BAHAN AJAR TEORI STATISTIKA PDF

Preview

Summary

1 BAHAN AJAR MATAKULIAH : TEORI STATISTIA PRODI : STATISTIKA SEMESTER : 3 (TIGA) TIM PENYUSUN : RENI PERMATA SARI, S.Si.,M.Si :MA’RUFAH HAYATI MT, S.Si.,M.Sc UNIVERSITAS NAHDLATUL ULAMA LAMPUNG 2016 2 Daftar Isi Halaman 1. Silabus Perkuliahan ............................................................

Description

1

BAHAN AJAR

MATAKULIAH PRODI SEMESTER TIM PENYUSUN

: TEORI STATISTIA : STATISTIKA : 3 (TIGA) : RENI PERMATA SARI, S.Si.,M.Si :MA’RUFAH HAYATI MT, S.Si.,M.Sc

UNIVERSITAS NAHDLATUL ULAMA LAMPUNG 2016

2

Daftar Isi

Halaman 1. Silabus Perkuliahan ...................................................................................... 3 2. Pertemuan 1 .................................................................................................. 7 3. Pertemuan 2 .................................................................................................. 9 4. Pertemuan 3 .................................................................................................. 12 5. Pertemuan 4 .................................................................................................. 17 6. Pertemuan 5 .................................................................................................. 20 7. Pertemuan 6 .................................................................................................. 24 8. Pertemuan 7 .................................................................................................. 32 9. Pertemuan 8 .................................................................................................. 33 10. Pertemuan 9 .................................................................................................. 34 11. Pertemuan 10 ................................................................................................ 35 12. Pertemuan 11 ................................................................................................ 39 13. Pertemuan 12 ................................................................................................ 42 14. Pertemuan 13 ................................................................................................ 43 15. Pertemuan 14 ................................................................................................ 45 16. Pertemuan 15 ................................................................................................ 47 17. Pertemuan 16 ................................................................................................ 48

3

Kurikulum UNIVERSITAS NAHDLATUL ULAMA LAMPUNG

Tanggal Revisi : .............................. Kode Dokumen : Silabus

SILABUS PERKULIAHAN Mata Kuliah

: Teori Statistika

Program Studi : Statistika Bobot Kredit

: 3 Sks

Semester

: 3 (Tiga)

Dosen

: Reni Permata Sari, S.Si.,M.Si Ma’rufah Hayati MT, S.Si.,M.Sc

1. Identitas Mata Kuliah Mata Kuliah

: Teori Statistika

Kode Mata Kuliah

: 33001

Jumlah Sks

: 3 Sks

Semester

: 3 (Tiga)/Ganjil

Kelompok Mata Kuliah

: Matakuliah Keahlian Berkarya (MKB)

Jenjang /Prodi

: S1/Statistika

Status Mata Kuliah

: Wajib

2. Tujuan Pembelajaran Setelah berpatisipasi aktif dalam mata kuliah ini mahasiswa dapat 1) Mengenal dan memahami konsep dasar peluang 2) Memahami peubah acak 3) Memahami fungsi pembangkit momen suatu peubah acak 4) Terampil menyelesaikan kasus pada sebaran fungsi peubah acak dengan: motode momen, metode sebaran kumulatif, metode transformasi dan statistic taan 5) Memahami sebaran peluang bersama

4

6) Mengenal sifat kekonvergenan 7) Memahami teori limit pusat

3. Deskripsi Inti Mata Kuliah Mata kuliah ini membahas tentang peluang, peubah acak, fungsi pembangkit momen suatu peubah acak. Sebaran fungsi peubah acak : metode momen, metode sebaran kumulatif, metode transformasi, statistik tataan. Sebaran peluang bersama, kekonvergenan dan teori limit pusat. 4. Pendidikan Perkembangan Metode

: Ceramah, diskusi ,dan tugas

Tugas

: Tugas Mandiri, Tugas Kelompok dan Diskusi

Media

: Whiteboard, Komputer, LCD, Spidol

5. Karakteristik Evaluasi      

Kehadiran : 10% (Minimal 80%) Tugas : 20% Partisipasi Kelas / kelompok : 10% PTS : 30% PAS : 30% Nilai Akhir = Tugas (20%) + Partisipasi Kelas / kelompok(10%) + PTS (30%) + PAS (40%) = 100%.

