Apuntes Fisica Matemática I PDF

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Los apuntes son de José Rogan y Víctor Muñoz. Pertencen al tercer año de licenciatura en física. Introducen el análisis tensoria, operadores en campo, coordenadas y matrices....

Description

Departamento de F´ısica, Facultad de Ciencias, Universidad de Chile. ˜ noa. Casilla 653, Correo 1, Santiago Las Palmeras 3425, Nu˜ fono: 562 978 7276 fax: 562 271 2973 e-mail: [email protected]

Apuntes de un curso de

´ F´ ISICA MATEMATICA Tercera edici´ on, revisi´ on 080424-10

Jos´e Rogan C. V´ıctor Mu˜noz G.

´ Indice I

An´ alisis Tensorial

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1. Una breve revisi´ on de ´ algebra lineal. 1.1. Notaci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Operaciones vectoriales. . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Rotaci´on de vectores. . . . . . . . . . . 1.2.2. Productos vectoriales. . . . . . . . . . 1.2.3. C´alculos usando notaci´on de Einstein. .

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2. Operadores en campos escalares y vectoriales. 2.1. Dibujando campos escalares y vectoriales. . . . . . . 2.1.1. Dibujando campos escalares. . . . . . . . . . . 2.1.2. Dibujando campos vectoriales. . . . . . . . . . 2.2. Operadores vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Notaci´on del operador integral. . . . . . . . . 2.2.2. Integrales de l´ınea. . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Integrales de superficie. . . . . . . . . . . . . . 2.2.4. Integrales de volumen. . . . . . . . . . . . . . 2.3. Operadores diferenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Vista f´ısica del gradiente. . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Vista f´ısica de la divergencia. . . . . . . . . . 2.3.3. Vista f´ısica del rotor. . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4. Identidades con operadores diferenciales. . . . 2.4. Definiciones integrales de los operadores diferenciales. 2.5. Los teoremas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Teorema de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2. Teorema de Green. . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3. Teorema de Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4. Teorema de Helmholtz. . . . . . . . . . . . . .

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5 . 5 . 8 . 9 . 11 . 15

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19 19 19 20 21 21 21 22 23 24 25 27 30 33 34 35 35 36 37 39

3. Sistemas de Coordenadas Curvil´ıneos. 3.1. El vector posici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. El sistema cil´ındrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Sistema esf´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Sistemas curvil´ıneos generales . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Coordenadas, vectores base y factores de escala

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41 41 42 45 47 47

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´INDICE

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3.4.2. Geometr´ıa diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3. El vector desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4. Producto de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.5. La integral de l´ınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.6. Integral de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.7. La integral de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.8. El gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.9. La divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.10. El rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Gradiente, divergencia y rotor en sistemas cil´ındricos y esf´ericos 3.5.1. Operaciones cil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2. Operaciones esf´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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49 51 51 52 52 52 52 53 54 56 56 57 59 59 62 63 63 64 67 68 69 70 76 77 77 82 83

4. Introducci´ on a tensores. 4.1. El tensor de conductividad y la ley de Ohm. . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Notaci´on tensorial general y terminolog´ıa. . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Transformaciones entre sistemas de coordenadas. . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Transformaciones vectoriales entre sistemas cartesianos. . . . . 4.3.2. La matriz de transformaci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3. Resumen de transformaciones de coordenadas. . . . . . . . . . 4.3.4. Transformaciones tensoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Diagonalizaci´on de tensores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Diagonalizaci´on y problema de valores propios. . . . . . . . . . 4.5. Transformaciones tensoriales en sistemas de coordenadas curvil´ıneos. 4.6. Pseudo-objetos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1. Pseudo-vectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2. Pseudo-escalares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.3. Pseudo-tensores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5. Sistema de coordenadas no ortogonales. 5.1. Breve recuerdo de transformaciones tensoriales. . . . . . . . . . . . . 5.2. Sistemas de coordenadas no ortogonales. . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Un sistema de coordenadas inclinado. . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2. Covarianza, contravarianza y m´etrica. . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3. Transformaciones de componentes vectoriales contravariantes. 5.2.4. Notaci´on de sub´ındices y super´ındices. . . . . . . . . . . . . . 5.2.5. Transformaciones de componentes vectoriales covariantes. . . . 5.2.6. Covarianza y contravarianza en tensores. . . . . . . . . . . . . 5.2.7. Contravarianza y covarianza de derivadas parciales. . . . . . .

