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TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler

Herbst 2015

Herbst 2015

TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler

Aufgabe 1 (Seite 1 von 2) a) Der wie dargestellt gelagerte Balken wird durch eine linear verlaufende Streckenlast (Maximalwert q0 ) sowie durch eine Einzelkraft F belastet. Die Abmessungen sind der Zeichnung zu entnehmen.

q0

F

x 2l

2l

l

¨ an, die Geben Sie die kinematischen (geometrischen) Rand- und Ubergangsbedingungen zur vollst¨andigen Bestimmung der Biegelinie w(x) erforderlich sind. Geben Sie dabei eindeutige Zuweisungen hinsichtlich der jeweiligen Bereiche unter Verwendung der vorgegebenen x-Koordinate an. (3,0 Punkte)

b) F¨ ur das nun gegebene System sind die Auflagerreaktionen gem¨aß des vorgegebenen x˜, y˜Koordinatensystems durch MA = −

q0 l 2 6

,

By˜ =

y˜

x˜

q0 l 2

vorgegeben. Der Balken weist die Biegesteifigkeit EI auf.

A

q0

x1

x2

l

l

B

TU Dortmund

Herbst 2015

Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler

Aufgabe 1 (Seite 2 von 2) Bestimmen Sie die Biegelinie wI (x1 ) f¨ur 0 ≤ x1 ≤ l sowie wI I (x2 ) f¨ ur 0 ≤ x2 ≤ l ohne Berechnung der auftretenden Konstanten. (3,0 Punkte)

wI (x1 ) =

wII (x2 ) =

¨ Geben Sie s¨amtliche kinematischen (geometrischen) Rand- und Ubergangsbedingungen an, die zur Berechnung der oben aufgef¨uhrten Konstanten ben¨ otigt werden. (1,0 Punkte)

Berechnen Sie abschließend die Werte der oben aufgef¨uhrten Konstanten. (3,0 Punkte)

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Aufgabe 2 (Seite 1 von 3) a) Gegeben ist das folgende U-Profil mit den Abmessungen a und b sowie der Profildicke t. Die Lage des Profil-Schwerpunkts ist durch den Abstand |zS | vorgegeben. Die Profildicke t ist hier nicht zu vernachl¨ assigen. Berechnen Sie das Fl¨achentr¨agheitsmoment Iy bez¨ uglich des gegebenen Schwerpunktskoordinatensystems. Fassen Sie die einzelnen Terme nicht zusammen. (1,5 Punkte)

a

b

|zS |

S

y

t

b

z t

t

Iy =

b) Ein einseitig eingespannter Balken (siehe n¨achste Seite) der L¨ ange l wird wie im linken Bild dargestellt durch eine konstante Streckenlast q0 belastet. Der Balken weist den rechts im Schnitt A–A gezeigten Querschnitt auf, wobei t ≪ b gilt. Die Lage des Schwerpunktes ist durch |ys | = 2/3 b ,

|zs | = b/6 ,

die Fl¨achentr¨agheitsmomente bez¨ uglich des gegebenen Schwerpunktkoordinatensystems durch Iy =

1 3 b t , 4

vorgegeben.

Iz =

4 3 b t 3

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Aufgabe 2 (Seite 2 von 3)

Schnitt A − A

l

2b x

A t q0 A

z

|zS |

y

S

|yS |

b

z t

Bestimmen Sie den Verlauf der Normalspannung σxx(y, z) an der Stelle x = l bez¨uglich der vorgegebenen Belastung q0 und des vorgegebenen Koordinatensystems. Nutzen Sie das K¨astchen aus, um ebenfalls notwendige Zwischenschritte anzugeben. (3,0 Punkte)

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Aufgabe 2 (Seite 3 von 3) Geben Sie die Lage der neutralen Faser/Nulllinie als Funktion z(y) an.

