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esercizi di fisica...

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Forza - Definizione di forza La forza  la causa che provoca il movimento di un corpo che si trova in uno stato di quiete oppure ne determina l’arresto se in moto; la forza  anche la causa che produce deformazioni in un corpo vincolato. La forza  una grandezza di tipo vettoriale, cio risulta determinata da direzione, modulo e verso. L’unit di misura della forza  il Newton, simbolo N (scritto in stampato maiuscolo). Se pi& forze vengono applicate allo stesso punto possiamo distinguere due casi: caso statico: se la somma di tutte le forze che agiscono  pari a zero; allora il corpo su cui agiscono le forze o rimane fermo oppure si muove di velocit costante (vedi primo principio della dinamica); caso dinamico: se la somma di tutte le forze che agiscono sul corpo  diversa da zero, l’effetto  quello di accelerare il corpo (vedi secondo principio della dinamica). Ad esempio un caso statico in cui la somma di tutte le forze che agiscono  pari a zero  il tiro alla fune se entrambe le squadre tirano la fune con la stessa forza

oppure un oggetto poggiato sopra un piano inclinato che non scivola se agisce una forza d’attrito maggiore o uguale e contraria alla parallela della forza peso

verso il basso componente

Le forze si sommano con le regole relative ai vettori, in particolare con parallelogramma  possibile ottenere graficamente la risultante di pi& forze.

la regola del

La risultante di pi& vettori  possibile ottenerla anche con il metodo punta-coda. Tipologie di forze in meccanica Elenchiamo le principali forze utilizzate in meccanica. La forza peso P di un corpo  la forza relativa all’attrazione gravitazionale verso il pianeta, il suo modulo vale il prodotto della massa 2 del corpo per l’accelerazione di gravit g che vale 9,8 m/s : |P| = m · g La direzione della forza peso  diretta verso il centro della Terra. Nel caso particolare che il corpo sia posto su di un piano inclinato, allora bisogna considerare due componenti della forza peso: la componente parallela al piano (P//) e la componente perpendicolare al piano (P ⊥), Il vettore P (forza perso) , come si pu6 evincere dal grafico sopra riportato, sempre rivolto perpendicolarmente verso il centro della Terra. La forza elastica di una molla di costante elastica K  la forza di richiamo che una molla esercita su di un corpo quando essa  compressa (o allungata) di una certa distanza x: |Fel| = K · x La direzione  quella su cui idealmente scorre il corpo, quindi una retta, mentre il verso  rivolto verso la molla:

La forza di tensione o pi& semplicemente tensione T interviene quando una massa  appesa ad un filo o a una fune che considereremo sempre inestensibili per semplicit. Questa semplificazione implica il fatto che la tensione viene trasmessa dalla fune senza deformazione, quindi cos; per come  da una capo all’altro ad esempio di una carrucola.

Nell’immagine sopra, ad esempio, i due blocchi sono collegati da una fune ed il blocco di destra trascina con se quello di sinistra. La tensione applicata al blocco di sinistra  uguale in modulo ma di verso contrario alla tensione applicata al blocco di destra. La direzione delle forze di tensione coincidono con la direzione in cui  presente la fune stessa, mentre il verso  quello rivolto dal lato in cui c’ la fune. La forza di reazione vincolare o normale  la forza che reagisce alla presenza di un vincolo per cui un corpo risulta appoggiato su di una superficie. Infatti se una massa poggia su di un piano, l’effetto della forza peso, che tenderebbe a far cadere il corpo verso il basso, viene azzerato dalla presenza della reazione del vincolo:

Nella figura sopra il vincolo  rappresentato dalla superficie piana del tavolo che pertanto esercita una forza sulla massa m uguale e contraria a quella della forza peso. La direzione della normale  sempre perpendicolare al piano di appoggio e la sua direzione rivolta verso l’alto. La forza di attrito  la forza che interviene quando il moto di un corpo avviene lungo superfici scabre ovvero dotate di un coefficiente di attrito, che tendono a rallentare il corpo per via dell’energia dissipata per lo sfregamento appunto. Quando una superficie non  interessata da attrito viene detta superficie liscia. Il modulo della forza di attrito  pari al prodotto del coefficiente di attrito μ, che  un parametro dipendente dal tipo di superficie scabra, per il modulo della forza di reazione normale a cui  soggetto il corpo, ovvero: |Fattr| = μ · N Ora, se il corpo  appoggiato su un piano orizzontale, il modulo della forza normale  pari alla forza peso m·g quindi: |N| = m·g e quindi:

|Fattr| = μ · N = μ · m · g La forza di attrito ha la stessa direzione del moto lungo il quale il corpo si muove ma con verso opposto:

Nel caso illustrato in figura l'armadio si muove verso destra mentre la forza di attrito si oppone al moto e quindi ha direzione verso sinistra.

Forza ed accelerazione Per il secondo principio della dinamica, la somma di tutte le forze che agiscono su di un corpo  pari al prodotto della massa per l’accelerazione che il corpo subisce:

La forza rappresenta dunque la causa dell’accelerazione di un corpo, quindi della sua messa in moto se era in quiete (variazione dello stato di quiete), oppure della variazione di velocit (se il corpo si stava muovendo di moto rettilineo uniforme), o del passaggio dallo stato di moto fino a quello di quiete. Forza centripeta e centrifuga La forza centripeta  la forza che permette ad un corpo di muoversi su una traiettoria circolare. Essa  sempre diretta verso il centro della circonferenza ed ha direzione lungo il raggio. Il suo modulo  dato da: 2 |Fc|=m·v /R in cui m  la massa del corpo, v la velocit tangenziale ed R il raggio della circonferenza.

Se pensiamo ad esempio ad una pallina messa in moto circolare da una fune, questa fune applicher una forza centripeta alla massa la quale potr rimanere in moto circolare fin quando la forza centripeta  presente. Accanto alla forza centripeta  utile considerare la forza centrifuga che in realt  solo una forza apparente che appare agire su di un corpo quando si considera un sistema di riferimento solidale col corpo stesso e quindi non inerziale (si veda: sistema di riferimento non inerziale). In realt non  una forza fisica reale in quanto l’unica forza a determinare il moto circolare  la forza centripeta.

Momento di una forza Il momento di una forza rispetto ad un punto O  il prodotto vettoriale tra il vettore forza applicato in un punto P e la distanza del punto del punto P da O (braccio della forza). Dinamometro Che cos' e come funziona un dinamometro? Il dinamometro  lo strumento con cui si pu6 misurare l’intensit di una forza. Esso  composto da una molla a cui pu6 essere agganciata una massa che, per effetto dell'attrazione gravitazionale, deformer la molla allungandola. Misurando tale allungamento in una scala graduata  possibile risalire alla intensit della forza che ha determinato l'allungamento. Tarare una molla per costruire un dinamometro La prima operazione da fare se si vuole realizzare un dinamometro  quello di tarare la molla, cio creare una scala graduata che corrisponda ai diversi valori di forza. Osserviamo una massa appesa ad una molla: Una volta che la molla si  allungata di una quantit x, le forze che agiscono sulla massa sono la forza peso diretta verso il basso e la forza elastica diretta verso l’alto. Ora se volessimo misurare una forza di 1 N (N - scritto in stampato maiuscolo -  il simbolo del Newton, unit di misura della forza e unit di misura del peso) , questa corrisponde ad una massa di: m = P/g = 1/9,8 = 0,102 Kg = 102 g

Quindi se appendiamo una massa di 102 g al dinamometro, segneremo con 1 (1 Newton) la tacca in cui si ferma l’indicatore che mostra la deformazione avuta dalla molla:

Se raddoppiamo il peso agganciando alla molla due masse da 102 g, ovviamente la deformazione della molla sar il doppio, essendo la relazione che lega lunghezza della molla e forza peso di tipo lineare (legge di Hooke). Segnamo 2 (2 Newton) la tacca in cui si ferma l’indicatore che mostra la deformazione avuta dalla molla. Procediamo nello stesso modo con altre masse. Otteniamo cos; una scala graduata che ci permette di misurare una forza incognita.

