Armijos Pablo T5 - ddddddddddddd PDF

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE LOJA FEIRNNR INGENIERIA EN MINAS

1. TEMA. DEFORMACIÓN EN VIGAS.

2. INTRODUCCIÓN.

La deformación de vigas es un tema muy importante, por ejemplo, cuando la estructura presenta deformaciones excesivas, la percepción de las mismas por parte de los usuarios genera en éstos una sensación de alto riesgo. No sólo esto es muy significativo, sino que también pueden aparecer problemas colaterales tales como fisuración en tabiques de mampostería que apoyen sobre la estructura y en cielorrasos. Los elementos de máquinas, debido a grandes deflexiones pueden presentar desgastes prematuros u originar efectos vibratorios inadecuados. El conocimiento de las deformaciones resulta también sumamente importante desde el punto de vista constructivo. En efecto, si se conoce, por ejemplo, la flecha máxima que tendrá una viga de hormigón armado sometida a las cargas permanentes, cuando se la construye puede contra flecharse el encofrado de manera tal de compensar esa deformación, de modo que la pieza quede para ese estado de cargas sin deformación aparente.

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3. OBJETIVOS. 3.1. •

Explicar como se deforman las vigas y sus momentos.

3.2. -

OBJETIVO GENERAL.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS.

Seleccionar la información necesaria para contrastar de una mejor manera el tema a desarrollar.

-

Definir cada temática establecida por el docente.

-

Sintetizar cada concepto referente a la deformación en vigas.

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4. DESARROLLO. 4.1.

DEFORMACIÓN EN VIGAS.

Generalmente, el diseño de una viga queda determinado más por su rigidez que por su resistencia. Cuando vamos a diseñar alguna herramienta que tenga que ver para trabajos de precisión como tornos, prensas, etc., las deformaciones deben permanecer por debajo de las tolerancias admisibles del trabajo que se va a realizar. Generalmente este tema abarca muchas cosas lo cual lo vamos a describir a continuación.

4.1.1. DEFORMACIÓN DE UNA VIGA BAJO UNA CARGA TRANSVERSAL.

Según Ferdinand Beer, Johnston Russell, John DeWolf & David Mazurek., (2013), una viga al estar sometida a una carga en su sección transversal, esta hará que se deforme, para ello existe una ecuación que es válida para cualquier sección transversal de una viga y esta se rige bajo el principio de Saint Venant. El momento flector y la curvatura variarán en las diversas secciones. Si x es la distancia de la sección al extremo izquierdo de la viga, se tiene que: 1 𝑀(𝑥) = 𝜌 𝐸𝐼 Considere, por ejemplo, una viga en voladizo AB de longitud L sometida a una carga concentrada de P en su extremo libre A. Si se tiene que M(x)=-Px, y sustituyendo en la ecuación anterior se tiene que: 𝑃𝑥 1 =− 𝜌 𝐸𝐼 Esto muestra la curvatura de la superficie neutra varía linealmente con x, desde cero en A, en donde pA es infinito. De la información obtenida sobre su curvatura, se obtiene una buena idea sobre la forma de la viga deformada.

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No obstante, el análisis y diseño de la viga requieren información más precisa sobre la deflexión y la pendiente de la viga en varios puntos. De particular importancia es el conocimiento de la deflexión máxima de la viga.

4.1.2. LÍNEA ELÁSTICA.

Llamaremos “Línea elástica” a la forma que adopta el eje de una viga al producirse la deformación de la misma por acción de las cargas exteriores. Para deducir la ecuación de la elástica vamos a suponer que las deformaciones son pequeñas. Además, solo consideramos las deformaciones debidas a los momentos flectores. (Fliess, 2010)

El ángulo que forma la tangente a la elástica en un punto con respecto a la horizontal, es el mismo que habrá girado la sección recta en dicho punto con respecto a la vertical. Si consideramos otra sección ubicada a una distancia dz con respecto a la anterior, entre ambas habrá un giro relativo dꝊ. La ecuación de la línea o curva elástica es la siguiente: 𝑦" = −

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𝑀(𝑥) 𝐸𝐼

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4.1.3. MÉTODOS DE CÁLCULO.

4.1.3.1.

MÉTODO DE ÁREA DE MOMENTOS.

El método de área-momento proporciona un procedimiento semigráfico para encontrar la pendiente y el desplazamiento en puntos específicos sobre la curva elástica de la viga. El método es bastante rápido y simple, pero en general se usa para calcular la deflexión de solo uno a unos cuantos puntos de la viga. Su uso requiere un elevado nivel de comprensión del principio de momentos y de las técnicas para preparar diagramas de momento flector. (Universodad de los Andes, 2016) Este método lo explicaremos mediante el siguiente ejemplo.

La figura muestra una curva elástica en la que se han seleccionado dos puntos A y B, y se han trazado tangentes. Puede observarse que B/A es el ángulo que forma la tangente que pasa por el punto B respecto a la que pasa por A. De forma análoga se define el ángulo A/B. Cabe recalcar que ambos tienen la misma magnitud.