6. GBPP (Garis Besar Program Perkuliahan) Pertemuan

Topik Inti

Pertemuan 1

Peluang - Kaidah Sebaran Peluang -Kaidah Bayes

Pertemuan 2

Peubah Acak

Pertemuan 3

Fungsi Pembangkit Momen

Pertemuan 4

Fungsi Sebaran Peubah Acak

Pertemuan 5

Sifat-Sifat Sebaran Normal Ganda

Pertemuan 6

Teknik Transformasi Peubah Acak

Pertemuan 7

Bentuk Sebaran Dari Kombinasi Linear Peubah Acak Normal

5

Pertemuan 8

PTS

Pertemuan 9

Bentuk Sebaran Dari Kuadrat Peubah Acak Normal

Pertemuan 10

Sebaran t-student dan Sebaran F

Pertemuan 11

Metode Sebaran Kumulatif

Pertemuan 12

Statistik Tataan

Pertemuan 13

Sebaran Peluang Bersama

Pertemuan 14

Kekonvergenan

Pertemuan 15 Pertemuan 16

Teori Limit Pusat PAS

6

7. Sumber /Buku: Herrhyanto, Nar dan Gantini, Tuti. 2009. Pengantar Statistika Matematika. Bandung: CV.Yrama Widya. Lind, Douglas, dkk. 2007. Teknik-Teknik Statistika dalam Bisnis dan Ekonomi Menggunakan Kelompok Data Global. Jakarta: Salemba Empat. Mangkuatmodjo, Soegyarto. 2004. Statistika Lanjutan. Jakarta: PT. Rineka Cipta. Steel, Robert G.D dan Torrie, James H. 1995. Prinsip Dan Prosedur Statistika Suatu Pendekatan Biometrik Edisi Kedua. Jakarta: PT.Gramedia Pustaka Utama. Supranto, J. 2001. Statistik Teori dan Aplikasi Edisi Ke Enam Jilid 2. Jakarta:Erlangga.

Lampung, ....................... Mengetahui Wakil Dekan I

Dosen Pengampu Mata Kuliah

Anhar Faisal Fanani, S.Pt.,MSi NIDN: 0227039001

Reni Permata Sari, S.Si.,M.Si NIDN: 0202039201 Mengesahkan

Dekan Fakultas Sains dan Teknologi

Tika Widayanti,S.Si.,M.Si NIK: 021026005

7

Pertemuan 1

Peluang -Kaidah Sebaran Peluang -Kaidah Bayes

Kaidah Sebaran Peluang Peluang adalah rasio antara banyaknya kejadian yang diharapkan dari suatu percobaan jika percobaan tersebut pada kondisi yang sama. Peluang biasanya dinotasikan dengan P, misal P(A) adalah peluang kejadian A. Beberapa kaidah sebaran peluang, yaitu: a. 0 ≤ P( ) ≤ 1, untuk i=1,2, ...,n b. Jumlah peluang kejadian seluruh kejadian dalam runag contoh adalah 1, ∑ c.

(

( ) )

(

)

(

)

(

), jika

merupakan kejadian yang terpisah. Sebagai contoh: sebuah dadu dilempar sekali, maka peluang muncul angka adalah P(1)=P(2)=...=P(6)= . Contoh lain, sebuah kejadian yang diharapkan adalah sisi yang muncul kurang atau sama dengan empat pada pelemparan sebuah dadu adalah A={1,2,3,4}, n(A) = 4. Maka peluang kejadian A adalah P(A) =

.

Pada peluang terdapat istilah kejadian saling bebas, yaitu kejadian-kejadian yang tidak mempengaruhi. Jika A dan B dua kejadian saling bebas, maka peluang kejadian nya dapat dinotasikan P(A B) = P(A).P(B). Contoh: peluang bayi berjenis kelamin laki-laki diketahui 0,6. Jika kelamin anak pertama (A) dan kedua (B) saling bebas, berapa peluang jenis kelamin anak pertama dan kedua laki-laki adalah? P(A B) = P(A).P(B)= 0,6 . 0,6 = 0,36