(1,0 Punkte)

z(y) =

An welcher Stelle P(x, y, z) des Balkens befindet sich die betragsm¨aßig gr¨oßte Spannung |σxx,max |? Welchen Wert hat |σxx,max | an dieser Stelle P? (1,5 Punkte) P= |σxx,max | =

Wie groß darf q0 h¨ochstens sein, damit |σxx,max | den zul¨ assigen Spannungswert σzul nicht ¨ berschreitet? u (1,0 Punkte)

q0,max =

c) In einer handels¨ublichen, zylindrischen Getr¨ankedose (Radius r, L¨ ange l, Wandst¨ arke ¨ t ≪ r) herrsche der Innen- Uberdruck ∆p. Wie groß darf ∆p maximal sein, damit die zul¨ assige Schubspannung τzul nicht u ¨ berschritten wird? (2,0 Punkte)

∆pmax =

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Aufgabe 3 (Seite 1 von 3) a) Gegeben sei das nebenstehende System bestehend aus einem Biegebalken (Biegesteifigkeit EI ) und einem Dehnstab (Dehnsteifigkeit EA, W¨ armeausdehnungskoeffizient α). Der Balken wird durch eine Einzelkraft F belastet. Die Abmessungen sind der Zeichnung zu entnehmen.

F EI

a Die lokalen Koordinatensysteme und Lagerreaktionen sind im nebenstehenden Freik¨orperbild dargestellt. Die Funktionen der Biegemomente und der Normalkr¨afte ergeben sich in Abh¨angigkeit von x1 und x2 zu

a

Freik¨orperbild: F 2

F z2

x1

x2

z1 0 < x1 < a : MF (x1 ) =

F x1 , 2

NF (x1 ) = 0

b

EA, α

F 2

MF (xi )

a < x1 < 2a : MF (x1 ) = −

F x1 + F a, 2

NF (x1 ) = 0 NF (xi )

0 < x2 < b : MF (x2 ) = 0,

NF (x1 ) = −

Fa 2

−

F 2

F . 2

Berechnen Sie die Verschiebung des Balkens an der Kraftangriffsstelle (x1 = a) in Richtung der Kraft F . (2,5 Punkte) Hinweis: Die einzelnen Terme m¨ussen nicht zusammengefasst werden.

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Aufgabe 3 (Seite 2 von 3) Wie groß sind der absolute und der relative Fehler in Abh¨angigkeit der Gr¨ oßen a und b bei der Berechnung der Verschiebung aufgrund der Kraft F bei x1 = a, falls der rechte Stab als dehnstarr betrachtet wird? Balken und Stab haben beide einen kreisrunden Querschnitt mit den Radien rB = a/10 (Balken) und rS = a/20 (Stab). (2,0 Punkte)

Der rechte Stab soll nun ¨uber seine gesamte L¨ ange gleichm¨aßig erw¨armt werden. Bestimmen Sie die Temperaturerh¨ohung ∆T , bei der der Stab im belasteten Zustand (Einzelkraft F bei x1 = a) die L¨ange b aufweist. (1,0 Punkte)

b) Das nebenstehende statisch unbestimmt gelagerte und dehnstarre Balkensystem (Biegesteifigkeit EI ) wird durch eine Einzelkraft F belastet. Die Abmessungen sind der Zeichnung zu entnehmen.

F a EI a

a

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Aufgabe 3 (Seite 3 von 3) Geben Sie zun¨achst ein statisch bestimmtes Ersatzsystem an, bei dem die statisch Unbekannte durch die Kraftgr¨oße X ersetzt wird. (1,0 Punkte)

F x2 x1

z2

z1

In einem zweiten Schritt sollen die Biegemomente aufgrund der Last F (“0”-System) und der Unbekannten X (“1”-System) bestimmt werden. Zeichnen Sie die Biegemomentenverl¨aufe unter Angabe von Werten an markanten Stellen. (2,0 Punkte)

“0”

“1” F

Berechnen Sie abschließend den Wert f¨ur die statisch u¨berz¨ahlige Kraftgr¨oße X. (1,5 Punkte)

