Aufgabe 9 Bau Musterloesung PDF

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Prof. Dr. V.M. Gundlach

WiSe 2012/13

Ingenieurmathematik I ¨ Ubung 9: Elementare Funktionen – Musterl¨ osung 1. Bestimmen Sie fu¨r die rationale Funktion f (x) =

2x2

x−3 − 6x − 6

den Definitionsbereich, Definitionslucken und Polstellen. ¨ Zur Bestimmung des Definitionsbereichs bzw. der Definitionslucken bestimmen ¨ wir zuna¨chst die Nullstellen des Nenners: 2x2 − 6x − 6 = 0 ⇔ x2 − 3x − 3 = 0 r r √ 21 9 3 3 3 ± 21 +3= ± ⇒ x1,2 = ± = . 2 2 4 2 4 Die Definitionslu¨cken der rationalen Funktionen liegen also bei x1 = √ und x1 = 3+ 2 21 , der Definitionsbereich ist also √ √ 3 − 21 3 + 21 D = R\{ , }. 2 2

√ 3− 21 2

Da die Nullstellen des Nenners keine Nullstellen des Z¨ahlers sind, mu ¨ssen bei den Definitionslu ¨cken Polstellen liegen. 2. Bestimmen Sie fu¨r die Funktion f (x) = 3−2x + 5 den Definitions- und Wertebereich. Falls die Umkehrfunktion dieser Funktion existiert, soll sie angegeben werden. Fu ¨ r den Definitionsbereich gibt es keine Einschra¨nkung, es ist also D = R. Da y 3 fu¨r y ∈ R alle positiven Werte annehmen kann, ist der Wertebereich vonf gegeben durch f (D) = {x ∈ R : x > 5}. Da die Exponentialabbildung injektiv ist, gilt dies auch fu¨r die Funktion f und wir ko¨nnen die Umkehrabbildung wie folgt finden:  x 1 −2x −2x ⇔ x = log1/9 (y − 5). y=3 +5⇔y−5= 3 = 9 Die Umkehrfunktion lautet somit f −1 (x) = log1/9 (x − 5).

3. Bestimmen Sie alle x ∈ R mit 52x+1 − 7x+1 = 52x + 7x . Durch Umstellen der Terme erhalten wir 52x+1 − 52x = 7x + 7x+1 ⇔ 52x (5 − 1) = 7x (1 + 7)  x 25 2x x =2 ⇔ 4·5 = 7 ·8⇔ 7 ⇔ x = log25/7 (2). 4. Bestimmen Sie alle Lo¨sungen von cos(2x) = cot(x) − 1 im Intervall [0, 2π) unter Verwendung der Additionstheoreme. Unter Verwendung der Additionstheorem und des Satzes von Pythagoras gilt fu¨r x ∈ [0, 2π ) cos(2x) = cos2 (x) − sin2 (x) = cot(x) − 1 = cot(x) − sin2 (x) − cos2 (x) ⇔ 2 cos2 (x) = cot(x) =

cos(x) ⇔ cos(x) = 0 oder 2 cos(x) sin(x) = 1 sin(x) ⇔ cos(x) = 0 oder sin(2x) = 1 5π π ⇔ cos(x) = 0 oder 2x = bzw. 2 2 5π π 3π π . , oder x = ⇔ x= , 4 2 2 4