Calcolo della costante K della molla Torniamo al caso della massa appesa alla molla. Una volta che la molla si  allungata di una quantit x, le forze che agiscono sulla massa sono la forza peso diretta verso il basso e la forza elastica diretta verso l’alto. PoichH siamo nel caso statico, le due forze devono essere uguali e contrarie per cui: |Fp| = |Fe| Ricordando che la forza peso  data dal prodotto della massa per l’accelerazione di gravit g e la forza elastica  data dal prodotto della costante elastica K per la deformazione della molla x, allora possiamo scrivere l’uguaglianza: m·g=K·x da cui la costante elastica della molla deve essere pari a: K = (m · g )/ x Quest'ultima formula ci permette il calcolo della costante elastica K della molla. Sul principio del dinamometro funzionano i bilancini pesa valigie. Principi della dinamica Quali sono i principi della dinamica? La dinamica  una branca fondamentale della meccanica che studia la causa del moto dei corpi. Assieme alla statica ed alla cinematica dunque, la dinamica si occupa del moto dei corpi chiarendone in particolare le circostanze e le modalit per cui un corpo varia il suo stato di quiete. Le basi concettuali della dinamica vennero esposte per la prima volta nella storia dal fisico inglese Isaac Newton nella sua opera: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. In particolare Newton riassunse tutte le leggi che governano la causa del moto dei corpi in tre leggi detti principi della dinamica (o leggi di Newton), che spiegano il perch avviene il moto dei corpi e come lo si caratterizza. Oggetto principale della dinamica  dunque il concetto di forza. Primo principio della dinamica Il primo principio della dinamica, o prima legge di Newton,  anche detto principio di inerzia. Esso afferma che un corpo non soggetto a forze o soggetto a forze la cui risultante  nulla, permane nel suo stato di quiete o continua a muoversi di moto rettilineo uniforme. Tale principio era gi stato formulato da Galileo il quale aveva intuito che se si conferisce movimento ad un corpo esso tende a rimanere in moto all’infinito tranne nel caso in cui intervenga una forza a farne variare lo stato e riportarlo in quiete. Tale principio non  valido per qualsiasi sistema di riferimento ma solo per sistemi di riferimento inerziali.

Un esempio del primo principio  sperimentabile quando si sta in piedi in autobus: finch l’autobus viaggia di moto rettilineo uniforme il nostro corpo non avverte nulla; quando invece l’autobus parte o frena, ovvero  soggetto ad accelerazione, il nostro corpo tende ad andare indietro o avanti ovvero tende a permanere nello stato di quiete o in quello di moto. Pensiamo ad un astronauta libero nello spazio vuoto. Se l’astronauta acquisisce un impulso ed una certa velocit, esso continuer a viaggiare all’infinito se non interviene una forza. Ecco perchH gli astronauti di solito sono legati tramite fune al veicolo spaziale o sono provvisti nella tuta di piccoli getti a razzo funzionanti ad azoto sotto alta pressione. La fuoriuscita di tali getti, regolabili tramite un joystick, aiuta a correggere la rotta nel malaugurato caso l’astronauta si dovesse dare inavvertitamente una spinta ed evita dunque di disperdersi nello spazio profondo. Secondo principio della dinamica Il secondo principio della dinamica noto anche come seconda legge di Newton lega la forza allo stato del moto ed in particolare afferma che la somma di tutte le forze che agiscono su un corpo  uguale al prodotto della massa per l’accelerazione del corpo: ∑F = m · a Forza ed accelerazione sono dunque due grandezze direttamente proporzionali ed il loro rapporto  costante ed  detto massa inerziale del corpo. La massa dunque rappresenta l’inerzia, cio la resistenza che un corpo oppone alla variazione del proprio stato di moto. Se pensiamo ad esempio di applicare una forza di modulo F ad un carrello della spesa, esso subir un’accelerazione a. Se la massa del carrello aumenta e viene applicata sempre la stessa forza, allora l’accelerazione del carrello sar certamente minore. Se invece raddoppiamo la forza, anche l’accelerazione subita dal carrello raddoppier.