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85 . 85 . 87 . 88 . 90 . 92 . 95 . 98 . 101 . 103

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107 . 107 . 114 . 121 . 129

6. Determinantes y matrices. 6.1. Determinantes. . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Matrices ortogonales. . . . . . . . . . . . 6.4. Matrices Herm´ıticas, matrices unitarias.

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6.5. Diagonalizaci´on de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.6. Matrices normales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 7. Teor´ıa de grupo. 7.1. Introducci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Generadores de grupos continuos. . . . . . . . . . . . 7.3. Momento angular orbital. . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Grupo homog´eneo de Lorentz. . . . . . . . . . . . . . 7.5. Covarianza de Lorentz de las ecuaciones de Maxwell.

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8. Series infinitas. 8.1. Conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Pruebas de Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1. Pruebas de comparaci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2. Prueba de la ra´ız de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.3. Prueba de la raz´on de D’ Alembert o Cauchy. . . . . . . . . 8.2.4. Prueba integral de Cauchy o Maclaurin. . . . . . . . . . . . 8.2.5. Prueba de Kummer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.6. Prueba de Raabe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.7. Prueba de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.8. Mejoramiento de convergencia. . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Series alternadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1. Criterio de Leibniz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2. Convergencia absoluta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ de series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Algebra 8.4.1. Mejoramiento de la convergencia, aproximaciones racionales. 8.4.2. Reordenamiento de series dobles. . . . . . . . . . . . . . . . 8.5. Series de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.1. Convergencia uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.2. Prueba M de Weierstrass. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.3. Prueba de Abel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6. Expansi´on de Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.1. Teorema de Maclaurin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.2. Teorema Binomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.3. Expansi´on de Taylor de m´as de una variable. . . . . . . . . . 8.7. Series de potencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7.1. Convergencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8. Convergencia uniforme y absoluta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8.1. Continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8.2. Diferenciaci´on e integraci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8.3. Teorema de unicidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8.4. Inversi´on de series de potencia. . . . . . . . . . . . . . . . . 8.9. Integrales el´ıpticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.9.1. Definiciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.9.2. Expansi´on de series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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145 . 145 . 149 . 162 . 166 . 168

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175 . 175 . 178 . 178 . 179 . 180 . 181 . 183 . 183 . 184 . 185 . 186 . 186 . 187 . 188 . 189 . 190 . 192 . 192 . 193 . 195 . 196 . 197 . 199 . 201 . 201 . 202 . 202 . 202 . 202 . 203 . 204 . 205 . 206 . 207

´INDICE

vi

8.9.3. Valores l´ımites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 8.10. N´ umeros de Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 8.10.1. Funciones de Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 8.10.2. F´ormula de integraci´on de Euler-Maclaurin. . . . . . . . . . . . . . . . 212 8.11. Funci´on zeta de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 8.11.1. Mejoramiento de la convergencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 8.12. Series asint´oticas o semi-convergentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 8.12.1. Funci´on gama incompleta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 8.12.2. Integrales coseno y seno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 8.12.3. Definici´on de series asint´oticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 8.12.4. Aplicaciones a c´alculo num´erico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 8.13. Productos infinitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 8.13.1. Convergencia de un producto infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 8.13.2. Funciones seno, coseno y gama. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 9. Ecuaciones diferenciales. 9.1. Ecuaciones diferenciales parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1. Ejemplos de PDE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2. Clases de PDE y caracter´ıstica. . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.3. Las PDE no lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.4. Condiciones de borde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Ecuaciones diferenciales de primer orden. . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1. Variables separables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.2. Ecuaciones diferenciales exactas. . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.3. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden lineales. 9.2.4. Conversi´on a una ecuaci´on integral. . . . . . . . . . . . . . . 9.3. Separaci´on de variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1. Coordenadas cartesianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.2. Coordenadas cil´ındricas circulares. . . . . . . . . . . . . . . 9.3.3. Coordenadas polares esf´ericas. . . . . . . . . . . . . . . . . .