8

Kaidah Bayes Jika kejadian-kejadian ( )

dengan

adalah partisi kejadian dari ruang sampel S

, i=1,2, ...,k untuk setiap kejadian B di S dengan P(B) ≠ 0,

berlaku (

)

( ∑

) (

( ) ( )

∑

)

( ) (

)

Contoh: Kota bogor disebut kota hujan karena peluang terjadinya hujan (H) cukup besar yaitu sebesar 0,6. Hal ini menyebabkan para mahasiswa harus siap-siap dengan membawa payung (P). Peluang seorang mahasiswa membawa payung jika hari hujan 0,8 , sedangkan jika tidak hujan 0,4. Maka peluang hari ini akan hujan jika diketahui mahasiswa membawa payung adalah: P(H) = 0,6 P(TH) = 1-0,6 = 0,4 P(P\H) = 0,8 P(P\TH) = 0,4 P(H\P)=

( ) (

( ) ( ) (

) ) (

)

.

Tugas 1. Ani memiliki dua kotak berisi lampu cabe. Kotak 1 berisi 10 lampu cabe dengan 4 lampu diantaranya tidak jalan, kotak 2 berisi 6 lampu cabe dengan 1 lampu diantaranya tidak jalan. Jika lampu cabe yang terambil itu tidak jalan, maka berapa peluang bahwa lampu cabe tidak jalan itu berasal dari kotak 1? 2. Misalnya Ira melakukan pengundian dua dadu yang seimbang secara sekaligus. Jika jumlah dua mata dadu yang terjadi adalah 6, maka hitung peluang bahwa salah satu mata dadunya bernilai 2!

9

Pertemuan 2

Peubah Acak

Definisi peubah acak : suatu fungsi yang memetakan unsur-unsur ruang sampel S suatu percobaan terhadap himpunan bilangan riil R sebagai wilayah fungsi atau peubah Acak adalah pemetaan fungsi dari ruang sampel menjadi bilangan nyata ( real ). Sebagai ilustrasi perhatikan pelantunan dua mata uang yang homogen sekaligus. Ruang sampel yang mesti terjadi adalah: S = { HH, HG, GH, GG } Jika X menyatakan banyaknya huruf H yang muncul pada pelantunan dua buah mata uang tersebut, maka:

Peubah Acak terdiri dari Peubah Acak Diskrit dan Peubah Acak Kontinu.

Peubah Acak Diskrit Peubah Acak Diskrit adalah jika interval dari X terhingga atau takterhingga tetapi terbilang. Untuk yang diskrit kaitannya dengan notasi  dibaca sigma atau penjumlahan bilangan cacah. Jika X adalah peubah acak diskrit dengan fungsi peluangnya p(x), maka Y=H(X) adalah juga peubah acak diskrit. Penentuan fungsi peluang dar Y dapat dilakukan sebagai beriku: 

Tentukan nilai-nilai yang mungkin dari Y



Tentukan F(y) = P(Y≤y)



Tentukan fungsi peluang dari Y berdasarkan F(y)

10

Teori peluang diskrit syaratnya: 1. P( X = x ) ≥ 0, selalu ada 2.



P( X = x ) = 1

Di mana X adalah peubah acak, sedangkan x adalah nilai dari peubah acak. Contoh: Pelantunan tiga mata uang yang homogen sekaligus. Jika X menyatakan banyaknya huruf G yang muncul pada pelantunan tersebut ? Jawab: Ruang sampel yang terjadi adalah: S = { HHH, HHG, HGH, GHH, HGG, GHG, GGH, GGG }. Jika X menyatakan banyaknya huruf G, maka X = 0, 1, 2, 3

Macam-macam distribusi diskrit antara lain: distribusi bernoulli, distribusi binomial, distribusi geometrik dan distribusi poisson.

Peubah Acak Kontinu Peubah Acak Kontinu adalah jika interval dari X terhingga atau takterhingga tetapi takterbilang. Untuk yang peubah acak kontinu kaitannya dengan notasi



dibaca integral atau notasi penjumlahan titik (Reimann). Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi densitas f(x), maka Y=H(X) adalah juga peubah acak kontinu. Fungsi densitas dari peubah acak Y dapat ditentukan sebagai berikut: 

Tentukan F(y) = P(Y ≤ y)

11



Tentukan turunan pertama F(y) terhadap y, untuk memperoleh f(y)



Tentukan daerah hasil Y

Teori peluang kontinu Syaratnya: 1. f(x) ≥ 0, selalu ada 

2.

 f ( x)dx  1





Di mana

 f ( x)dx merupakan fungsi padat atau fungsi kepekatan atau ”density of



function” Macam-macam distribusi kontinu antara lain: distribusi uniform/seragam, distribusi eksponensial, dan distribusi gamma.