Terzo principio della dinamica Il terzo principio della dinamica o principio di azione e reazione, afferma che ad ogni reazione corrisponde una reazione uguale e contraria. Cio se un corpo A esercita una forza FA,B su un corpo B, quest’ultimo reagisce esercitando una forza FB,A sul corpo A. Le due forze avranno stessa direzione e modulo ma verso opposto, esse sono quindi uguali e contrarie. La conclusione principale di questo principio  che le forze non possono mai essere prese in considerazione come isolate, bens; agiscono sempre in coppia: l’interazione tra due corpi dunque  sempre mutuale. Pensiamo ad un missile lanciato verso lo spazio. La forza di propulsione del motore  diretta verso il basso l’effetto finale  quello di vincere la forza peso e permettere al razzo di innalzarsi: Leggi di Newton Definizione delle leggi di Newton

La dinamica  quella branca della fisica (ed in particolare della meccanica) che si occupa di studiare il moto dei corpi e delle sue cause. Un importante contributo allo studio della dinamica fu dato dal fisico inglese Isaac Newton mediante le sue tre leggi (noti anche come principi di Newton o principi della dinamica). Il primo principio della dinamica (o principio di inerzia o prima legge di Newton) stabilisce che un corpo non soggetto a forze o soggetto a forze la cui risultante  nulla, permane nel suo stato di quiete o continua a muoversi di moto rettilineo uniforme. Il secondo principio della dinamica (o legge fondamentale della dinamica o seconda legge di Newton) afferma che la somma di tutte le forze che agiscono su un corpo  uguale al prodotto della massa per l’accelerazione del corpo: ∑F = m · a Il terzo principio della dinamica (o principio di azione e reazione o terza legge di Newton) afferma che ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria.

Applicazioni delle leggi di Newton Le leggi di Newton possono essere utilizzate sostanzialmente per determinare: accelerazione, velocit e posizione di un corpo in funzione del tempo, note tutte le forze che agiscono su di esso; le forze che agiscono sul corpo, note l’accelerazione, la velocit e la posizione in funzione del tempo di un corpo. Utilizzeremo dunque la seconda legge di Newton: ∑F = m · a studiando le strategie risolutive comuni a tutti i tipi di problemi ed applicandola a queste situazioni, che sono le pi& comuni che si possono riscontare nello studio della fisica classica: -

moto rettilineo con forze costanti

-

moto circolare.

Moto rettilineo con forze costanti Le principali tipologie di forze presenti in questo tipo di situazioni sono la forza peso P sempre rivolta lungo la verticale verso il basso, la forza di reazione N che il piano su cui poggia il corpo esercita su di esso, forze di tensione T se sono presenti funi, forza di attrito Fa se consideriamo superficie scabre. Quando si deve risolvere un problema di dinamica relativo ad un moto rettilineo con forze costanti  bene seguire la seguente scaletta: -

scegliere un sistema di riferimento (assi coordinati) adeguato alla situazione descritta;

-

isolare il corpo e disegnare il diagramma di corpo libero rappresentando le forze come vettori con il corretto verso e la corretta direzione, facendo attenzione ad indicare bene gli angoli se i piani sono inclinati;

-

applicare la seconda legge di Newton ∑F = m · a per ogni asse coordinato; risolvere le equazioni che derivano dal punto 3 per calcolare o la forza incognita o l’accelerazione;

-

infine analizzare il risultato ottenuto cercando di capire se il dato ricavato  coerente con la schematizzazione del problema e cercare di analizzare il dato (se espresso solo in funzione dei parametri, senza numeri) al variare delle incognite nei casi limite.

