Esercizi di fisica PDF

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ESERCIZI: 1) COME SI CALCOLA LA DISTANZA NELMOTO RETTILINEO UNIFORME Un'automobile procede alla velocit" costante di 108 Km/h. Quanti metri percorre in 10 minuti? Svolgimento dell'esercizio: Poich1 la velocit" con cui procede il corpo 1 costante il moto 1 di tipo rettilineo uniforme. I dati in nostro possesso sono la velocit" con cui procede il corpo e il tempo richiesto. Le unit" di misura delle due grandezze non sono per4 quelle del S.I., per cui prima di svolgere i calcoli riportiamole nelle unit" richieste. Poich1 1 Km = 1000 m e 1 h = 3600 s Allora la velocit" di 108 Km/h 1 equivalente a: V = 108 km/h = 108 · 1000 / 3600 = 30 m/s In generale quindi per passare da metri al secondo (m/s) a chilometri orari (km/h) basta moltiplicare per 3,6, viceversa bisogner dividere per 3,6. Adesso dobbiamo convertire i 10 minuti in secondi. Poich1 in un minuto ci sono 60 secondi: t = 10 minuti = 10 · 60 = 600 s In definitiva lo spazio percorso risulta pari a: S = V · Δt = 30 · 600 = 18000 m = 18 km Pertanto lo spazio percorso dall'automobile ! di 18 Km (18 chilometri). 2) QUANTO TEMPO IMPIEGA LA LUCE A PERCORRERE UN METRO Sapendo che la luce viaggia nel vuoto ad una velocit" di 3 · 108 m/s, calcolare il tempo impiegato dalla luce a percorrere un metro. Per sapere quanto tempo impiega la luce a percorrere un metro nel vuoto, 1 sufficiente conoscere il valore della velocit" della luce nel vuoto. La velocit" della luce nel vuoto (valore che viene indicato con la lettera c) 1 un dato noto da tempo; la luce si propaga in linea retta ed assume il valore costante di 299.792.458 m/s, che per semplicit" approssimeremo con 300.000.000 m/s ovvero 3 · 108 m/s. Ci4 significa che in un secondo la luce percorre 3 · 108 m ovvero 300.000.000 metri. Ma quanto tempo impiega la luce a percorrere un metro? Per rispondere alla domanda 1 sufficiente impostare una proporzione, cio1 la seguente: 300.000.000 m : 1 s = 1 m : x

in cui l'incognita x rappresenta il dato cercato. Risolviamo la proporzione: x = 1 m · 1 s / 300.000.000 m Da cui: x=3,33·10-9 s Ci4 significa che la luce, per percorrere un metro nel vuoto, impiega circa 3,33 · 10-9 s ovvero 3,33 ns (nanosecondi). Tale valore scritto nella forma decimale, corrisponde a: 3,33 · 10-9 s = 0,00000000333 s Pertanto: tempo impiegato dalla luce per percorrere un metro = 3,33 · 10-9 s Altro metodo di risoluzione Si poteva rispondere alla domanda anche in altro modo. Infatti la luce viaggia di moto rettilineo uniforme, per il quale la velocit" viene calcolata dal rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato a percorrerlo: v=s/t in cui: v = velocit" in m/s; s = spazio percorso in metri; t = tempo impiegato in secondi. Da cui possiamo ricavare la formula inversa per il calcolo del tempo: t=s/v Sostituendo in modo opportuno si ha che: t=1/300.000.000=3,33·10-9 s Che chiaramente fornisce lo stesso risultato precedente. 3) LEGGE ORARIA IN UN MOTO RETTILINEO UNIFORME Un corpo si trova sull'asse x e parte al tempo t = 0 dalla coordinata x = 1 m muovendosi a velocit" costante. Dopo che sono trascorsi 4 secondi il corpo si trova in corrispondenza del punto x = 3 m. Scrivere la legge oraria del moto e rappresentarla graficamente in un diagramma cartesiano spazio - tempo. Svolgimento Il problema presenta la situazione di un punto materiale che si muovo di moto rettilineo uniforme e quindi a velocit" costante. La prima richiesta del problema 1 quella di scrivere la legge oraria del moto che ricordiamo deve essere del tipo S(t) = V · t + So in cui: V 1 la velocit" costante t 1 il tempo

