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Technische Optik Aufgaben zu Kapitel 1.1. Geometrische Optik

Aufgabe 1.1 Welche Linse muss verwendet, damit ein 1 m großer Gegenstand auf einer 3 m entfernten Wand reell abgebildet wird und dort eine Größe von 0,2m hat. Kann man mit dieser Linse den Gegenstand auch mit einem anderen Abbildungsmaßstab auf der Wand abbilden. Wenn ja mit welchem. Lsg. f’=616,67 mm, ja mit dem Abbildungsmaßstab -5. Aufgabe 1.2 Von einer Linse ist die Lage der Brennpunkte bekannt, sowie die Lage eines Objektpunktes und seines durch die Linse abgebildeten Bildpunktes. Bestimmen Sie daraus zeichnerisch die Lage der beiden Hauptpunkte. Fertigen Sie dazu eine Zeichnung im Maßstab 2:1 ein. Alle Längenangaben erfolgen bezüglich des Ursprungs:

Lage des Objektes: -48,5 mm, Höhe 1,5cm Lage des Bildpunktes : 68,41 mm, Höhe 2,13cm

Lage des Brennpunktes F: -28,859 mm Lage des Brennpunktes F’: 28,859 mm Lösung: Lage Hauptpunkt H: -0,987 mm

Lage Hauptpunkt H’:0,987

Aufgabe 1.3 Eine Linse besitzt zwei Hauptpunkte, die einen Abstand von 1cm besitzen. H’ liegt dabei in Lichtrichtung rechts von H. Die Brennweite f’ beträgt 5 cm. Die Linse ist rechts und links von Luft umgeben. 2,5 cm links von H befindet sich ein Objekt. Bestimmen Sie zeichnerisch das Bild des Objektes. Ist es reell oder virtuell.

Wohin verschiebt sich das Bild wenn sich das Objekt immer stärker dem Hauptpunkt H nähert und gegen welchen Wert strebt der Abbildungsmaßstab.

Lsg: Die Abbildung ist virtuell, das Bild rückt immer mehr gegen den Hauptpunkt H’ und der Wert des Abbildungsmaßstabes strebt gegen 1.

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Aufgabe 1.4 Eine Negativsystem (=Zerstreuungslinse) bestehend aus einer dünnen Zerstreuungslinse (dünne Linse bedeutet: H=H´) besitzt die Brennweite f’= -5cm. (Achtung: f’> Dicke der Linse > e, dann gilt f '=

d2  1 L − 4  L  3

Aufgabe 1.10 Die Lupe

Der Winkel unter dem einem Beobachter ein Gegenstand erscheint hängt vom Abstand des Gegenstandes zum Beobachter ab. Je näher man zum Gegenstand geht, desto größer ist der Winkel und umso größer erscheint dem Beobachter der Gegenstand.

Ist der Beobachter zu nah am Gegenstand, kann das Auge kein scharfes Bild auf der Netzhaut erzeugen. Der geringste Abstand des Beobachters, bei dem noch ein scharfes Bild entsteht heißt deutliche Sehweite und beträgt im Durchschnitt aller Menschen etwa 250mm. Man schreibt as=-250mm. as ist negativ, da es sich um einen Objektabstand handelt.

Ein Gegenstand wird durch eine Linse hindurch beobachtet. In diesem Fall nennt man die Linse eine Lupe.

(a) Berechnen Sie den Tangens des Winkels unter dem der Gegenstand der Höhe y erscheint, wenn man ihn ohne Lupe aus der deutlichen Sehweite heraus beobachtet

(b) Berechnen Sie den Tangens des Winkels unter dem der Gegenstand der Höhe y erscheint, wenn man ihn mit der Lupe beobachtet. Der Gegenstand soll dabei im Brennpunkt der Lupe stehen. Die Lupe kann der Einfachheit halber als dünne Linse mit der Brennweite f´ angesehen werden.

(c) Das Verhältnis der Tangenswerte der Winkel ohne und mit Lupe wird als die Vergrößerung der Lupe bezeichnet. Wie groß ist damit die Vergrößerung der Lupe.