Resumiendo, lo anterior de deducción de fórmulas, de forma directa al integrar la anterior ecuación de la línea elástica obtenemos lo siguiente: 𝑋𝐵

B/A = ∫ 𝑋𝐴

𝑀(𝑥) 𝑑𝑥 𝐸𝐼

Aquí surge el primer teorema de este método el cual nos dice que “El ángulo entre dos rectas tangentes a dos puntos cualquiera sobre la curva elástica es igual al área bajo el diagrama ‘M/(E·I)’ entre esos dos puntos”

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De igual manera se obtiene la siguiente ecuación: 𝑋𝐵

 ∫ TA/B = 𝑋𝐴 𝑋𝐴

𝑀(𝑥) 𝑑𝑥 𝐸𝐼

Donde xA es la distancia (medida sobre la dirección x) que existe entre el punto A y el centroide del área bajo la curva M·E/I.

Aquí también surge el segundo teorema el cual nos dice que “La desviación vertical de la tangente en un punto A sobre la curva elástica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B es igual al momento de área bajo el diagrama ME/I entre los puntos A y B. Este momento se calcula respecto al punto ‘A’ donde va a determinarse la desviación vertical tA/B”.

4.1.3.2.

MÉTODO DE DOBLE INTEGRACIÓN.

La vista lateral de la superficie neutra de una viga deformada se llama curva elástica o simplemente elástica de la viga. Es la curva que forma el eje longitudinal, inicialmente recto. En esta sección se deduce la ecuación de dicha curva, y como calcular el desplazamiento vertical o deflexión y de cualquier punto en función de su abscisa x. (Andrew Pytel & Ferdinand Singer, 1994) En consecuencia, la curva de esta pendiente, puede hacerse de la siguiente manera: 𝜃=

𝑑𝑦 𝑑𝑥

Considerando la variación del ángulo en una longitud diferencial ds, producida por la flexión de la viga se tiene que: 𝜃 = 𝑝𝑑𝜃

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Por lo tanto, deduciendo la fórmula de la flexión se tiene que: 𝑦"𝐸𝐼 = 𝑀 Esta es la ecuación diferencial de la elástica de una viga. El producto de EI, se llama rigidez a la flexión y es constante a lo largo de la viga. Entrando mas al tema, el cual por su nombre dice “integración”, si se integra la anterior ecuación se tiene que: EI

𝑑𝑦 = ∫ 𝑀𝑑𝑥 + 𝑐 𝑑𝑥

Esta ecuación de la pendiente permite determinar el valor de la misma o la derivada con respecto a x en cualquier punto. M no es un valor del momento, si no la ecuación del momento flexionante en función de x, y Y C. Integrando la ecuación se tiene que: EI𝑦 = ∬ 𝑀𝑑𝑥 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥 Si las condiciones de carga varían a lo largo de la viga, la ecuación de momento también tendrá variación.

4.1.3.3.

MÉTODO DE LA VIGA CONJUGADA.

Este método se basa en los mismos principios del método de área de momento, pero difiere en su aplicación. Consiste en generar, una nueva viga ficticia de la misma longitud, y con las mismas condiciones de apoyo que la viga original, pero cargada con el diagrama del momento flector de la viga original dividido por EI. De esta manera, el ángulo de la tangente trazada en cualquier punto de la elástica de la viga real está dada por el cortante (Q’) de la nueva viga, y la flecha se determina calculando el momento flector (M’) de esa viga ficticia. (Verónica Veas & Jing Chang, 2000). Se establecerá la siguiente equivalencia, basándonos en lo anterior.

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Viga Real

Viga Ficticia

Momento M

Carga M/EI

Ángulo Ꝋ

Cortante Q’

Flecha Y

Momento M’

Podemos afirmar que existe una analogía entre las relaciones carga - cortante - momento - y momento - pendiente - flecha.

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5. CONCLUSIONES.

Las distintas cargas sobre la viga generan tensiones de corte y flexión en la barra, y a su vez la hacen deformarse. El análisis de las deformaciones tiene básicamente dos objetivos. Por una parte, el poder obtener nuevas condiciones, que, traducidas en ecuaciones, nos permitan resolver las incógnitas en vigas hiperestáticas. Y, por otra parte, las deformaciones en sí, deben ser limitadas. Los envigados de madera o acero, por ejemplo, pueden quedar correctamente diseñados por resistencia, vale decir, no se romperán bajo la carga, pero podrán deformarse más allá de lo deseable, lo que llevaría consigo el colapso de elementos de terminación como cielos falsos o ventanales.

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6. BIBLIOGRAFÍA Andrew Pytel & Ferdinand Singer. (1994). Resistencia De Materiales. Oxford: Alfaomega. Ferdinand Beer, Johnston Russell, John DeWolf & David Mazurek. (2013). Mecánica de materiales. Mexico: Mc Graw Hill.

Fliess, E. (2010). Estabilidad II. Buenos Aires. Obtenido de http://ing.unne.edu.ar/pub/Capitulo08A05.pdf

Universodad de los Andes. (2016). Obtenido de http://www.ula.ve/facultadingenieria/images/mecanica/Mecanica_Materiales/I/Tema5.pdf

Verónica Veas & Jing Chang. (2000). Deformación en Vigas. Santiago de Chile.

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