5. Wenn sin(x1 ) = sin(x2 ) ist, welche Beziehung gilt dann zwischen x1 und x2 ? Bestimmen Sie alle Mo¨glichkeiten! Untersuchen Sie auch die analoge Frage f ¨ur cos(x1 ) = cos(x2 ) und tan(x1 ) = tan(x2 ). Bekannt ist, dass cos(x+2πk) = cos(x) und cos(x) = cos(−x) = cos(−x +2πk ) fu¨r alle k ∈ Z gilt. Wenn also cos(x1 ) = cos(x2 ) zutrifft, dann muss entweder x2 = x1 + 2kπ oder x2 = −x1 + 2kπ fur ¨ ein k ∈ Z gelten, also cos(x1 ) = cos(x2 ) ⇔ x1 + x2 = 2kπ oder x1 − x2 = 2kπ ur f ¨ ein k ∈ Z. Wegen sin(x) = cos(x − π/2) und somit cos(x1 − π/2) = cos(x2 − π/2) ergibt sich, dass entweder x2 −π/2 = x1 −π/2+ 2kπ oder x2 −π/2 = −x1 + π/2+ 2kπ fu¨r ein k ∈ Z gelten muss, also sin(x1 ) = sin(x2 ) ⇔ x1 + x2 = π + 2kπ oder x1 − x2 = 2kπ fur ¨ ein k ∈ Z Fu f ¨ alle k ∈ Z gilt. ¨ r tan(x) ist lediglich bekannt, dass tan(x) = tan(x + kπ) ur Somit haben wir in diesem Fall tan(x1 ) = tan(x2 ) ⇔ x1 − x2 = kπ fur ¨ ein k ∈ Z.

6. Rechnen Sie folgende Formel unter Verwendung der Additionstheoreme aus der Vorlesung nach: tan(x) + tan(y) =

sin(x + y ) ; cos(x) · cos(y)

Gem¨aß der Additionstheoreme aus der Vorlesung gilt: sin(x + y) = sin(x) cos(y) + sin(y ) cos(x). Dadurch ergibt sich sin(x) cos(y) + sin(y ) cos(x) sin(x + y ) = cos(x) · cos(y) cos(x) · cos(y ) sin(x) cos(y ) sin(y) cos(x) = + cos( x) · cos(y ) cos(x) · cos(y) sin(x) sin(y ) = = tan(x) + tan(y). + cos(x) cos(y) 7. Bestimmen Sie unter Nutzung der Additionstheoreme aus der Vorlesung, f ¨ur welche x ∈ R gilt: x sin(x) ; = tan 1 + cos(x) 2 Wir wenden als erstes die Additionstheoreme f¨ur sin(x) = sin(x/2 + x/2) und cos(x) = cos(x/2 + x/2) an: sin(x) = sin(x/2 + x/2) = 2 sin(x/2) cos(x/2), cos(x) = cos(x/2 + x/2) = cos2 (x/2) − sin2 (x/2). Aus diesen Gleichungen ergibt sich unter Ausnutzung des trigomometrischen Pythagoras in der Form sin2 (x/2) + cos2 (x/2) = 1 sin(x/2) =

sin(x) , 2 cos(x/2)

cos2 (x/2) = cos(x) + sin2 (x/2) = cos(x) + 1 − cos2 (x/2) ⇔ 2 cos2 (x/2) = 1 + cos(x). Damit erhalten wir  x sin(x/2) sin(x) sin(x) tan . = = = 2 1 + cos(x) 2 cos(x/2) 2 cos (x/2) fu¨r alle x ∈ R. 8. Bestimmen Sie die Lo¨sungsmenge f u ¨r sin(x) + sin(3x) + sin(5x) = 0. (Hinweis: Nutzen Sie die Additionstheoreme fu ¨ r sin(x) + sin(5x).) Das Additionstheorem ergibt sin(x) + sin(5x) = 2 sin(3x) cos(2x)

und somit folgt 0 = sin(x) + sin(3x) + sin(5x) = 2 sin(3x) cos(2x) + sin(3x) = sin(3x)(2 cos(2x) + 1). Diese Bedingung ist nur erfu¨llt, wenn sin(3x) = 0 oder 2 cos(2x) + 1 = 0, d.h. wenn 3x = nπ fu¨r n ∈ Z oder cos(2x) = − 12 . Letzteres ist gleichbedeutend mit + n2π f ¨ur n ∈ Z. Also geh¨oren alle Punkte x = n3 π und x = ± 3π + nπ 2x = ± 2π 3 fu¨r n ∈ Z zur L¨osungsmenge: o o n π nn π : n ∈ Z ∪ ± + nπ : n ∈ Z . L= 3 3...