X=

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Fru ¨ hjahr 2015

Fr¨ uhjahr 2015

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Aufgabe 1 (Seite 1 von 3) a) Das dargestellte System besteht aus einem starren Balken der L¨ange 2 l, welcher mit einer konstanten Fl¨achenlast q0 beaufschlagt ist. Das rechte Ende des Balkens ist in Punkt D durch ein Loslager gehalten, das linke Ende ruht wie dargestellt auf dem Knoten C eines Fachwerks bestehend aus den St¨ aben 1, 2 und 3, welches in den Punkten A und B gelagert ist. S¨ amtliche Fachwerkst¨ abe weisen die Dehnsteifigkeit EA auf.

y q0

x 1

B

D C

l

3

2

A l

2l

Berechnen Sie die Kr¨afte in den St¨ aben 1 und 2 unter der Voraussetzung, dass Zugkr¨afte positiv sind. (1,0 Punkte)

S1 =

S2 =

Bestimmen Sie die L¨angen¨anderung der St¨abe 1 und 2.

∆l1 =

(1,0 Punkte)

∆l 2 =

Bestimmen Sie die Komponenten der vektoriellen Verschiebung uc = u ex + v ey des Punktes C. (2,0 Punkte)

u=

v=

Fr¨ uhjahr 2015

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Aufgabe 1 (Seite 2 von 3) b) Gegeben sei nun das nebenstehend abgebildete System bestehend aus einem mit einer Fl¨achenlast q(x) beaufschlagten Biegebalken, welcher in Punkt A durch eine Schiebeh¨ulse und in Punkt B mittels eines Festlagers gehalten wird. Der Balken weist die Biegesteifigkeit EI auf und ist als dehnstarr anzunehmen. Die Funktion der Fl¨achenlast ist durch i hx +1 q(x) = q0 l

x q(x)

B

A l

vorgegeben, die zugeh¨orige Funktion des Biegemoments lautet   q0 3 q0 2 2 2 x + x − q0 l . M(x) = − 6l 2 3

Nennen Sie alle kinematischen Randbedingungen, denen der Balken unterliegt. (1,0 Punkte)

Bestimmen Sie die Biegelinie w(x) zun¨achst mit Angabe aber ohne Berechnung der Integrationskonstanten. (2,0 Punkte)

TU Dortmund

Fr¨ uhjahr 2015

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Aufgabe 1 (Seite 3 von 3)

Berechnen Sie nun die Integrationskonstanten zur eindeutigen Bestimmung der Biegelinie des Systems. (2,0 Punkte)

Weisen Sie durch Rechnung nach, dass der Zusammenhang zwischen M(x) und q(x) f¨ ur die angegebenen Funktionen g¨ultig ist. Tragen Sie dazu die wesentlichen Schritte der Rechnung in das nachfolgende K¨astchen ein. (1,0 Punkte)

Fr¨ uhjahr 2015

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Aufgabe 2 (Seite 1 von 3) a) Gegeben ist der unten dargestellte, symmetrische Querschnitt eines Hohlkastenprofils mit den angegebenen Abmessungen. Die Lage des Gesamtschwerpunktes S ist durch die Abmessungen |z1 | und |z2 | vorgegeben (Punkt S ist nicht maßst¨ablich eingetragen). Die strichpunktierten Linien stellen Hilfslinien dar, welche die L¨osung der nachfolgenden Aufgabe erleichtern sollen. 9a 9/2 a

a/2

a y

S

2a z a

|z1 | |z2 | a a

a

a

a

Berechnen Sie das Fl¨ achentr¨agheitsmoment Iy bez¨uglich des angegebenen x, y-SchwerpunktKoordinatensystems. Fassen Sie dazu die relevanten Terme nicht zusammen, sondern nennen Sie jeden Summanden einzeln. (3,0 Punkte)

Iy =

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Aufgabe 2 (Seite 2 von 3) b) Gegeben ist nun der unten abgebildete, symmetrische Querschnitt eines Balkens. Die Fl¨achentr¨agheitsmomente sind durch Iy =