Tugas

1.

S = {H,T} dan β adalah satu kelas dari seluruh himpunan dari S. X didefinisikan sebagai berikut: X(H)=1 dan X(T)=0. Apakah x merupakan peubah acak?

2.

Misalnya suatu universitas mempunyai mahasiswa berjumlah 25.000 orang dan para mahasiswa itu diberi nomor induk mahasiswa mulai dari 00001 sampai 25000. Kemudian seseorang mahasiswa dipilih secara acak dan diukur berat badannya. X merupakan berat badan dari siswa terpilih. Tunjukan apakah X merupakan peubah acak kontinu?

12

Pertemuan 3

Fungsi Pembangkit Momen

Distribusi Diskrit i

Distribusi Bernoulli

Apabila sebuah eksperimen mempunyai dua hasil yang muncul, seperti sukses dan gagal, dengan masing-masing peluangnya p dan (1-p), maka peristiwa yang diperhatikan, baik suskses maupun gagal akan berdistribusi bernoulli.

Peubah acak X dikatakan berdistribusi bernoulli, jika dan hanya jika fungsi peluangnya berbentuk: ( )

(

)

(

)

Penulisan notasi dari peubah acak berdistribusi bernoulli adalah B(x;1,p). Artinya peubah acak X berdistribusi bernoulli dengan peristiwa yang diperhatikan, baik sukses maupun gagal dinyatakn dengan x, banyak eksperimen yang dilakukan hanya sekali.

Sifat-sifat suatu eksperimen yang dikatakan mengikuti distribusi bernoulli adalah: 1. Eksperimennya terdiri atas dua peristiwa 2. Eksperimennya hanya dilakukan sekali saja

Parameter distribusi bernoulli: 

Rataan(µ) = p



Varians(

)

(

Fungsi pembangkit momen(

ii

) ( )) = (1-p) + p

; t R.

Distribusi Binomial

Sifatnya: a. Suatu percobaan yang menghasilkan dua kategori b. Setiap kejadian bersifat saling bebas

13

c. Mempunyai peluang p adalah tetap b. Percobaan dilakukan sebanyak n kali

Percobaan tersebut dikenal dengan nama Sebaran Binomial dengan sebaran peluangnya adalah: n P( X =x ) =   p x (1  p ) n  x , untuk x = 0, 1, 2,  x

.... , n atau

n b(x: n; p ) =   p x (1  p ) n  x , untuk x = 0, 1, 2,  x

..... , n

Sebaran Binomial mempunyai rata-rata atau µ = np dan ragam (variance) atau σ2 = np(1 – p )

Jika data mengikuti sebaran Binomial, maka ditulis sebagai X ~ b( X; n,p ) Parameter distribusi bernoulli: 

Rataan(µ) = np



Varians(



Fungsi pembangkit momen(

)

(

) ( )) = (1-p) + p

; t R.

iii Distribusi Geometrik Peubah acak X dikatakan berdistribusi geometrik, jika dan hanya jika fungsi peluangnya berbentuk: ( )

(

)

(

)

Notasi penulisan dari peubah acak X jika berdistribusi Geometrik adalah: (

)

Sifat-sifat eksperimen jika berdistribusi Geometrik: 1. Eksperimennya terdiri dari dua peristiwa 2. Eksperimennya diulang sampai beberapa kali sampai peristiwa sukses terjadi pertama kali 3. Peluang terjadinya sukses dan gagal bersifat tetap 4. Setiap pengulangan eksperimen bersifat bebas

14

Parameter distribusi Geometrik:

iv



Rataan(µ) =



Varians(



Fungsi pembangkit momen(

) ( ))

(

)

Distribusi Poisson

Suatu sebaran Binomial yang mempunyai peluang p nya terlalu kecil atau terlalu besar dan n percobaannya cukup besar, maka dilakukan pendekatan sebaran Poisson, yang perumusannya sebagai berikut: P( X = x ) =

e   x , untuk x = 0, 1, 2, dst x!

p( x; µ ) =

dengan e = 2,71828 atau

e   x , untuk x = 0, 1, 2, dst x!