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225 . 225 . 226 . 228 . 230 . 231 . 231 . 232 . 233 . 234 . 236 . 237 . 237 . 238 . 240

´ Indice de figuras 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5.

El sistema Cartesiano estandard . . . Geometr´ıa para la rotaci´on vectorial . El producto punto. . . . . . . . . . . El producto cruz. . . . . . . . . . . . El arreglo de 3 × 3 × 3 de Levi-Civita

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. 6 . 9 . 12 . 14 . 15

2.1. Equipotenciales y l´ıneas de campo el´ectrico de dos l´ıneas paralelas de carga. 2.2. La integral de l´ınea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Integrales de superficie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Superficies de Φ = −xy constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. L´ıneas de campo para Φ = −xy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Volumen diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Flujo a trav´es de las caras superior e inferior. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Campos vectoriales circulantes y no circulantes. . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Camino cerrado para la integral del rotor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10. Campos con rotor cero, figura (a) y distinto de cero, figura (b). . . . . . . . . 2.11. La suma de dos vol´ umenes diferenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12. La suma de dos vol´ umenes diferenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13. La suma de dos superficies diferenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14. El Teorema de Stokes implica un potencial escalar. . . . . . . . . . . . . . .

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20 22 23 26 27 28 28 30 31 32 36 36 37 38

3.1. El vector posici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. El sistema cil´ındrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. El vector posici´on en el sistema cil´ındrico . . . . . . . . . . . . . . 3.4. El sistema polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Componentes polares de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. El sistema esf´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. El vector posici´on en coordenadas esf´ericas . . . . . . . . . . . . . 3.8. Coordenadas curvil´ıneas y vectores bases . . . . . . . . . . . . . . 3.9. Volumen diferencial de un sistema de coordenadas curvil´ıneas . . 3.10. Orientaci´on de la superficie para la integraci´on curvil´ınea del rotor 3.11. Geometr´ıa diferencial para integraci´on curvil´ınea del rotor . . . .

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42 44 44 45 45 46 47 48 50 54 55

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4.1. Sistemas rotados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.2. Componentes del vector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.3. Vectores base en el sistema primado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 vii

´INDICE DE FIGURAS

viii

4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8.

Sistema de la mano derecha. . . . . . . . . . Vectores en el sistema de la mano derecha. . Sistema de la mano izquierda. . . . . . . . . Vectores en el sistema de la mano izquierda. El paralelogramo. . . . . . . . . . . . . . . .

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78 78 79 80 82

5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6.

Los sistemas de coordenadas de la Relatividad Especial. . . . . . . . . Un sistema de coordenadas de la Relatividad General. . . . . . . . . . Un sistema de coordenadas ortonormal y otro inclinado. . . . . . . . Dos sistemas de coordenadas inclinados. . . . . . . . . . . . . . . . . Determinaci´on de la base de vectores contravariante. . . . . . . . . . Componentes covariantes y contravariantes proyectadas de un vector.

. . . . . .

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88 88 89 93 99 100

6.1. Sistemas de coordenadas cartesianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Sistemas de coordenadas rotados en dos dimensiones. . . . . . . . . . . . . . 6.3. (a) Rotaci´on respecto al eje x3 en un a´ngulo α; (b) Rotaci´on respecto a un eje x′2 en un a´ngulo β; (c) Rotaci´on respecto a un eje x′′3 en un a´ngulo γ. . . . . 6.4. Vector fijo con coordenadas rotadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. Elipsoide del momento de inercia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6. Vector fijo con coordenadas rotada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 127 . 128 . 134 . 142

7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5.

Ilustraci´on de...