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Lineare Algebra Linearität

Prof.Dr. Karl-Heinz Klösener

Aufgabe 1 Welche der folgenden Funktionen sind linear?. a) f : IR → IR f (x ) = x + 1 b) f : IR → IR f ( x) = 5 ⋅ x 2 f ( x1 , x2 ) = 5 ⋅ x1 + 2 c) f : IR → IR d) f : IR 2 → IR e) f : IR 2 → IR f) f : IR → IR 2 g) f : IR → IR 2 h) f : IR → IR 2 i) f : IR3 → IR 2 j) f : IR 3 → IR 2 k) f : IR 3 → IR 2

f ( x1 , x2 ) = 5 ⋅ x1 + 2 ⋅ x2

2

f ( x1 , x2 ) = 5⋅ x1 + 2 ⋅ x2 ⎛ 5⋅ x ⎞ f (x ) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝3⋅x ⎠ ⎛ 5⋅ x + 2 ⎞ f ( x) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 3⋅ x −1 ⎠ ⎛ 5⋅ x 2 ⎞ ⎟⎟ f ( x) = ⎜⎜ ⎝ 3⋅x ⎠ ⎛5 ⋅ x1 + 2 ⋅ x3 ⎞ ⎟⎟ f ( x1, x2 , x3 ) = ⎜⎜ ⎝ 3 ⋅ x2 −1 ⎠ ⎛ 5 ⋅ x1 + 2 ⋅ x3 ⎞ ⎟ f ( x1, x2 , x3 ) = ⎜ ⎟ ⎜ 3 x ⋅ ⎝ ⎠ 2 ⋅ + − ⋅ ⎛ 5 x1 x 2 2 x 3 ⎞ ⎟⎟ f ( x1, x2, x3 ) = ⎜⎜ ⎠ ⎝ 3 ⋅ x 2 − x3

Aufgabe 2 Welche der folgenden Funktionen sind bilinear?. f ( x1 , x2 ) = 3⋅ x1 ⋅ x2 a) f : IR 2 → IR 2 f ( x1 , x2 ) = x1 ⋅ x2 − 5 b) f : IR → IR c)

f : IR 2 → IR

f ( x1 , x2 ) = 7 ⋅ x12 ⋅ x2 2

d) f : IR 2 × IR 2 → IR e) f : IR 2 × IR 2 → IR f) f : IR 2 × IR 2 → IR

⎛ ⎛ x ⎞ ⎛ y ⎞⎞ f ⎜⎜ ⎜⎜ 1 ⎟⎟, ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎟⎟ = 3 ⋅ x1 ⋅ y1 − 2 ⋅ x2 ⋅ y2 ⎝ ⎝ x2 ⎠ ⎝ y 2 ⎠ ⎠ ⎛ ⎛ x ⎞ ⎛ y ⎞⎞ 2 f ⎜⎜ ⎜⎜ 1 ⎟⎟, ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎟⎟ = x1 ⋅ y1 + x2 ⋅ y 2 ⎝ ⎝ x2 ⎠ ⎝ y 2 ⎠ ⎠ ⎛ ⎛ x ⎞ ⎛ y ⎞⎞ f ⎜ ⎜⎜ 1 ⎟⎟,⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎟ = (2 ⋅ x1 + 3⋅ x 2 )⋅ ( y1 − y 2 ) ⎜ x ⎟ ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎝ y 2 ⎠⎠

Lineare Algebra Linearität

Prof.Dr. Karl-Heinz Klösener

Aufgabe 3 ⎛7 ⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ 3⎞ Durch die Punkte p1 = ⎜⎜ ⎟⎟ p2 = ⎜⎜ ⎟⎟ p3 = ⎜⎜ ⎟⎟ ist ein Dreieck festgelegt. ⎝ 4⎠ ⎝8 ⎠ ⎝5 ⎠ a) Ist das Dreieck rechtwinklig? ⎛ 7⎞ b) Berechnen Sie den Winkel im Punkt p1 = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝5⎠ Aufgabe 4 ⎛ 2⎞ ⎛ 6⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ 1⎞ Durch die Punkte p1 = ⎜⎜ ⎟⎟ p2 = ⎜⎜ ⎟⎟ p3 = ⎜⎜ ⎟⎟ p4 = ⎜⎜ ⎟⎟ ist ein Viereck ⎝ 1⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 9⎠ ⎝6 ⎠ festgelegt. a) Zeigen Sie, dass hier ein Parallelogramm vorliegt. b) Bestimmen Sie die Länge der Grundseite und den Höhenvektor und berechnen Sie damit die Fläche des Parallelogramms. Aufgabe 5 Beweisen Sie den Satz des Thales. Aufgabe 6 ⎛ 3⎞ ⎛1 ⎞ ⎛− 4⎞ Gegeben sind die Vektoren k1 = 15 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ k 2 = 15 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ x = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝2 ⎠ a) Bilden die Vektoren ein Orthonormalsystem? b) Stellen Sie den Vektor x in diesem Orthonormalsystem dar. Aufgabe 7

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ Erzeugen Sie aus den Vektoren x1 = ⎜ 5 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ Orthonormalsystem.

⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ x2 = ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ x3 = ⎜ 0 ⎟ ein ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠

Aufgabe 8

⎛1⎞ ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Die Vektoren a1 = ⎜ 1 ⎟ a2 = ⎜ − 3 ⎟ a3 = ⎜ 0 ⎟ legen die Kanten eines Körpers ⎜ − 1⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ fest, dessen Seitenflächen Parallelogramme sind. a) Welchen Höhenvektor hat der Körper, wenn die Grundfläche durch a1 , a 2 gebildet wird. b) Wie groß ist das Volumen des Körpers?

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Aufgabe 9

− 2 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎟⎟ , ⎜⎜ ⎟⎟ > = 0 Gerade 2: r = ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2⎠ a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der b) Stellen Sie die zweite Gerade auch Gerade 1:

< r − ⎛⎜⎜

⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + t ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝− 2 ⎠ ⎝ − 2⎠ Geraden. in Normalenform dar.

Aufgabe 10

⎛ − 2⎞ ⎜ ⎟ r , ⎜ − 2⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠

⎛0 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛0 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Ebene 1: < > = 0 Ebene 2: r = t1 ⋅ ⎜ 0 ⎟ + t 2 ⋅ ⎜1 ⎟ Punkte : p1 = ⎜ 0 ⎟ p2 = ⎜1 ⎟ ⎜0 ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜2 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a) Projizieren Sie den Punkt p1 auf die Ebene 1 und den Punkt p 2 auf die Ebene 2. b) Bestimmen Sie die Schnittmenge der beiden Ebenen. Aufgabe 11 ⎛ 0⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ − 5⎞ ⎛− 5⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Ebene : r = ⎜ 6 ⎟ + t 1 ⋅ ⎜ 0 ⎟ + t 2 ⋅⎜ 2 ⎟ Mittelpunk t der Kugel : rM = ⎜ 1 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 1⎟ ⎜1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Die Kugel mit dem Radius 5 schneidet die Ebene in einem Kreis. a) Bestimmen Sie den Mittelpunkt des Schnittkreises. b) Konstruieren Sie auf der Ebene ein Orthonormalsystem, das den Mittelpunkt des Schnittkreises als Ursprung besitzt. c) Ermitteln Sie die Gleichung des Schnittkreises. Verwenden Sie dabei das Orthonormalsystem aus Teil b)....