Es scheda 8 - Esercizi svolti di fisica II PDF

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Esercizi svolti di fisica II...

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Politecnico di Torino CeTeM

Fisica II 8

Esercitazioni

Esercizi svolti Esercizio 8.1 Un avvolgimento di forma toroidale e sezione rettangolare è costituito da N spire; i raggi interno ed esterno sono rispettivamente r cm e r cm e la larghezza del toroide è acm. Calcolare l'induttanza del toroide e l'energia magnetica in esso immagazzinata nell'ipotesi che nel circuito scorra una corrente IA. Soluzione: Il campo magnetico all'interno dell'avvolgimento forma delle linee di forza circolari e il suo modulo, che per ragioni di simmetria dipende solo dalla distanza r dall'asse del toroide, si può calcolare tramite il teorema di Ampère e risulta essere

µ0 N I . 2 πr

B(r ) 

Conseguentemente il flusso magnetico attraverso la sezione del toroide vale r

$  a  B  ndS

B 

r2

r1

sezione

B(r ) dr  a

µ0 NI 2π



r2

r1

dr µ0 NIa r2  ln . r r1 2π

Essendo il flusso B concatenato a N spire, l'induttanza è dunque L

N B



I

µ0 N 2 a r2 ln  3. 65 H , 2π r1

mentre l'energia magnetica è

µ0 N 2 I 2 a r2 5 W  LI  ln  4 .56  10 J . r1 2 4π 1

2

Si può verificare che l'energia magnetica avrebbe potuto essere calcolata anche integrando la densità di energia all'interno del toroide, ottenendo il medesimo risultato W 



wdV 

volum e

 volum e

1 B

2

2 µ0

dV 

© Politecnico di Torino Data ultima revisione 30/06/00

1 2 µ0



r2

r1

B 2 ( r ) a 2 πrdr 

µ0 N 2 I 2a 4π



r2

r1

Pagina 1 di 4 Autore: Marco Pretti

dr r



µ0 N 2 I 2 a r2 ln . r1 4π

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Fisica II 8

Esercitazioni

Esercizio 8.2 Si consideri un cavo coassiale costituito da due superfici cilindriche di raggi r e r r , percorse da correnti (uniformemente distribuite) di intensità I. Determinare l'energia magnetica immagazzinata (per unità di lunghezza) e l'induttanza (per unità di lunghezza) di tale cavo. Soluzione: Per ragioni di simmetria il campo magnetico forma linee di forza circolari centrate sull'asse del cavo e il suo modulo dipende solo dalla distanza da tale asse. Utilizzando il teorema di Ampère si dimostra che il campo magnetico è presente solo nella regione compresa tra i due conduttori e ha modulo B(r ) 

µ0 I , 2πr

dove r indica appunto la distanza dall'asse. La densità di energia magnetica è quindi anch'essa funzione della distanza dall'asse e vale 2 µ I2 1 B (r )  02 2 . w( r)  2 µ0 8π r Per l'energia immagazzinata in un tratto di lunghezza l avremo pertanto

wdV  

r2

W

volume

r1

w(r ) l 2πrdr 

µ0 I 2 l 4π



r2

r1

dr r



µ0 I 2 l r2 ln 4π r1

L'induttanza può poi essere calcolata facilmente osservando che L

2W µ0 l r2  ln . I2 2π r1

Si vede facilmente che entrambe le grandezze calcolate su un generico tratto di cavo dipendono (linearmente) solo dalla lunghezza l del tratto e non dalla posizione assoluta di questo. Ha quindi senso definire le densità di energia magnetica e induttanza per unità di lunghezza nel seguente modo naturale

µ0 I 2 r2  W= ln l r1 4π L µ0 r2 ln . L  l 2π r1 W

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Pagina 2 di 4 Autore: Marco Pretti

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Fisica II 8

Esercitazioni

Esercizio 8.3 Una bobina di N spire è avvolta attorno ad un lungo solenoide di sezione circolare di raggio R, avente n spire per unità di lunghezza. Calcolare il coefficiente di mutua induzione tra bobina e solenoide. Soluzione: Detta I la corrente nel solenoide, il campo al suo interno ha modulo Bµ nI. Il flusso concatenato con la bobina è quindi B  NB πR 2  N µ0 nI πR 2 , per cui il coefficiente di mutua induzione risulta essere M 

B I

 N µ 0 n πR 2 .

Esercizi proposti

Esercizio 8.4 Calcolare l’induttanza per unità di lunghezza di una linea di trasmissione a piattina, costituita da due conduttori cilindrici di raggio amm e posti a distanza (interasse) dmm. Un filo viene usato come conduttore di andata e l’altro come conduttore di ritorno. Si ipotizzi che la corrente scorra interamente sulla superficie dei due conduttori. Che cosa succede se questa ipotesi viene rimossa e ad esempio la corrente risulta distribuita uniformemente nei conduttori? Risultato: µ0 d  a L   118 ln . H / m a π Se la corrente è distribuita l’induttanza aumenta leggermente in conseguenza del flusso autoconcatenato a ciascun filo.

Esercizio 8.5 Nel centro di una spira di raggio R si trova una seconda spira molto piccola di area AR ; i piani delle due spire formano un angoloθ. Si calcoli la mutua induttanza M del sistema.

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