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Aufgabe 1.11

Das Kepler Teleskop

Ein Keplerfernrohr besteht aus zwei Linsen. Die erste Linse, die zum Objekt zeigt, wird Objektiv genannt und hat in der folgenden Aufgabe eine Brennweite von f´Ob=+100cm. Die beiden Hauptpunkte sollen einen verschwindend geringen Abstand besitzen, d.h. H=H´. Die zweite Linse, durch die der Beobachter blickt, heißt Okular und hat eine Brennweite von f´Ok=+20cm. Die beiden Hauptpunkte sollen einen Abstand von 5cm haben (dies ist zwar unrealistisch groß, aber damit wird die Zeichnung übersichtlicher). Der Abstand der Hauptpunkte HOb=H´Ob des Objektives vom Hauptpunkt HOk des Okulares soll 120cm betragen.

Mit diesem Fernrohr sollen zwei Sterne beobachtet werden. Der eine Stern soll auf der optischen Achse liegen und der andere Stern soll unter einem Winkel von 20° gegen die optische Achse erscheinen.

a) Fertigen Sie eine Zeichnung im Maßstab 1:10 an und bestimmen Sie konstruktiv den Verlauf der Lichtstrahlen, die von den Sternen kommen. Wie verlaufen die Strahlen eines Sternes hinter dem Okular?

Hinweis: Da die Sterne in guter Näherung unendlich weit entfernt sind, sind die Lichtstrahlen, die das Objektiv erreichen praktisch parallel.

b) Bestimmen Sie rechnerisch die Lage der Bilder der Sterne, die vom Objektiv erzeugt werden, d.h. wie weit befinden sich die Bilder hinter dem Objektiv (gemessen von H´aus) und welchen Abstand zur optischen Achse haben die Bilder.

c) Es zeigt sich, dass die Strahlen eines Sternes am Ausgang des Okulares wieder Parallelstrahlen sind, d.h. als ob die Strahlen wieder von einem unendlich weit entfernten Punkt kommen. Dieser Punkt ist sozusagen der Bildpunkt des Sterns, den das Fernrohr erzeugt. Dieser Bildpunkt bzw. diese Abbildung wird virtuelle Abbildung genannt, da der Bildpunkt erst erscheint, wenn man mit dem Auge den Lichtstrahlen entgegen sieht. Unter welchem Winkel erscheint der Bildpunkt des außeraxialen Sterns. Es reicht den Tangens dieses Winkels zu berechnen. Geben Sie allgemein das Verhältnis des Tangens dieses Winkels und den Tangens des Einfallswinkels am Eingang des Fernrohres als Funktion der Brennweiten des Objektives und des Okulares an.

d) Sieht der Beobachter der in das Fernrohr schaut ein aufrechtes oder ein umgekehrtes Bild.

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Aufgabe 1.12

Das Galilei-Fernrohr

Ein Galileifernrohr besteht aus zwei Linsen. Die erste Linse, die zum Objekt zeigt, wird Objektiv genannt und hat in der folgenden Aufgabe eine Brennweite von f´Ob=+100cm. Die beiden Hauptpunkte sollen einen verschwindend geringen Abstand besitzen, d.h. H=H´. Die zweite Linse, durch die der Beobachter blickt, heißt Okular und hat eine Brennweite von f´Ok= -20cm. Die beiden Hauptpunkte sollen einen Abstand von 5cm haben (dies ist zwar unrealistisch groß, aber damit wird die Zeichnung übersichtlicher). Der Abstand der Hauptpunkte HOb=H´Ob des Objektives vom Hauptpunkt HOk des Okulares soll 80cm betragen. Mit diesem Fernrohr sollen zwei Sterne beobachtet werden. Der eine Stern soll auf der optischen Achse liegen und der andere Stern soll unter einem Winkel von 20° gegen die optische Achse erscheinen.