Esercizio

Calcolare l’accelerazione con cui scende un blocco di massa m lasciato libero di muoversi su di un piano inclinato di un angolo θ rispetto all’orizzontale. Svolgimento esercizio: Per risolvere i problemi di statica e dinamica legati al piano inclinato, si ci riferisce sempre ad un sistema di assi cartesiani posizionati in maniera tale da risultare in linea col piano stesso. L’asse delle x in particolare sar scelto parallelo al piano cos; che l’asse delle y risulti ortogonale al piano di appoggio.

Sul corpo poggiato sul piano inclinato agiscono la forza normale di reazione del piano e la forza peso secondo il seguente diagramma di corpo libero:

PoichH il corpo pu6 muoversi unicamente lungo l’asse x applichiamo la seconda legge di Newton unicamente lungo quell’asse coordinato. Avendo scelto come positivo il verso che  rivolto alla base del piano, sia m·a sia m·g·sen θ sono positivi in quanto entrambi i vettori puntano verso il basso (il corpo sta scendendo). Allora il risultato  che il corpo scender con accelerazione pari a: m· g·sen θ = m ·a da cui si deduce, risolvendo la precedente equazione, che il corpo scender con accelerazione: a = g·sen θ E’ interessante notare il risultato in corrispondenza dei due angoli limite θ = 0° (piano orizzontale) e θ = 90° (piano perpendicolare al suolo). Nel primo caso: a = g ·sen0 = 0 ovvero il corpo non accelera e quindi rimane fermo in assenza di altre forze agenti su di esso. Nel secondo caso invece: a = g ·sen90 = g ovvero il corpo scende in caduta libera (caduta dei gravi). Moto circolare

Consideriamo un corpo di massa m che si sta muovendo lungo una traiettoria circolare di raggio r con velocit costante v. 2 Allora su quel corpo agir un’accelerazione centripeta di modulo pari a v /r e diretta verso il centro della circonferenza. La presenza di questa accelerazione  dovuta al fatto che la velocit cambia in continuazione la propria direzione lungo il percorso circolare, ed ogni vettore velocit  tangente alla traiettoria:

Visto che  presenta l’accelerazione centripeta allora sar sicuramente attiva pure una forza, detta forza centripeta di modulo pari al prodotto della massa m del corpo per l’accelerazione centripeta e di direzione e verso pari a quella dell’accelerazione.

Esercizio Una sfera di massa m  posta in rotazione lungo una circonferenza verticale da una corda di lunghezza L. La velocit della sfera vale Vb nel punto pi& basso della traiettoria mentre vale Va in quello pi& in alto. Svolgimento dell'esercizio: L'esercizio propone il caso di una sfera di massa m posta in rotazione lungo una circonferenza verticale. Sapendo che Vb  la velocit della sfera nel punto pi& basso e Va  la velocit della sfera nel punto pi& alto, si vuole determinare la tensione della corda nei due punti.

Consideriamo un sistema di assi cartesiani in cui studiare le forze in gioco nel problema:

Il problema distingue due ben precisi momenti: nel primo la sfera si trova nella posizione pi& in alto della traiettoria. In questa posizione su di essa agisce la forza peso diretta verso il basso cos; come la tensione della fune. La loro risultante  pari alla forza centripeta diretta verso il centro. La seconda posizione  quella invece del punto pi& in basso in cui la forza peso  diretta verso il basso ma stavolta la tensione  rivolta come la forza centripeta, verso l’alto in direzione del centro. I diagrammi di corpo libero sono:

Consideriamo il primo momento. Scriviamo la seconda legge di Newton riferendoci unicamente all’asse y: 2 -T - m·g = -m·Va /L Ogni termine ha il segno meno davanti perchH abbiamo scelto come sistema di riferimento cartesiano una coppia di assi in cui l’asse verticale y  rivolto verso l’alto, mentre i tre vettori sono tutti ri...