So 1 lo spazio iniziale in cui il corpo si trova all'istante t=0 Pertanto ricaviamo immediatamente che lo spazio iniziale al tempo t= 0 1 pari a So = 3 m Tra i dati del problema si afferma inoltre che il corpo in 4 secondi ha percorso uno spazio tale per cui si ritrova in corrispondenza del punto x = 3 m. Da questa affermazione deduciamo che l'intervallo di tempo trascorso 1 pari a Δt = 4 s Mentre lo spazio relativo percorso in tale intervallo di tempo sar" pari a: Δs = 3m - 1m = 2 m Quindi dalla definizione di velocit" V = Δs/Δt possiamo facilmente ricavarne il valore: V = 2 / 4 = 0,5 m/s Possiamo adesso scrivere finalmente l'equazione oraria del moto che risulta essere dunque S(t) = 0,5 · t + 1 L'esercizio richiede infine di rappresentare graficamente tale legge in un diagramma cartesiano spazio - tempo ovvero in un sistema di assi cartesiani ortogonali con il tempo riportato sull'asse delle ascisse (asse x orizzontale) e lo spazio percorso lungo l'asse delle ordinate (asse y verticale). La legge oraria di un moto rettilineo uniforme 1 rappresentata graficamente da una retta passante nel primo quadrante. Per poter disegnare tale retta occorrono almeno due punti da riportare nel diagramma. Per cui scegliamo arbitrariamente i valori di t= 0 e t = 2 e calcoliamo S(t) in riferimento a questo valori: S(0) = 0,5 · 0 + 1 = 1 m S(2) = 0,5 · 2 + 1 = 2 m Per cui i due punti da disegnare sul grafico hanno rispettivamente le seguenti coordinate (0; 1) e (2; 2). Una volta riportati sul grafico, tracciamo dunque il grafico della retta unendo i due punti ed otteniamo:

4) MOTO RETTILINEO UNIFORME E VELOCITA’ NEGATIVA Un punto materiale si muove lungo una retta orientata e parte dalla posizione x = + 5 m con velocit" costante pari a - 2,5 m/s. Scrivere la legge oraria del corpo e descrivere l'andamento del moto da un punto di vista geometrico. Che tipo di rappresentazione grafica avr" questo moto? Svolgimento Il problema chiede di scrivere la legge oraria del moto rettilineo uniforme caratterizzato da una velocit" negativa pari a V = -2,5 m/s in cui il valore dello spazio iniziale sia pari a So = + 5 m S(t) = V · t + So in cui: V 1 la velocit" costante t 1 il tempo So 1 lo spazio iniziale in cui il corpo si trova all'istante t=0 Per cui sostituendo i dati otteniamo che la legge oraria che regola tale moto vale: S(t) = -2,5 · t + 5 Da un punto di vista geometrico, il fatto che la velocit" sia negativa vuol dire che il corpo si sta dirigendo nel verso contrario rispetto all'orientazione della retta. Pertanto avendo preso un'orientazione crescente verso destra nel nostro sistema di riferimento, il punto materiale si sta spostando verso sinistra ed avanzer" verso quella direzione. La rappresentazione grafica di questo particolare in un diagramma cartesiano 1 sempre una retta, ma essendo in questo caso la velocit" negativa (e quindi il coefficiente angolare della retta minore di zero), essa sar" decrescente, dall'alto a sinistra verso il basso a destra. In generale infatti un coefficiente angolare positivo (m>0) indica una retta crescente che va dal basso a sinistra verso l'alto a destra. Viceversa se m 1 negativo la retta 1 decrescente e va dall'alto a sinistra verso il basso a destra. Una retta orizzontale ha coefficiente angolare pari a 0 in quanto n1 cresce n1 decresce. 5) GRAFICO SPAZIO-TEMPO IN UN MOTO RETTILINEO UNIFORME: Un punto materiale si trova nella posizione iniziale di 1 m dall’origine al tempo t = 0. Esso si muove con una velocit" positiva costante pari a 0,5 m/s. Scrivere l'espressione matematica che lega la posizione S in funzione del tempo. Disegnare il grafico spazio-tempo.

