Esercizi Cinematica Fisica I PDF

Preview

Summary

Download Esercizi Cinematica Fisica I PDF

Description

A.A. 2018-2019: Esercitazione 2

Cinematica in una dimensione e in due dimensioni 1. Il record mondiale di salto in alto `e 2.45 m (maschile, 1993) – 2.09 m (femminile, 1987). A quale velocit`a v0 deve staccarsi da terra un atleta per saltare in alto 2.45 m? Si assuma che l’atleta possa essere descritto come un punto materiale (centro di massa dell’atleta) la cui quota all’istante del salto `e d = 1.0m, e che nel momento in cui l’asta viene superata il centro di massa dell’atleta passi 20 cm al di sopra dell’asta. [Sol.: v0 = 20.5 km/h ] 2. Un proiettile penetra in un blocco di legno spesso ℓ = 10 cm con velocit`a iniziale v0 = 1200 km /h. All’interno del blocco il moto `e smorzato: v = v0 e−γt , con γ costante maggiore di 0. (a) Quanto deve valere γ perch´e il proiettile si fermi alla fine del blocco? [Sol.: γ = v0 /ℓ = 3300 s−1 ] (b) Se arriva un altro proiettile con velocit`a v1 > v0 , quale sar`a la sua velocit`a v′ alla fine del blocco? [Sol.: v′ = v1 − v0 ] (c) Si pu`o valutare il tempo di arresto? [Sol.: strettamente parlando il tempo di arresto `e +∞, ma siccome lo smorzamento `e esponenziale, una stima della rapidit`a del processo `e data dal tempo caratteristico t∗ = γ −1 = 0.0003s; ogni t∗ secondi la velocit`a viene ridotta di un fattore e−1 ≃ 0.37; al tempo 7t∗ la velocit`a `e ridotta a un millesimo del suo valore iniziale, etc.] 3. Un oscillatore armonico `e costituito da un blocco appoggiato a un piano orizzontale liscio e attaccato ad una molla la cui estremit`a opposta `e fissata ad una parete verticale. Si assuma che la posizione di riposo della molla sia ℓ0 = 0 (e che quindi la legge oraria del moto si possa scrivere x(t) = A cos(ωt + ϕ), con A, ϕ, ω costanti). Sapendo che a un certo istante la posizione, velocit`a ed accelerazione del blocco valgono x0 = 0.112 m, v0 = −3.69 m / s, a0 = −0.123 m / s2 , calcolare la frequenza del moto e l’ampiezza dell’oscillazione. [Sol.: 0.167 s−1 ; 3.52 m] 4. Un’automobile A, inizialmente ferma, viene superata da un’altra automobile B in moto con velocit`a costante v = 100 km / h. Al momento del sorpasso l’automobile A si mette in moto con accelerazione costante pari ad a = 4 m / s2 . Determinare il tempo impiegato dall’automobile A per raggiungere l’automobile B e la distanza dal punto di partenza in cui ci`o avviene. [Sol: 14 s]

1

5. Un modello di automobile accelera da 0 a 100 km/h in 7 s. Un modello pi` u sportivo accelera da 0 a 300 km / h in 15 s. Supponendo che nel tempo indicato il moto sia uniformemente accelerato, valutare per entrambi i modelli l’accelerazione a, la strada percorsa, e il tempo in cui il modello sportivo accelera da 0 a 100 km / h. [Sol.: 4.0 m/s2 , 98 m; 5.6 m/s2 , 630 m; 5 s] 6. Determinare la profondit`a h di un pozzo sapendo che il tempo tra l’istante in cui si lascia cadere un sasso da fermo e quello in cui si ode il rumore dell’urto del sasso con il fondo del pozzo `e t∗ = 4.80 s. Si trascuri la resistenza dell’aria e si assuma la velocit`a del suono pari a vs = 340 m / s. Si consideri inizialmente una prima approssimazione nella quale il tempo necessario al suono per risalire dal pozzo `e trascurabile, e si determini poi la correzione che `e necessario introdurre in caso contrario. [Sol.: 113 m; 99.6 m] 7. Un sasso inizialmente fermo viene lasciato cadere da un palazzo. Dopo un tempo t0 viene gettato verso il basso un secondo sasso con velocit` a v2 . Riuscir` a il secondo sasso a raggiungere il primo? E se s`ı, dopo quanto tempo dal lancio? 2 /vmin −1 [Sol.: v2 > vmin = gt0 ; 21 t0 2v ] v /v −1 2