a) Fertigen Sie eine Zeichnung im Maßstab 1:10 an und bestimmen Sie konstruktiv den Verlauf der Lichtstrahlen, die von den Sternen kommen. Wie verlaufen die Strahlen eines Sternes hinter dem Okular? Hinweis: Da die Sterne in guter Näherung unendlich weit entfernt sind, sind die Lichtstrahlen, die das Objektiv erreichen praktisch parallel. Hilfestellung: Anders als in Aufgabe zwei ist das Bild, das vom Objektiv erzeugt wird nicht vor dem Okular, sondern hinter dem Okular. Damit kann die Gesamtabbildung nicht einfach in zwei unabhängige Abbildungen aufgeteilt werden. Hier hilft ein Trick, der in solchen Fällen immer anzuwenden ist:

Das Objektiv würde ohne das Vorhandensein des Okulars ein Bild erzeugen. Zur Konstruktion des Bildes werden zwar nur zwei Strahlen verwendet, aber da vom Objektpunkt unendliche viele Strahlen in allen Richtungen weggehen laufen auch unendlich viele Strahlen auf den Bildpunkt zu. Von diesen unendlich vielen Strahlen, die auf den Bildpunkt zulaufen werden zwei spezielle ausgesucht. Und zwar die, die auf das Okular in einer Richtung zulaufen, für die es sehr einfach ist, ihre Ablenkung durch das Okular zu konstruieren. Dies sind:

(i) Der Strahl, der auf den Bildpunkt (Bild das durch Objektiv erzeugt wird ) so zuläuft, dass er durch den Punkt H des Okulars geht. Von diesem Strahl weiß man, wie er im Okular weiter verläuft. (ii) Der Strahl, der auf den Bildpunkt (Bild das durch Objektiv erzeugt wird) so zuläuft, dass er senkrecht auf die Hauptebene mit H´ des Okulars trifft. Auch hier weiß man, wie das Okular diesen Strahl ablenkt.

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b) Bestimmen Sie rechnerisch die Lage der Bilder der Sterne, die vom Objektiv erzeugt werden, d.h. wie weit befinden sich die Bilder hinter dem Objektiv (gemessen von H´aus) und welchen Abstand zur optischen Achse haben die Bilder.

c) Es zeigt sich, dass die Strahlen eines Sternes am Ausgang des Okulares wieder Parallelstrahlen sind, d.h. als ob die Strahlen wieder von einem unendlich weit entfernten Punkt kommen. Dieser Punkt ist sozusagen der Bildpunkt des Sterns, den das Fernrohr erzeugt. Dieser Bildpunkt bzw. diese Abbildung wird virtuelle Abbildung genannt, da der Bildpunkt erst erscheint, wenn man mit dem Auge den Lichtstrahlen entgegen sieht. Unter welchem Winkel erscheint der Bildpunkt des außeraxialen Sterns. Es reicht den Tangens dieses Winkels zu berechnen. Geben Sie allgemein das Verhältnis des Tangens dieses Winkels und den Tangens des Einfallswinkels am Eingang des Fernrohres als Funktion der Brennweiten des Objektives und des Okulares an.

d) Sieht der Beobachter der in das Fernrohr schaut ein aufrechtes oder ein umgekehrtes Bild.

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Aufgabe 1.13 Das Mikroskop

Ein Mikroskop bestehe aus einem Objektiv mit der Brennweite f´Ob=+4cm und einem Okular mit der Brennweite f´Ok =+6cm. Beide Linsen sollen der Einfachheit als dünne Linse betrachtet werden, d.h. H=H´.

Der Abstand der Linsen, d.h. der Abstand der Hauptpunkte der beiden Linsen soll 26 cm betragen. Damit ergibt sich eine Tubuslänge von 16cm (Abstand der Brennpunkte der beiden Linsen)

a) Bestimmen Sie zeichnerisch den notwendigen Abstand eines Objektes vor dem Objektiv, so dass, das vom Objektiv erzeugte Bild im objektseitigen Brennpunkt des Okulares zum Liegen kommt. Erstellen Sie eine Zeichnung im Maßstab von 1:2 und führen Sie die Überlegungen an einem Beispiel aus, in dem sich im objektseitigen Brennpunkt des Okulares ein Bild mit einer Höhe von 5cm ergibt.