Penulisan notasi dari peubah acak X yang berdistribusi poisson adalah P(x, ) Distribusi poisson akan merupakan distribusi pendekatan yang baik dari distribusi binomial, jika dalam distribusi binomial berlaku: 

n ≥ 100 dan np ≤ 10



n ≥ 20 dan p ≤ 0,05

Sebaran Poisson mempunyai rata-rata µ = µ

dan ragam 2 = µ. Untuk

mempermudah perhitungan digunakan tabel Poisson penerapannya hampir sama dengan Tabel Binomial, asalkan diketahui rata-ratanya yaitu µ, di mana µ = np. Distribusi Kontinu i

Distribusi Uniform (Seragam)

Peubah acak X dikatakan berdistribusi seragam, jika dan hanya jika fungsi densitasnya berbentuk: ( )

15

Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi seragam adalah S(x; α,β) Parameter distribusi seragam: 

Rataan(µ) = (α-β)



Varians(



Fungsi pembangkit momen(

)

(

) ( ))

(

)

=1;t=0

ii

Distribusi Eksponensial

Peubah acak X dikatakan berdistribusi eksponensial, jika dan hanya jika funsi densitasnya berbentuk: ( )

( ) = 0 ; x lainnya

Penulisan notasi pada distribusi eksponensial adalah Exp(x; ) Parameter distribusi eksponensial: 

Rataan(µ) =



Varians(



Fungsi pembangkit momen(

)

( ) ( ))

(

)

iii Distribusi Gamma Peubah acak X dikatakan berdistribusi gamma, jika dan hanya jika fungsi densitsnya berbentuk: ( )

( ) = 0 ; x lainnya

Penulisan notasi dari peubah acak X berdistribudi gamma adalah G(x;

Parameter distribusi gamma: 

Rataan(µ) = αβ



Varians(

)

)

16



Fungsi pembangkit momen(

( ))

(

)

Tugas 1. Seorang ibu yang mempunyai 5 orang anak dan X menyatakan banyaknya anak laki-laki. Buatlah sebaran peluangnya? 2. Misalnya peubah acak Y berdistribusi eksponensial dengn parameter . Hitunglah peluang bawha Y bermilai lebih dari 2. 3. Misalnya peubah acak Y berdistribusi gamma dengan parameter α = 2 dan . Hitunglah peluang bahwa Y berharga lebih dari 4!

17

Pertemuan 4

Fungsi Sebaran Peubah Acak

Sebaran normal ganda Fungsi sebaran atau fungsi sebaran kumulatif suatu peubah acak X adalah: F(x) = P(X ≤ x)

Sifat fungsi kumulatif: 1. F adalah suatu fungsi tidak turun (nondecreasing function) artinya jia a < x, maka F(a) ≤ F(x) 2.

( )

3.

( ) ( )

4. F(x) kontinu kanan, artinya

( )

 Peubah acak diskrit Nilai fungsi peluang dari X, yaitu p(x) harus memenuhi sifat: 

P( X = x ) ≥ 0





P( X = x ) = 1

 Peubah acak kontinu Sebuah fungsi disebut densitas dari X jika nilai-nilai f(x) memenuhi sifat sebgai berikut: 

f(x) ≥ 0, untuk x (

)





 f ( x)dx  1



Untuk setiap a dan b, dengan: , maka (

)

∫ ( )

18

Contoh:  Sebaran Normal Bivariat (

Suatu vektor random

) dikatakan menyebar secar normal bivariat,

jika keduanya mempunyai sebaran peluang gabungan berikut ini:

f ( x1 , x2 ) 

1 2  1  2 1  

2

e

1  Q 2

; x1 , x2  

   x1  ;    x2  

2 2   x1  1  x2   2   x2   2    x1  1     2          1     1   2    2       1 Koefisien korelasi antara X1 dan X2

1 Q 1  2

 Normal bivariat Berlaku sifat-sifat...