19 4 a 4

,

Iz =

107 4 a 4

bez¨uglich des angegebenen Schwerpunkt-Koordinatensystems vorgegeben. a S

y

a a

z a

3a

a

Der dargestellte Querschnitt ist durch eine Normalkraft N sowie Biegemomente My und Mz beansprucht. Es gelten dabei folgende Zusammenh¨ange: 2 N = Mz A 107 a3

,

My 38 = Mz 107

Geben Sie die neutrale Faser als Funktion yNF (z) an und zeichnen Sie diese maßst¨ablich in obige Skizze ein. (2,0 Punkte)

yNF(z) =

Markieren Sie ebenfalls in obiger Skizze den Punkt P des Querschnitts, welcher die maximale Beanspruchunug durch Normalspannung erf¨ahrt. Berechnen Sie zudem die dort oßen Mz und a. (2,0 Punkte) vorhandene Spannung σ P in Abh¨angigkeit der Gr¨

σP =

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Aufgabe 2 (Seite 3 von 3) c) Gegeben ist das unten dargestellte und aus den St¨ aben 1 bis 3 bestehende Fachwerk, welches durch eine Einzelkraft F = 150 kN belastet wird. S¨amtliche St¨ abe weisen kreisrunde Querschnitte mit den jeweiligen Radien r1 , r2 und r3 auf. y

A F 2

x

30◦ 30◦

1 3 60◦

B Die Stabkr¨afte sind bereits zu S1 =

√

3F

,

S2 = F

,

S3 = −F

bestimmt worden. Die maximal zul¨assige Spannung σzul des Materials aller drei St¨ abe weist im Zugbereich 250 MN/m2 und im Druckbereich 150 MN/m2 auf. Berechnen Sie die Radien r1 , r2 und r3 der St¨ abe derart, dass die jeweils vorhandene Spannung exakt dem jeweils zul¨assigen Wert entspricht. Geben Sie die Ergebnisse in der Einheit Meter (m) als Dezimalzahl mit vier Nachkommastellen an. (3,0 Punkte)

r1 = r2 = r3 =

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Aufgabe 3 (Seite 1 von 4) a) Gegeben ist der unten links dargestellte abknickende und als dehnstarr anzusehende Balken (Biegesteifigkeit E I), welcher in Punkt A eingespannt ist. Der horizontal verlaufende Teil des Balkens wird durch eine konstante Streckenlast der Gr¨ oße q0 beansprucht. Zus¨atzlich wird der Balken durch zwei St¨ abe (Dehnsteifigkeit EA) gehalten, welche die Punkte B und E bzw. D und E verbinden. l

l

l

l

q0 D

q0 x2

C y

1

B

D

z2

2

y

l

x2

C 1

E

z2

2

l

x1 x

B

x1

z1

E

x

z1

A

A X Die relevanten Schnittgr¨oßen-Verl¨aufe am statisch bestimmten Ersatzsystem (rechts) sind wie folgt gegeben, wobei die Gr¨oßen M und S die Schnittgr¨oßen nur infolge der realen ¯, S ¯ die Schnittgr¨ Belastung q0 und die Gr¨oßen M oßen nur infolge der statisch u¨berz¨ahligen Kraft X darstellen. Es gilt, dass positive Stabkr¨ afte einer Zugbelastung entsprechen. i h ¯ I (x1 ) = X 1 − x1 M M I (x1 ) = −q0 l x1 , l 3 1 M II (x2 ) = −q0 l2 + q0 l x2 − q0 x22 2 2 1 S1 = − √ q0 l 2

,

S¯1 = 0

,

,

3 S2 = − √ q0 l 2

¯ II (x2 ) = 0 M ,

√ X S¯2 = − 2 l

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Aufgabe 3 (Seite 2 von 4) Die Verl¨aufe der Biegemomente sind des Weiteren in folgender Skizze grafisch dargestellt. −q0 l2