b) Bestimmen Sie rechnerisch den notwendigen Abstand eines Objektes vor dem Objektiv, so dass, das vom Objektiv erzeugte Bild im objektseitigen Brennpunkt des Okulares zum Liegen kommt.

c) Vervollständigen Sie den Strahlengang aus Teilaufgabe a), so dass die komplette Abbildung des Objektes durch Objektiv und Okular gegeben ist.

d) Sei y die Höhe eines Objektes vor dem Objektiv. Bestimmen Sie als Funktion der Brennweiten des Objektives und des Okulares unter welchem Winkel die Strahlen, die von der Spitze des Objektes kommen, aus dem Okular austreten. Verwenden Sie zur Anschauung die Zeichnung aus a) bzw. c). Es reicht den Tangens dieses Winkels zu berechnen

e) Die Vergrößerung des Mikroskops ist definiert als das Verhältnis der Tangenswerte der Sehwinkel mit dem Mikroskop und ohne Mikroskop, wenn das Objekt aus der deutlichen Sehweite beobachtet wird. Berechnen Sie die Vergrößerung als Funktion der Tubuslänge und der Brennweiten des Objektives und des Okulares.

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Aufgabe 1.14 Die Feldlinse

Gegeben ist ein Mikroskop mit den Daten aus Aufgabe 1.12. Zeichnen Sie nochmals die Abbildung aus Aufgabe 1.12c. Zusätzlich wird jetzt berücksichtigt, dass die Linsen einen endlichen Durchmesser haben. Sowohl das Objektiv, als auch das Okular sollen einen Durchmesser von 4 cm haben.

a) Zeichnen Sie zusätzlich zu den Konstruktionsstrahlen alle Strahlen, die von der Spitze des Objektes starten und durch das Objektiv gehen (es reicht die Randstrahlen zu zeichnen). Zeichnen Sie auch den weiteren Verlauf dieser Strahlen durch das gesamte Mikroskop. Gehen alle diese Strahlen auch durch das Okular? b) An den Ort des objektseitigen Brennpunktes des Okulares wird eine zusätzliche Linse gestellt. Diese Linse wird als Feldlinse bezeichnet, das sie am Ort eines reellen Zwischenbildes steht. (i) Wenn diese Linse eine dünne Linse ist (H=H´), wie beeinflusst sie die Abbildung des Objektes vor dem Objektiv. (ii) Wenn diese Linse eine dicke Linse ist (H≠ H´), wie beeinflusst sie die Abbildung des Objektes vor dem Objektiv. Durch welche Maßnahme lässt sich dieser Einfluss ausgleichen.

c) Die Linse aus Teilaufgabe b) soll eine dünne Linse sein.

(i) Bestimmen Sie zeichnerisch die Brennweite dieser Linse so, dass sie die Objektivlinse 1cm hinter die Okularlinse abbildet. (ii) Bestimmen Sie rechnerisch die Brennweite dieser Linse so, dass sie die Objektivlinse 1cm hinter die Okularlinse abbildet. (iii) Wird die Objektivlinse vergrößert oder verkleinert abgebildet. (iv) Zeichnen Sie zusätzlich ein, wie die Strahlen, die von der Spitze des Objektes starten durch das Mikroskop verlaufen, wenn sie durch die Feldlinse hindurchgehen. Die Feldlinse soll einen beliebig großen Durchmesser haben. Gehen jetzt alle Strahlen durch die Okularlinse? d) Zeichnen Sie zusätzlich ein, wie die unter c)(iv) konstruierten Strahlen verlaufen, wenn sie durch das Okular hindurch gehen. Wo liegt jetzt das Bild der Objektivlinse, das von der Feldlinse und der Okularlinse zusammen erzeugt wird. Es reicht dies zeichnerisch zu bestimmen. e) Wie groß müsste die Pupille eines Beobachters, der in das Mikroskop hineinschaut mindestens sein und wo müsste er seine Pupille positionieren, damit alles Licht, das vom Objekt kommt und durch die Objektivlinse geht auch durch seine Pupille geht. Es reicht, wenn sie dies aus der Zeichnung herauslesen. 9