Svolgimento dell'esercizio PoichP la velocit" con cui si sta muovendo il corpo 1 costante (si tratta di un moto rettilineo uniforme), questo vuol dire che la curva del grafico spazio–tempo ha sempre la stessa pendenza, quindi non pu4 che essere una retta di equazione: S = V · t + S0 In cui V 1 la velocit" e S0 1 lo spazio iniziale al tempo 0. Per cui avremo S = 0,5 · t + 1 Tale espressione matematica 1 l'equazione che lega la posizione S in funzione del tempo. Dato che la velocit" 1 positiva vuol dire che la retta 1 crescente, cio1 lo spazio aumenta in positivo rispetto all’origine. L'equazione precedente rappresentata in un piano cartesiano 1 rappresentata da una retta:

e la velocit" fosse stata negativa allora il grafico sarebbe stato una retta con pendenza negativa, decrescente. 6) CALCOLO VELOCITA’ MEDIA: Un'auto percorre una distanza di 50 km in 30 minuti a velocit" costante. In seguito si ferma in una piazzola di sosta per 20 minuti , prima di ripartire e viaggiare ad una velocit" di 90 km/h per 2 ore. Calcolare la velocit" media dell'auto lungo ogni tragitto e lungo tutto il viaggio. Confrontare poi il valore della velocit" media ricavato con la media delle velocit". Svolgimento Il problema chiede di calcolare quale sia la velocit" media tenuta dall'auto durante ogni tappa del tragitto e quale sia la velocit" media complessiva tenuta durante tutto il viaggio. Ricordiamo che si definisce velocit" V il rapporto: V = spazio percorso / tempo impiegato a percorrerlo = Δs/Δt

In cui: Δs rappresenta la variazione dello spazio Δt rappresenta la variazione di tempo In particolare la velocit" media 1 sempre esprimibile come rapporto tra l'intero spazio percorso e il tempo totale impiegato a percorrerlo: Vmedia = spazio totale / tempo totale Nel caso del problema in esame dividiamo l'intero tragitto nelle tre tappe descritte. Nella prima tappa l'auto percorre uno spazio di 50 km in 30 minuti. Riportiamo le unit" di misura in quelle del S.I.: ΔS1 =50km=50·1000m=50000m Δt1 =30minuti=30·60s=1800s Per cui la velocit" media relativa alla prima tappa risulta: Vm1 = ΔS1/Δt1 = 50000 /1800 = 27,78 m/s Nella seconda tappa l'auto rimane ferma in sosta per 20 minuti. Pertanto: ΔS2 = 0 Δt2 =20minuti=20·60s=1200s La velocit" in questo caso 1: Vm2 = 0 Infine nell'ultima tappa risulta: Vm3 =90km/h=90/3,6m/s=25m/s Δt3 =2h=2·60·60s=7200s In questa ultima tappa manca di conoscere lo spazio percorso: ΔS3 =Vm3 ·Δt3 =25·7200=180000m Per cui le tre velocit" medie relative ai tre tragitti risultano: Vm1 = 27,78 m/s Vm2 = 0 Vm3 = 25 m/s Ora relativamente al viaggio complessivo la velocit" media vale:

Vm = spazio totale / tempo totale In cui lo spazio totale non 1 altro che la somma dei tre percorso parziali cosR come il tempo totale p la somma e tre tempi parziali: Vm = (ΔS1+ΔS2 +ΔS3)/( Δt1+Δt2 +Δt3) = (50000 + 0 + 180000) / (1800 + 1200 + 7200) = 230000/10200 = 22,55 m/s = 22,55· 3,6 km/h = 81,18 km/h Dunque la velocit media sull'intero percorso risulta Vm = 22,55 m/s Infine il problema chiede di confrontare il risultato appena trovato con la media delle velocit", che si calcola come: Vm =(Vm1 +Vm2 +Vm3)/3=(27,78+0+25)/3=17,59m/s=17,59·3,6km/h=63,34km/h Dunque la media delle velocit ! di 63,34 km / h. Come si pu4 notare il valore della media delle velocit" non coincide affatto con quello della velocit" media, proprio perch1 sono due concetti diversi e definiti in maniera differente. 7) COME SCRIVERE LA LEGGERE ORARIA DA UN GRAFICO SPAZIO-TEMPO: Osserva il seguente grafico e deduci di che moto si tratta, scrivine la legge oraria.

Svolgimento Il diagramma proposto 1 una retta appartenente al primo quadrante di un sistema di assi coordinati; nell'asse x sono riportati i valori del tempo t in secondi mentre sull'asse delle ordinate vi 1 riportato il corrispondente spazio percorso in metri.

Per cui si tratta di un moto rettilineo uniforme con velocit" costante, rappresentato dalla pendenza della retta ovvero dal suo coefficiente angolare. Possiamo dedurre immediatamente che essendo la retta crescente, il suo coefficiente angolare sar" positivo e quindi la velocit" del moto 1 anch'essa positiva. Al tempo t = 0 la coordinata S vale 30 m: S(0) = 30 m per cui lo spazio iniziale vale So =+30m Sulla retta sono rappresentati 3 punti, scegliamone 2 e calcoliamo per essi la variazione di spazio Δs e di tempo Δt. Scegliamo i tempi t1 = 1s e t2 = 3s. Dunque l'intervallo di tempo risulta: Δt=t2 -t1 =3-1=2s I corrispondenti valori dello spazio sono ricavabili dal grafico: S(1) = 40 m S(3) = 60 m La variazione di spazio vale dunque: Δs = S(3) - S(1) = 60 - 40 = 20 m La velocit" vale dunque: V = Δs /Δt = 20 / 2 = 10 m/s La velocit" relativa a questo moto vale dunque 10 m/s. Possiamo finalmente scrivere la legge oraria con i dati ricavati precedentemente: S(t) = 10 · t + 30 8) ONDE SONORE E MOTO RETTILINEO UNIFORME Durante una gita in montagna, un ragazzo 1 giunto di fronte a una parete di roccia, e lancia un grido di richiamo ai suoi compagni rimasti 60 metri indietro. Questi sentono prima la voce diretta e dopo 5 secondi ne sentono l'eco. Sapendo che le onde sonore viaggiano ad una velocit" costante pari alla velocit" del suono che vale all'incirca 340 m/s, a 20° C, calcola: 1) quanto tempo prima dei compagni il ragazzo sente l'eco;

2) a quale distanza dalla parete si trova Svolgimento Le onde sonore viaggiano alla velocit" del suono che vale all'incirca 340 m/s, a 20° C pertanto si muovono di moto rettilineo uniforme. Il ragazzo si trova ad una distanza d dalla parete rocciosa, mentre il restante gruppo di compagni si trova ad una distanza d + 60 dalla parete. Ricaviamo l'intervallo di tempo in cui i ragazzi sentono la voce diretta del compagno a partire dalla definizione di velocit", espressa come V = Δs/Δt in cui Δs 1 il tragitto percorso dalle onde sonore Δt il tempo impiegato a percorrere il tragitto Per cui i ragazzi sentono per prima la voce del ragazzo che avr" percorso i 60 m in un tempo Δt pari a: Δt = Δs/V = 60/340 = 0,18 s e dopo un tempo Δt' arriva anche l'eco, cosR come recita il testo del problema dopo 5 secondi: Δt' = 5 + 0,18 = 5,18 s In questo intervallo di tempo Δt', le onde avranno percorso la distanza d tra il ragazzo e la parete, di nuovo la distanza d una volta riflesse e i 60 m prima di giungere ai ragazzi; per cui uno spazio complessivo pari a: ΔS = d + d + 60 = 2d + 60 per cui dalla definizione di velocit": v = ΔS/Δt = (2d + 60) / 5,18 = 340 Risolviamo l'equazione di primo grado in d: 2d + 60 = 5,18 · 340 Sottraiamo 60 ad ambo i membri 2d = 5,18 · 340 - 60 E infine dividiamo per 2: d = (5,18 · 340 - 60) /2 = 850 m Per cui la distanza dalla parete a cui si trova il ragazzo vale 850 m. Il ragazzo sentir" l'eco dopo un intervallo di tempo pari al rapporto tra due volte la sua distanza con la parete rocciosa e la velocit" del suono:

Δt = 2d/340 = 2 · 850 /340 = 5 s quindi 0,18 s prima che lo sentano i ragazzi. 9) APPLICAZIONE DELLE LEGGI DEL MOTO RETTILINEO UNIFORME: L'abitazione di Anna dista dal suo posto di lavoro 3 Km. Anna si reca al lavoro in bicicletta con velocit" costante. Oggi Anna esce di casa con 4 minuti di ritardo rispetto al solito: riesce, per4, ad arrivare al lavoro alla stessa ora delle altre mattine, pedalando a una velocit" superiore di 7,5 Km/h (chilometri orari). A quale velocit" pedala solitamente Anna? Svolgimento Lo spazio che separa Anna dal suo posto di lavoro 1 pari a: Δs = 3 km = 3000 m Ricordando che in un moto rettilineo uniforme la velocit" 1 espressa come V = Δs/Δt in cui Δs 1 il tragitto percorso Δt il tempo impiegato a percorrerlo quando Anna procede a velocit" V (nostra incognita) impiega un tempo Δt pari a Δt = 3000/V Nel giorno in cui 1 in ritardo, poich1 arriva sempre allo stesso orario, il tempo impiegato per arrivare al suo posto di lavoro risulter" pari a Δt' = Δt - 4 minuti Ma ricordando che in un minuto ci 60 secondi: Δt' = Δt - 4 · 60 =Δt - 240 Ma precedentemente avevamo ricavato che Δt = 3000/V Per cui Δt' = =Δt - 240 = 3000/V - 240 Stavolta Anna percorrer" sempre lo stesso spazio Δs di 3000 m che la separa dal suo luogo di lavoro per4 ad una velocit" V' tale per cui: V' = V + 7,5 km/h Trasformiamo la velocit" di 7,5 km/h in m/s : 7,5 km/h = 7,5/3,6 m/s = 2,08 m/s

Per cui V' = V + 2,08 pertanto possiamo calcolare lo spazio percorso stavolta come prodotto della nuova velocit" V' tenuta per il nuovo intervallo di tempo Δt': S = V' · Δt' = (V + 2,08) · (3000/V - 240) = 3000 Procediamo dunque a considerare l'equazione: (V + 2,08) · (3000/V -240) = 3000 Moltiplichiamo per V ambo i membri: (V + 2,08) · (3000 - 240V) = 3000 V Svolgiamo i calcoli ed otteniamo: 3000 · V - 240 · V2 + 6250 - 499,2 · V = 3000 · V che 1 un'equazione di secondo grado in V. Riordiniamo i termini : 240 · V2 + 499,2 · V - 6250 = 0 e passiamo a calcolare i due valori delle soluzioni V1 e V2: V1,2 = [-499,2 ± √(499,22 + 4 · 240 · 6250)] / 480 da cui scartando la soluzione negativa, otteniamo V = 4,17 m/s Per cui la velocit alla quale pedala solitamente Anna ! pari a 4,17 m/s. Difficolta’ alta: 10) Treni che si muovono lungo la stessa traiettoria con velocit diverse e direzioni opposte Esercizio su treni che si muovono lungo la stessa traiettoria con velocit diverse e direzioni opposte Due treni A e B partono alla medesima ora da due stazioni poste agli estremi di un lungo rettilineo lungo 435 km. Il primo treno procede a velocit" costante a 70 km/h mentre il secondo si muove a 75 km/h (chilometri all'ora). Dopo quanto tempo si incontreranno i due treni? E a che distanza rispetto alla stazione di partenza del treno A? Descrivere da un punto di vista grafico-matematico il significato e la risoluzione del problema. Svolgimento Scegliamo un opportuno verso di orientamento della retta lungo la quale si muovono i due treni, in particolare scegliamo come positivo il verso che va da A a B, cio1 da sinistra a destra. Piazziamo il corpo A all'origine (So = 0) dell'asse e il corpo B in corrispondenza del valore S = 435 Km. Decidiamo di usare come unit" di misura i km per lo spazio e i km/h per il tempo, in quanto unit" di misura piZ comode per i numeri in questione. Dobbiamo procedere con la scrittura delle due leggi orarie relative al moto dei due corpi. Ricordiamo che per un moto rettilineo uniforme la legge oraria 1 scritta come S(t) = V · t + So in cui:

V 1 la velocit" costante t 1 il tempo So 1 lo spazio iniziale in cui il corpo si trova all'istante t=0 In particolare per il treno A avremo SA =70·t Per il treno B possiamo invece fare subito due considerazioni importanti: esso si trova ad uno spazio iniziale So = 435 km; la sua velocit" 1 opposta a quella di A, ci4 vuol dire che si sta muovendo avvicinandosi al primo corpo. Dal punto di vista fisica ci4 si traduce in una velocit" negativa: in tal modo i valori di spazio decrescono a partire dalla coordinata iniziale di 435 km e man mano si riducono fino ad annullarsi quando il treno B raggiunge appunto l'origine; Per cui la legge oraria di B varr": SB =-75·t+435 Ricapitolando le due leggi orarie sono: SA =70·t e SB =-75·t+435 Poich1 il problema chiede quando si incontreranno i due treni, ci4 si traduce nel calcolare quando lo coordinata spaziale in cui si trova A coincider" con quella in cui si trova B ovvero : SA = SB = S Risolviamo dunque il sistema di due equazioni in due incognite S e t rispettivamente: { S = 70 · t { S = -75 · t + 435 Uguagliamo i due membri a destra dell'uguale: 70 · t = -75 · t + 435 70 · t + 75 · t = 435 145 · t = 435 t = 435/145 = 3 h Quindi i due treni si incontreranno dopo 3 h dalla partenza Per calcolare invece il punto esatto in cui i due corpi si incontrano, basta semplicemente sostituire il valore appena ricavato di t in una delle due equazioni presenti nel sistema. Otterremo lo stesso risultato di S, per cui scegliamo di inserire il valore di t nella prima equazione, quella piZ semplice: S(3) = 70 · 3 = 210 km Questo valore rappresenta dunque la distanza dalla stazione A alla quale i due treni si incontrano. Da un punto di vista prettamente geometrico matematico, la risoluzione di un problema del genere non significa altro che rappresentare graficamente le due rette che rappresentano i due moti rettilineo uniformi dei corpi. Una retta sappiamo che sar" certamente crescente (velocit" positiva quindi pendenza positiva), l'altra sar" invece decrescente

(velocit" negativa quindi pendenza negativa). Le due rette si intersecano in un sol punto che rappresenta appunto la coordinata temporale e spaziale del momento di incontro tra i due corpi. Ti lasciamo infine alcuni link che ti potrebbero interessare: da km/h a cm/s Come convertire i km/h in cm/s e viceversa 11) Corpi che si muovono di moto rettilineo uniforme lungo lo stesso tragitto Due auto partono nel medesimo istante da due caselli autostradali A e B distanti 20 Km, diretti entrambi verso un terzo casello C distante 50 Km da A e 30 Km da B. Le due auto viaggiano nella stessa direzione e verso. L'auto partita da A viaggia a velocit" costante pari a Va=100 km/h, l'auto partita da B viaggia a velocit" costante Vb=50 km/h. D...