1/8 q0 l

2

M

−q0 l2

¯ M

X Geben Sie — je nach der von Ihnen gew¨ahlten Methode — die Bestimmungsgleichung f¨ ur die statisch uberz¨ ahlige Kraftgr¨ oße X in allgemeiner Form als Summe von Integralaus¨ dr¨ ucken an. Werten Sie keine Integrale aus und verwenden Sie die allgemeinen Ausdr¨ucke ¯ I (x1 ). Geben Sie die jef¨ ur die jeweiligen Schnittgr¨ oßenfunktionen, also z.B. M I (x1 ), M weiligen Integrationsgrenzen an. (2,0 Punkte)

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Aufgabe 3 (Seite 3 von 4) Berechnen Sie nun konkret das Auflagermoment X. Nennen Sie dazu auch relevante Zwischenschritte Ihrer Rechnung in nachfolgendem K¨ astchen. (4,0 Punkte)

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Aufgabe 3 (Seite 4 von 4) b) F F¨ ur das rechts dargestellte System, welches aus einem dehnstarren Balken der Biegesteifigkeit EI besteht, wurde der Verlauf des BieM0 gemomentes zu   −F x , f¨ur 0 ≤ x < l/2 M(x) = F M0  [7 l + 6 x] + [7 − 6 x/l] , f¨ur l/2 ≤ x < 3/2 l 4 8

z x

l/2 B

l

bestimmt.

A Berechnen Sie die Verdrehung ϕB des Balkens an der Stelle x = l (in Punkt B). Tragen Sie auch hierzu relevante Zwischenschritte Ihrer Rechnung in das nachfolgende K¨astchen ein. (4,0 Punkte)

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Herbst 2014

Herbst 2014

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Aufgabe 1 (Seite 1 von 3) a) Der dargestellte, in A und C gelagerte Balken wird durch eine Streckenlast q0 sowie eine Einzelkraft F belastet. Im Punkt B befindet sich ein Vollgelenk.

F

q0 A x z

I l

B

II l

C

III l

¨ an, die Geben Sie die kinematischen (geometrischen) Rand- und Ubergangsbedingungen zur vollst¨andigen Bestimmung der Biegelinie w(x) erforderlich sind. Geben Sie dabei eindeutige Zuweisungen hinsichtlich der jeweiligen Bereiche I, II und III unter Verwendung des vorgegebenen Koordinatensystems an. (3,0 Punkte)

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Aufgabe 1 (Seite 2 von 3) b) F¨ ur das nun gegebene System sind die Auflagerreaktion gem¨aß der angegebenen x- und z-Koordinate durch Ax = 0 ,

Az = −

q0 l , 24

Bz = −

5 q0 l 24

vorgegeben. Der Balken weist die Biegesteifigkeit EI auf.

q0 A

B

x2

x1 I

II z2

z1 l/2

l/2

Bestimmen Sie die Funktionen des Biegemomentes MI (x1 ) f¨ur 0 ≤ x1 ≤ l/2 sowie MII (x2 ) f¨ ur 0 ≤ x2 ≤ l/2. (2,0 Punkte)

MI (x1 ) =

MII (x2 ) =

Geben Sie die sowohl die Verdrehung des Balkens w′II (x2 ) als auch die Biegelinie wII (x2 ) f¨ ur den Bereich II (0 ≤ x2 ≤ l/2) ohne Berechnung der Integrationskonstanten an. (2,0 Punkte)

wII (x2 ) =

wII′ (x2 ) =

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Aufgabe 1 (Seite 3 von 3) c) Der dargestellte, linksseitig eingespannte Balken (Biegesteifigkeit EI ) wird durch ein linienhaft verteiltes Moment m belastet. Das Biegemoment ergibt sich bei dieser Belastung zu M(x) = m(l − x). m A

x z

B l

Berechnen Sie sowohl die Verdrehung des Balkens w′(x) als auch die Biegelinie w(x) f¨ur das System inklusive der Bestimmung aller Integrationskonstanten. (2,0 Punkte)

w′(x) =

w(x) =

Bestimmen Sie die Durchbiegung wB und die Verdrehung w′B des Balkenendes B. (1,0 Pun...