Aufgabe 1.15 Das Teleobjektiv-Prinzip

a) Warum verwendet man bei Kameras ein Objektiv mit möglichst großer Brennweite, um eine möglichst große Vergrößerung des Objektes zu erreichen. b) Wie lang müsste daher in erster Näherung ein Teleobjektiv sein. c) Es zeigt sich, dass die Teleobjektive kürzer sind als unter b) abgeschätzt. Die Ursache liegt darin, dass eine geschickte Kombination aus Sammel- und Zerstreuungslinsen dazu führt, dass der Hauptpunkt H´sehr weit vor der ersten Linse des Teleobjektives liegt. Wird ein sehr weit entfernter Gegenstand beobachtet, so muss der Abstand (H´-Filmebene) bzw. (H´- Sensorebene) gleich der Brennweite sein. Daher kann die physikalische Länge des Teleobjektives kleiner als seine Brennweite sein. Zeichnerische Bestimmung der effektiven Brennweite und der Lage des Brennpunktes H´ eines Linsensystems bestehend aus einer ersten Sammellinse gefolgt von einer Zerstreuungslinse. Die erste Linse soll eine Brennweite von f1´=+4 cm haben und die zweite Linse eine Brennweite von f2´=-2cm. Beide Linsen sollen dünne Linsen sein. Die Hauptpunkte H2=H2´sollen 0,5cm vor dem Brennpunkt F1´der ersten Linse liegen. Vorgehen, um die Brennweite f´ges und den Hauptpunkt H’ges des Gesamtsystems zu bestimmen:

(i) Der Brennpunkt F‘ges ist dadurch bestimmt, dass sich alle parallel zur optischen Achse einfallenden Strahlen in diesem Brennpunkt F’ges auf der optischen Achse vereinen. Man muss also den Strahlengang eines parallel zur optischen Achse einfallenden Strahles verfolgen. Dort wo er die optische Achse schneidet liegt der Brennpunkt F‘ges. (ii) Der Hauptpunkt H‘ges ist dadurch bestimmt, dass er der Schnittpunkt des einfallenden Parallelstrahles mit der rückwärtigen Verlängerung des auf den Brennpunkt F’ges einfallenden Strahles ist. (iii) Um den einfallenen zur optischen Achse parallelen Strahl verfolgen zu können, muss man erst den Strahlengang von parallelen Strahlen konstruieren, die unter einem Winkel zur optischen Achse verlaufen (verwenden Sie einen Winkel von etwa 20°). (iv) Wenn Sie den Strahlverlauf der parallelen Strahlen, die unter einem Winkel von 20° zur optischen Achse verlaufen konstruiert haben, dann wissen Sie auch, wo der parallel zur optischen Achse einfallende Strahl die optische Achse schneidet. (v) Jetzt können Sie mit Hilfe von (i) und (ii) die Brennweite f´ges und H‘ges bestimmen. Sie werden sehen, dass er deutlich vor dem Hauptpunkt der ersten Linse liegt.

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Aufgabe 1.16

Bestimmung des Hauptpunktes Hges der Linsenkombination aus Aufgabe 1.15

Vorgehensweise:

(i) Der Brennpunkt Fges ist dadurch gekennzeichnet, dass entgegen der Lichtrichtung parallel zur optischen Achse verlaufende Strahlen sich in diesem Punkt vereinen. Man muss also den Strahlengang eines entgegen der Lichtrichtung laufenden, parallel zur optischen Achse einfallenden Strahles verfolgen. Dort wo er die optische Achse schneidet liegt der Brennpunkt Fges.

(ii) Wieder muss man erst den Strahlengang von entgegen der Lichtrichtung einfallenden parallelen Strahlen verfolgen, die unter einem Winkel zu optischen Achse verlaufen. Verwenden Sie wieder einen Winkel von 20°.

(iii) Wenn sie den Schnittpunkt dieser Strahlen bestimmt haben, dann wissen Sie auch wo der entgegen der Lichtrichtung parallel zur optischen Achse einfallende Strahl die optische Achse schneidet.

