68 2.46

2 1.16 2.08 2.38 2.27

Realizar un análisis de Frecuencias para los datos del factor de ráfaga del viento durante el paso del huracán Sandy Solución: Para comenzar se calcula el número de intervalos de clase para el respectivo análisis en este caso se utiliza el radical del número de datos en la muestra.

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𝑁𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 = √𝑛 = √35 = 5.92 ≈ 6 Se calcula el ancho del intervalo para lo cual se tiene en cuenta el rango: 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = 𝐷𝑚𝑎𝑥 − 𝐷𝑚𝑖𝑛 = 2.460 − 1.100 = 1.360 ℎ=

𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜

𝑁𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠

=

1.360 = 0.226667 6

El inicio el primer intervalo deber ser el valor mínimo en la muestra y el final del ultimo intervalo será el valor máximo de los datos presente en la muestra, esto puede observarse en la tabla de análisis de frecuencia que se muestra Intervalo de clase 1 2 3 4 5 6

Intervalo Inicio Fin 1.100 1.327 1.553 1.780 2.007 2.233

1.327 1.553 1.780 2.007 2.233 2.460 Suma

Frecuencia Absoluta 5 2 6 3 8 11 35

Frecuencia Frecuencia Absoluta Frecuencia Relativa Acumulada Relativa Acumulada 5 0.143 0.143 7 0.057 0.200 13 0.171 0.371 16 0.086 0.457 24 0.229 0.686 35 0.314 1.000 1.000

La frecuencia absoluta se interpreta como el número de datos que se encuentran en el intervalo de clase al que corresponda. Debe observarse que la suma de estas frecuencias deberá ser el mismo valor que el tamaño de la muestra de lo contrario se habrá cometido un error. La frecuencia relativa se interpreta como la proporción de datos que se encuentran en el intervalo de clase esta puede obtenerse de la división de la frecuencia absoluta sobre el número de datos en la muestra, la suma de las frecuencias relativas deberá ser de uno. Los histogramas del análisis se observan a continuación,

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Histograma de Frecuencia Absoluta Frecuencia Aboluta

12 10 8 6 4 2 0 1

2

3

4

5

6

Intervalo De Clase

Histograma Frecuencia Relativa Acumulada Frecuencia Aboluta

1.000 0.800 0.600

0.400 0.200 0.000 1

2

3 4 Intervalo De Clase

5

6

Frecuencia Aboluta

Histograma Frecuencia Absoluta Acumulada 35 30

25 20 15 10 5 0 1

2

3

4

5

6

Intervalo De Clase

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Frecuencia Aboluta

Histograma Frecuencia Relativa 0.350 0.300 0.250 0.200 0.150 0.100 0.050 0.000 1

2

3

4

5

6

Intervalo De Clase

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3. Diagrama de tallos y hojas. Un diagrama de tallos y hojas permite obtener una distribución de frecuencias y una representación gráfica de la dispersión de una variable analizada. Se utiliza cuando se cuenta con una muestra de tamaño moderado, los pasos para la elaboración de un diagrama de tallos y hojas son: 1. Seleccionar los dígitos que son convenientes para el tallo, se recomienda que el diagrama cuente con al menos 5 tallos para facilitar la visualización del comportamiento de los datos. 2. Elaborar una lista de los valores del tallo en una columna vertical. 3. Clasificar las hojas de acuerdo al tallo que correspondan. Para los conjuntos de datos con una alta dispersión se recomienda el uso de un software. Ejemplo: En la construcción de una edificación de vivienda se estudia la estatura de un conjunto de 30 trabajadores con el objetivo de analizar las tallas de la ropa de trabajo. Los datos obtenidos para la estatura en metros luego de una medición cuidadosa son los siguientes. Estatura [m] 1.85 1.49 1.70 1.79 1.69 1.79 1.63 1.73 1.61 1.68 1.68 1.65 1.60 1.65 1.72 1.72 1.60 1.91 1.78 1.58 1.68 1.60 1.78 1.83 1.74 1.73 1.69 1.75 1.67 1.55 Elaborar un diagrama de un diagrama de tallos y hojas para la estatura de los trabajadores Solución: Son tres cifras significativas con las que se realizó la medición, para el tallo se define las dos primeras cifras significativas y se clasifican la hojas según corresponda. Se calculan los valores máximo y mínimo para elaborar la lista de los tallos. 𝐷𝑚𝑖𝑛 = 1.49 [𝑚]

Tallo 14 15 16 17 18 19

𝐷𝑚𝑎𝑥 = 1.91 [𝑚] Hojas

Frecuencia 1 9 2 8 5 9 3 1 8 8 5 0 5 0 8 0 9 7 13 11 0 9 9 3 2 2 8 8 4 3 5 2 5 3 1 1 30 Total

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Probabilidad El estudio de la probabilidad comienza en la antigüedad con los juegos de azar algunos historiadores coinciden que los asirios y sumerios utilizaban un hueso del talón de las ovejas el cual tallaban de tal manera que este tuviera la posibilidad de caer en cuatro posiciones diferentes para realizar apuestas basadas en la posición final del hueso luego de un lanzamiento. Comienza el estudio por parte de los apostadores sobre la posibilidad de obtener las diferentes posiciones luego del lanzamiento y con esto tener una ventaja al momento de realizar la apuesta. Por estas razones los asirios y sumerios son considerados como los precursores del dado. En los tiempos del imperio romano los juegos relacionados con dados se practicaban con gran fervor uno de estos juegos conocido como “hazard” lo que traduce en inglés y francés riesgo o peligro entonces el termino se convierte en azar que fue introducido en Europa con la tercera cruzada. En la actualidad los juegos de azar aparecen en distintas formas juegos de cartas, juegos de dados, ruletas, maquinas traga monedas, loterías, dominos etc. El estudio de la probabilidad deja de ser único para los juegos de azar y pasa a tener gran variedad de aplicaciones en las distintas ramas del conocimiento. De los más notables estudiosos que emprendieron el estudio de la teoría de la probabilidad se encuentran importantes matemáticos como Pierre Fermat y Blaise Pascal que comenzaron a trabajar sobre algunos problemas relacionados con los juegos de azar, para luego llegar a formular una discusión sobre la creencia en Dios basada en probabilidades. El término de la probabilidad en ocasiones suele presentarse en palabras no tan formales un ejemplo para este tipo de frase podría ser “Es muy posible que todos los estudiantes del curso aprueben la asignatura”, entonces alguien curioso puede preguntar ¿Qué tan posible puede ser este fenómeno? Para responder este tipo de pregunta se hace necesario dar un valor numérico para determinar el grado de posibilidad es por ello que en esta sección y en las siguientes se estudiaran diferentes métodos y procedimientos para calcular dichos valores. Es posible que el estudiante de ingeniería en este momento piense que el presente capitulo está orientado a formar apostadores en potencia, lo cual sería erróneo dado que la teoría de la probabilidad tiene una gran aplicación en las distintas ramas de la ingeniería un ejemplo de esto es el ingeniero encargado del diseño de obras civiles que deberá tener presente la probabilidad de que se presente un evento climático extremo tal como una ráfaga de viento con altas velocidades que puede resultar fatal para una estructura. 4.1 Espacio Muestral Para el estudio de un parámetro de interés generalmente se hace necesaria la realización de un experimento con la finalidad de obtener un patrón o tendencia del fenómeno a partir de los resultados obtenidos,

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Cuando se enuncia la palabra experimento puede pensarse en un laboratorio con los equipos necesarios para las pruebas y personas calificadas encargadas de la interpretación y toma de los resultados, pero no siem...