min

8. Si consideri un ascensore di un grattacielo, che si muove di moto uniformemente accelerato con accelerazione costante a1 . All’istante t = 0, l’ascensore ha velocit` a vA (0) = v1 e si trova all’altezza yA (0) = h1 . In quell’istante un uomo, fermo all’interno dell’ascensore (cio`e in moto con la stessa velocit`a dell’ascensore) lascia cadere un libro dall’altezza yL (0) = h2 > h1 . Trovare l’istante t∗ in cui il libro raggiunge il pavimento dell’ascensore. [Sol.: yA (t) = h1 + v1 t + 12 a1 t2 ; yL (t) = h2 + v1 t − 21 gt2 . q 1 t∗ : yA (t∗ ) = yL (t∗ ) ⇒ t∗ = 2 ha21−h . La soluzione esiste per a1 > −g. ] +g 9. Supponiamo che un arciere miri ad una mela su un ramo e che, nell’istante in cui parte la freccia, la mela cada. La freccia colpisce la mela? Si supponga h = 5m l’altezza della mela rispetto al punto da cui `e scoccata la freccia, d = 10m la distanza orizzontale tra arco e mela, v0 = 12m/s la velocit` a iniziale con cui `e scoccata la freccia. q 2 +d2 ) [Sol.: Si, se v0 ≥ g(h 2h ] 10. Un cannone posto a un’altezza di h = 10m rispetto al livello del suolo e con un alzo di 30◦ spara un proiettile con velocit´a iniziale 100m/s. A che distanza dalla verticale del punto di lancio il proiettile tocca terra? [Sol.: 900m, posizionando il cannone alla quota h si aumenta la gittata del 2%.]

2

11. Un nuotatore attraversa un fiume di larghezza l = 20m puntando in direzione normale alle sponde. La velocit´ a del nuotatore relativa all’acqua ´e costante e pari a 3.6km/h. Si consideri come origine del moto il punto A di partenza del nuotatore da una delle due sponde. Se la velocit´a dell’acqua del fiume varia con la distanza y dalla sponda di partenza secondo la legge vf = αy(l − y) con α = 5 ∗ 10−3 (ms)−1 , si determini il tempo impiegato ad attraversare il fiume e il punto di arrivo B. Si descriva la traiettoria del nuotatore mediante un grafico. [Sol. 20s; B si trova 6.7m pi´ u avanti di A lungo il corso del fiume] 12. Un punto materiale si muove di moto circolare lungo una circonferenza di raggio 10m con accelerazione angolare costante. All’istante iniziale t0 = 0s si ha θ = 0, ω(0) = ω0 = 2π s−1 , mentre al tempo t1 = 2s si ha ω(t1 ) = ω1 = 3πs−1 . a) Calcolare l’accelerazione centripeta del punto materiale all’istante t2 = 4s b) Quanti giri o frazione di giro ha compiuto tra t0 e t2 ? c) Quanto tempo impiega a percorrere il primo giro? d) E’ un moto periodico? Perch´e? [Sol.: a) 160 π 2 m/s2 ; b) 6; c) 0.90s; d) no] 13. Un cannone spara con velocit´a iniziale v = 300 m/s proiettili che devono colpire un bersaglio situato su un monte di altezza h = 103 m rispetto al cannone. La distanza in linea d’aria tra il cannone e il bersaglio ´e di 5 ∗ 103 m. Trovare l’angolo di alzo. Se un proiettile ´e sparato con la stessa velocit´a iniziale ma con angolo di alzo α = 30◦ , quali sono altezza massima raggiunta dal proiettile e gittata? [Sol.: 28◦ oppure 72.5◦ ; 1150m; 7940m] 14. Un tuffatore si lancia orizzontalmente da un’altezza h = 35m. Sapendo che ci sono scogli per 5m dalla base della piattaforma di tuffo determinare il tempo di volo e la velocit´a minima che permette al nuotatore di evitare gli scogli. [Sol.: 2.7s, 1.9m/s] 15. Un arciere deve colpire un bersaglio posto ad una distanza di 25m. La velocit´a iniziale della freccia ´e 38m/s. Sapendo che se mira direttamente al bersaglio la freccia parte in direzione orizzontale, di che angolo deve inclinare l’arco per colpire la mela? [Sol.: 4.9◦ ; 85.1◦ ]

3...