(iv) Mit (i) und (ii) können Sie dann auch Hges und Fges bestimmen.

Aufgabe 1.17

Zeigen Sie dass die von einer Glasscheibe bei senkrechtem Einfall durchgelassene Intensität bei Vernachlässigung von Vielfachreflexionen, sich berechnet zu:

 4n  It = I0  2  (n + 1) 

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I0: Intensität des einfallenden Lichtes It: Intensität des transmittierten Lichtes n: Brechungsindex des Glases

Berechnen sie die durchgelassene Intensität wenn Glas den Brechungsindex 1,5 hat. Beachten Sie dass zweimal Reflexion erfolgt, an der Glasoberfläche und an der Glasrückfläche.

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Aufgabe 1.18

Lichtleitfaser

Im Bild ist eine Glasfaser gezeichnet. Der Kern besteht aus einem Material mit dem Brechungsindex n1, der Mantel aus einem Material mit Brechungsindex n 2. Es sei: n1=1,52 n2= 1,50

a) Wie groß darf der Einkoppelwinkel ε0 maximal werden, damit das Licht in der Glasfaser in Folge der Totalreflexion ohne Verluste geführt wird.

Beachten Sie, dass an der Einkoppelseite Brechung stattfindet.

b) Leiten Sie für den maximal möglichen Einkoppelwinkel εmax bei dem gerade noch interne Totalreflexion auftritt folgende Beziehung her: sin(ε max ) =

1 n0

n12 − n22

Lsg: ε0=0,248 rad

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Aufgaben zu Kapitel 1.2

Allgemeine Eigenschaften von Wellen

Aufgabe 1.20

Ein Atom sendet 5 Spektrallinien aus, die auf der Wellenlängenskala äquidistant liegen, d.h. alle Wellenlängen besitzen zum nächsten Nachbarn denselben Abstand. Wenn zu den einzelnen Wellenlängen die zugehörigen Frequenzen berechnet werden und dann auf einer Frequenzskala aufgetragen werden, liegen diese dann auch äquidistant. Berechnen Sie als Beispiel die Frequenzen für die fünf Wellenlängen 400nm, 450nm, 500nm, 550nm und 600nm und Bestimmen Sie den Abstand der Frequenzen.

Lösung: Frequenzen 7,50E+14 Hz ; 6,67E+14 Hz ; 6,00E+14 Hz ; 5,45E+14 Hz ; 5,00E+14 Hz Frequenzabstände: 8,33E+13 Hz ; 6,67E+13Hz ; 5,45E+13Hz ; 4,55E+13Hz

Aufgabe 1.21:

Gegeben ist ein Gitter mit einem unbekannten Abstand der einzelnen Spalte. Sie führen folgendes Experiment aus: Sie leuchten das Gitter mit Hilfe eines möglichst gut kollimierten HeNe-Laserstrahls (632,8 nm) aus und beobachten das Interferenzmuster auf einem in 5 m aufgestellten Schirm. Die einzelnen beobachtbaren Maxima haben jeweils einen Abstand von 5cm. Berechnen Sie den Abstand der Spalte und geben Sie die Dichte der Spalte in Spalte pro mm an. Hinweis: Man kann zeigen, dass der Abstand der Maxima bei einem Vielfachspalt identisch ist mit dem Abstand bei einem idealen Doppelspalt. Lsg: Abstand d der Spalte: d= 6,32*10-5 m, 15 1/mm

Aufgabe 1.22:

Gegeben ist eine Lochblende mit unbekanntem Durchmesser. Sie führen zur Bestimmung des Durchmessers folgendes Experiment aus. Sie leuchten mit einem möglichst gut kollimierten frequenzverdoppelten Nd:YAG Laser mit einer Wellenlänge von 532 nm auf die Lochblende und betrachten das Beugungsbild auf einem Schirm in 3 m Entfernung. Der Abstand der Minima links und rechts vom Hauptmaximum beträgt 2,5cm.

Wie groß ist der Durchmesser der Lochblende. Lsg.: 150µm<...